Игра с нулевой суммой
Ситуация, когда общий выигрыш соответствует общему проигрышу

Игра с нулевой суммой — это математическое представление в теории игр и экономической теории ситуации, в которой участвуют два конкурирующих субъекта, где результатом является преимущество для одной стороны и эквивалентный проигрыш для другой. [1] Другими словами, выигрыш игрока один эквивалентен проигрышу игрока два, в результате чего чистое улучшение выгоды от игры равно нулю. [2]

Если суммировать общие выигрыши участников и вычесть общие проигрыши, то они в сумме дадут ноль. Таким образом, разрезание торта , когда взятие более значительного куска уменьшает количество торта, доступного для других, настолько же, насколько оно увеличивает количество, доступное для этого берущего, является игрой с нулевой суммой, если все участники одинаково ценят каждую часть торта . Другие примеры игр с нулевой суммой в повседневной жизни включают такие игры, как покер , шахматы , спорт и бридж, где один человек выигрывает, а другой проигрывает, что приводит к нулевой чистой выгоде для каждого игрока. [3] На рынках и финансовых инструментах фьючерсные контракты и опционы также являются играми с нулевой суммой. [4]

Напротив, ненулевая сумма описывает ситуацию, в которой совокупные прибыли и потери взаимодействующих сторон могут быть меньше или больше нуля. Игра с нулевой суммой также называется строго конкурентной игрой, в то время как игры с ненулевой суммой могут быть как конкурентными, так и неконкурентными. Игры с нулевой суммой чаще всего решаются с помощью теоремы о минимаксе , которая тесно связана с двойственностью линейного программирования [ 5] или с равновесием Нэша . Дилемма заключенного — классическая игра с ненулевой суммой. [6]

Определение

Выбор 1Выбор 2
Выбор 1−А, АБ, −Б
Выбор 2С, −С−Д, Д
Обычная игра с нулевой суммой
Вариант 1Вариант 2
Вариант 12, −2−2, 2
Вариант 2−2, 22, −2
Еще один пример классической игры с нулевой суммой

Свойство нулевой суммы (если один выигрывает, другой проигрывает) означает, что любой результат ситуации нулевой суммы является оптимальным по Парето . В общем случае любая игра, в которой все стратегии являются оптимальными по Парето, называется конфликтной игрой. [7] [8]

Игры с нулевой суммой являются конкретным примером игр с постоянной суммой, где сумма каждого результата всегда равна нулю. [9] Такие игры являются распределительными, а не интегративными; пирог не может быть увеличен путем хороших переговоров.

В ситуации, когда выигрыш (или проигрыш) одного принимающего решения не обязательно приводит к проигрышу (или выигрышу) других принимающих решения, они называются играми с ненулевой суммой. [10] Таким образом, страна с избытком бананов, торгующая с другой страной за ее избыток яблок, где обе страны получают выгоду от сделки, находится в ситуации с ненулевой суммой. Другие игры с ненулевой суммой — это игры, в которых сумма выигрышей и проигрышей игроков иногда больше или меньше того, с чего они начинали.

Идея оптимального по Парето выигрыша в игре с нулевой суммой порождает обобщенный стандарт относительной эгоистичной рациональности, стандарт наказания противника, где оба игрока всегда стремятся минимизировать выигрыш противника по выгодной для себя цене, а не предпочесть большее меньшему. Стандарт наказания противника может использоваться как в играх с нулевой суммой (например, военная игра, шахматы), так и в играх с ненулевой суммой (например, игры с выбором пула). [11] У игрока в игре есть достаточно простое желание максимизировать прибыль для себя, а противник хочет ее минимизировать. [12]

Решение

Для двухпользовательских конечных игр с нулевой суммой, если игрокам разрешено играть в смешанную стратегию , игра всегда имеет одно равновесное решение. Различные концепции игрового теоретико- решения равновесия Нэша , минимакса и максимина дают одно и то же решение. Обратите внимание, что это не относится к чистой стратегии .

Пример

Игра с нулевой суммой (Два человека)
Синий
Красный
АБС
1
−30
30
10
−10
−20
20
2
10
−10
−20
20
20
−20

Матрица выплат игры — удобное представление. Рассмотрим эти ситуации в качестве примера, игру с нулевой суммой для двух игроков, изображенную справа или выше.

