142857

← 142856 142857 142858 →
Список номеров Целые числа ← 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9
Кардинал	сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь
Порядковый	142857-й (сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят седьмой)
Факторизация	3 3 × 11 × 13 × 37
Делители	1, 3, 9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, 111, 117, 143, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999, 1221, 1287, 1443, 3663, 3861, 4329, 5291, 10989, 12987, 15873, 47619, 142857
греческое число	${\displaystyle {\stackrel {\iota \delta }{\mathrm {M} }}}$͵βωνζ´
римская цифра	CXL MMDCCCLVII , cxl mmdccclvii
Двоичный	100010111000001001 2
Тройной	21020222000 3
Шенерный	3021213 6
Восьмеричный	427011 8
Двенадцатеричная система счисления	6А809 12
Шестнадцатеричный	22E09 16

142 857 — натуральное число, расположенное между 142 856 и 142 858. Это число Капрекара . ^[1]

142857 — самое известное циклическое число в десятичной системе счисления, представляющее собой шесть повторяющихся цифр ⁠1/7⁠ ( 0,142857 ). ^{[2] [3] [4] [5]}

Если 142857 умножить на 2, 3, 4, 5 или 6, ответ будет циклической перестановкой самого себя и будет соответствовать повторяющимся цифрам ⁠2/7⁠ , ⁠3/7⁠ , ⁠4/7⁠ , ⁠5/7⁠ или ⁠6/7⁠ соответственно:

1 × 142,857 = 142,857

2 × 142 857 = 285 714

3 × 142 857 = 428 571

4 × 142 857 = 571 428

5 × 142 857 = 714 285

6 × 142,857 = 857,142

7 × 142 857 = 999 999

При умножении на целое число больше 7 существует простой процесс получения циклической перестановки 142857. Добавляя самые правые шесть цифр (от единиц до сотен тысяч) к оставшимся цифрам и повторяя этот процесс до тех пор, пока не останется только шесть цифр, мы получим циклическую перестановку 142857: ^{[ необходима цитата ]}

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857 ² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

Умножение на кратное 7 даст результат 999999 с помощью следующего процесса:

142857 × 7 ⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Если возвести в квадрат последние три цифры и вычесть квадрат первых трех цифр, вы также получите циклическую перестановку числа. ^{[ необходима цитата ]}

857 ² = 734449

142 ² = 20164

734449 − 20164 = 714285

Это повторяющаяся часть в десятичном разложении рационального числа ⁠1/7⁠ = 0. 142857. Таким образом, кратные ⁠1/7⁠ — это просто повторенные копии соответствующих кратных 142857:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{7}}&=0.{\overline {142857}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {2}{7}}&=0.{\overline {285714}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {3}{7}}&=0.{\overline {428571}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {4}{7}}&=0.{\overline {571428}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {5}{7}}&=0.{\overline {714285}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {6}{7}}&=0.{\overline {857142}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {7}{7}}&=0.{\overline {999999}}\ldots =1\\[3pt]{\tfrac {8}{7}}&=1.{\overline {142857}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {9}{7}}&=1.{\overline {285714}}\ldots \\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

Числовая последовательность 142857 используется в фигуре эннеаграммы , символе Гурджиевской Работы, используемой для объяснения и визуализации динамики взаимодействия двух великих законов Вселенной (согласно Г.И. Гурджиеву ), Закона Трех и Закона Семи. Движение чисел 142857, деленных на ⁠1/7⁠ , ⁠2/7⁠ . и т. д., а также последующее движение эннеаграммы, изображены в священных танцах Гурджиева , известных как движения. ^[6]

Числовая последовательность 142857 также встречается в нескольких десятичных дробях, в которых знаменатель имеет множитель 7. В приведенных ниже примерах все числители равны 1, однако есть случаи, когда это не обязательно, например ⁠2/7⁠ ( 0.285714 ).

Например, рассмотрим дроби и эквивалентные десятичные значения, перечисленные ниже:

⁠1/7⁠ = 0. 142857 ...

⁠1/14⁠ = 0,0 714285 ...

⁠1/28⁠ = 0,03 571428 ...

⁠1/35⁠ = 0,0 285714 ...

⁠1/56⁠ = 0,017 857142 ...

⁠1/70⁠ = 0,0 142857 ...

Вышеуказанные десятичные дроби следуют вращательной последовательности 142857. Существуют дроби, в которых знаменатель имеет множитель 7, например ⁠1/21⁠ и ⁠1/42⁠ , которые не следуют этой последовательности и имеют другие значения в своих десятичных цифрах.