Теорема 2π

Дает достаточное условие для заполнения Дена, приводящее к отрицательно искривленному 3-многообразию

В математике теорема Громова и Терстона $о$ $2π$ устанавливает достаточное условие для заполнения Дена на гиперболическом 3-многообразии с острием , чтобы получить отрицательно искривленное 3-многообразие .

Пусть $M$ — каспированное гиперболическое 3-многообразие. Можно выбрать непересекающиеся орисферические окрестности каждого каспа. Границы этих окрестностей являются факторами орисфер и, таким образом, имеют евклидовы метрики. Наклон, т. е. неориентированный изотопический класс простых замкнутых кривых на этих границах, таким образом, имеет хорошо определенную длину, взятую как минимальная евклидова длина по всем кривым в изотопическом классе. Теорема $о 2 π$ гласит: заполнение Дена $M$ с каждым уклоном заполнения, большим $2 π,$ приводит к 3-многообразию с полной метрикой отрицательной секционной кривизны. Фактически, эта метрика может быть выбрана идентичной исходной гиперболической метрике вне окрестностей орисфер.

Основная идея доказательства заключается в явном построении отрицательно искривленной метрики внутри каждой орисферической окрестности, которая соответствует метрике вблизи орисферической границы. Эта конструкция, использующая цилиндрические координаты, работает, когда наклон заполнения больше $2 π$ . См. Bleiler & Hodgson (1996) для получения полных подробностей.

Согласно гипотезе геометризации , эти отрицательно искривленные 3-многообразия должны фактически допускать полную гиперболическую метрику. Аргумент упаковки горобола, предложенный Терстоном, показывает, что на каждом каспе нужно избегать не более 48 наклонов, чтобы получить гиперболическое 3-многообразие. Для гиперболических 3-многообразий с одним каспедом улучшение, предложенное Колином Адамсом, дает 24 исключительных наклона.

Этот результат был позже независимо улучшен Яном Аголом (2000) и Марком Лакенби (2000) с помощью 6-й теоремы . «6-я теорема» утверждает, что заполнение Дена вдоль склонов длины больше 6 приводит к гиперболоподобному 3-многообразию, т. е. неприводимому , атороидальному , не расслоенному по Зейферту 3-многообразию с бесконечной гиперболической фундаментальной группой . И снова, предполагая гипотезу геометризации , эти многообразия имеют полную гиперболическую метрику. Аргумент Агола показывает, что существует не более 12 исключительных склонов.

Ссылки

Агол, Ян (2000), «Границы исключительного заполнения Дена», Геометрия и топология , 40 : 431–449, arXiv : math/9906183 , doi : 10.2140/gt.2000.4.431, MR 1799796.
Блейлер, Стивен А.; Ходжсон, Крейг Д. (1996), «Сферические формы пространства и заполнение Дена», Топология , 35 (3): 809–833, doi : 10.1016/0040-9383(95)00040-2 , MR 1396779.
Lackenby, Marc (2000), «Гиперболическая хирургия Дена в словах», Inventiones Mathematicae , 140 (2): 243–282, arXiv : math/9808120 , Bibcode : 2000InMat.140..243L, doi : 10.1007/s002220000047, MR 1756996.