Порядок игры следующий: первый игрок (красный) втайне выбирает одно из двух действий 1 или 2; второй игрок (синий), не зная о выборе первого игрока, втайне выбирает одно из трех действий A, B или C. Затем выбор раскрывается, и общее количество очков каждого игрока изменяется в соответствии с выигрышем за этот выбор.

Пример: Красный выбирает действие 2, а Синий выбирает действие B. Когда выигрыш распределяется, Красный получает 20 очков, а Синий теряет 20 очков.

В этом примере игры оба игрока знают матрицу выплат и пытаются максимизировать количество своих очков. Красный может рассуждать следующим образом: «С действием 2 я могу проиграть до 20 очков и выиграть только 20, а с действием 1 я могу проиграть только 10, но выиграть до 30, поэтому действие 1 выглядит намного лучше». С похожими рассуждениями Синий выбрал бы действие C. Если оба игрока выполнят эти действия, Красный выиграет 20 очков. Если Синий предвидит рассуждения Красного и выбор действия 1, Синий может выбрать действие B, чтобы выиграть 10 очков. Если Красный, в свою очередь, предвидит этот трюк и выберет действие 2, это принесет Красный 20 очков.

Эмиль Борель и Джон фон Нейман имели фундаментальное понимание того, что вероятность дает выход из этой головоломки. Вместо того, чтобы решать, какое конкретное действие предпринять, два игрока назначают вероятности своим соответствующим действиям, а затем используют случайное устройство, которое в соответствии с этими вероятностями выбирает для них действие. Каждый игрок вычисляет вероятности таким образом, чтобы минимизировать максимально ожидаемую потерю очков независимо от стратегии противника. Это приводит к задаче линейного программирования с оптимальными стратегиями для каждого игрока. Этот метод минимакса может вычислить вероятно оптимальные стратегии для всех игр с нулевой суммой для двух игроков.

Для приведенного выше примера получается, что Красный должен выбрать действие 1 с вероятностью ⁠4/7⁠ и действие 2 с вероятностью ⁠3/7⁠ , а Синий должен назначить вероятности 0, ⁠4/7⁠ , и ⁠3/7⁠ к трем действиям A, B и C. Красный тогда победит ⁠20/7⁠ очков в среднем за игру.

Решение

Равновесие Нэша для игры с нулевой суммой для двух игроков можно найти, решив задачу линейного программирования . Предположим, что игра с нулевой суммой имеет матрицу выплат M , где элемент M i , j — это выплата, полученная, когда игрок, минимизирующий выигрыш, выбирает чистую стратегию i, а игрок, максимизирующий выигрыш, выбирает чистую стратегию j (т. е. игрок, пытающийся минимизировать выигрыш, выбирает строку, а игрок, пытающийся максимизировать выигрыш, выбирает столбец). Предположим, что каждый элемент M положителен. В игре будет по крайней мере одно равновесие Нэша. Равновесие Нэша можно найти (Raghavan 1994, стр. 740), решив следующую линейную программу для нахождения вектора u :

Свернуть:

∑ я ты я {\displaystyle \sum _{i}u_{i}} С учетом ограничений:

у ≥ 0
М ≥ 1 .

Первое ограничение говорит, что каждый элемент вектора u должен быть неотрицательным, а второе ограничение говорит, что каждый элемент вектора M u должен быть не менее 1. Для результирующего вектора u обратная величина суммы его элементов является значением игры. Умножение u на это значение дает вектор вероятности, определяющий вероятность того, что максимизирующий игрок выберет каждую возможную чистую стратегию.

Если игровая матрица не имеет всех положительных элементов, добавьте константу к каждому элементу, которая достаточно велика, чтобы сделать их все положительными. Это увеличит ценность игры на эту константу и не повлияет на равновесные смешанные стратегии для равновесия.

Равновесная смешанная стратегия для минимизирующего игрока может быть найдена путем решения двойственной задачи заданной линейной программы. В качестве альтернативы, ее можно найти, используя вышеописанную процедуру для решения модифицированной матрицы выплат, которая является транспонированием и отрицанием M (добавлением константы, чтобы она была положительной), а затем решением полученной игры.

Если все решения линейной программы найдены, они составят все равновесия Нэша для игры. Наоборот, любую линейную программу можно преобразовать в игру с двумя игроками и нулевой суммой, используя замену переменных, которая приводит ее к форме приведенных выше уравнений, и, таким образом, такие игры эквивалентны линейным программам, в общем. [13]

Универсальное решение

Если избегание игры с нулевой суммой является выбором действия с некоторой вероятностью для игроков, избегание всегда является стратегией равновесия по крайней мере для одного игрока в игре с нулевой суммой. Для любой игры с нулевой суммой для двух игроков, где ничья ноль-ноль невозможна или невероятна после начала игры, например, покера, не существует стратегии равновесия Нэша, кроме как избегание игры. Даже если есть вероятная ничья ноль-ноль после начала игры с нулевой суммой, она не лучше стратегии избегания. В этом смысле интересно обнаружить, что вознаграждение по мере продвижения в вычислении оптимального выбора будет преобладать над всеми играми с нулевой суммой для двух игроков относительно начала игры или нет. [14]

Наиболее распространенным или простым примером из области социальной психологии является концепция « социальных ловушек ». В некоторых случаях преследование индивидуальных личных интересов может улучшить коллективное благополучие группы, но в других ситуациях преследование всеми сторонами личных интересов приводит к взаимно разрушительному поведению.

В обзоре Коупленда отмечается, что игра с ненулевой суммой для n игроков может быть преобразована в игру с нулевой суммой для (n+1) игроков, где игрок с номером n+1, называемый фиктивным игроком , получает отрицательную сумму выигрышей остальных n игроков (глобальный выигрыш/проигрыш). [15]

Игры с нулевой суммой для трех человек

Игра с нулевой суммой для трех человек
Игра с нулевой суммой для трех человек

Очевидно, что между игроками в игре с нулевой суммой для трех лиц существуют разнообразные отношения, в игре с нулевой суммой для двух лиц все, что выигрывает один игрок, обязательно проигрывает другой и наоборот; поэтому всегда существует абсолютный антагонизм интересов, и это похоже на игру с тремя лицами. [16] Конкретный ход игрока в игре с нулевой суммой для трех лиц будет считаться явно выгодным для него и может принести вред обоим другим игрокам или принести пользу одному и принести вред другому противнику. [16] В частности, параллелизм интересов между двумя игроками делает сотрудничество желательным; может случиться, что у игрока есть выбор между различными политиками: войти в параллелизм интересов с другим игроком, скорректировав свое поведение, или наоборот; что он может выбрать, с каким из двух других игроков он предпочитает строить такой параллелизм и в какой степени. [16] На рисунке слева показан типичный пример игры с нулевой суммой для трех лиц. Если Игрок 1 выбирает защиту, а Игрок 2 и 3 выбирают нападение, то оба они получат по одному очку. В то же время Игрок 1 потеряет два очка, поскольку очки забирают другие игроки, и очевидно, что у Игрока 2 и 3 параллелизм интересов.

Пример из реальной жизни

Экономические преимущества бюджетных авиакомпаний на насыщенных рынках — чистая выгода или игра с нулевой суммой[17]

Исследования показывают, что выход бюджетных авиакомпаний на рынок Гонконга принес доход в размере 671 млн долларов США и привел к оттоку в размере 294 млн долларов США.

Поэтому при внедрении новой модели следует учитывать эффект замены, что приведет к экономической утечке и инъекции. Таким образом, внедрение новых моделей требует осторожности. Например, если количество новых авиакомпаний, вылетающих из аэропорта и прибывающих в него, одинаково, экономический вклад в принимающий город может оказаться игрой с нулевой суммой. Поскольку для Гонконга потребление иностранных туристов в Гонконге является доходом, а потребление жителей Гонконга в противоположных городах — оттоком. Кроме того, введение новых авиакомпаний может также оказать негативное влияние на существующие авиакомпании.

Следовательно, при внедрении новой модели авиации необходимо провести всестороннюю проверку ее осуществимости, принимая во внимание экономический приток и отток, а также эффекты смещения, вызванные моделью.

Игры с нулевой суммой на финансовых рынках

Торговлю деривативами можно считать игрой с нулевой суммой, поскольку каждый доллар, полученный одной стороной в сделке, должен быть потерян другой, следовательно, чистая передача богатства равна нулю. [18]

Опционный контракт, в котором покупатель покупает производный контракт, который предоставляет ему право купить базовый актив у продавца по указанной цене исполнения до указанной даты истечения срока действия, является примером игры с нулевой суммой. Фьючерсный контракт , в котором покупатель покупает производный контракт, чтобы купить базовый актив у продавца по указанной цене в указанную дату, также является примером игры с нулевой суммой. [19] Это происходит потому, что основополагающий принцип этих контрактов заключается в том, что они являются соглашениями между двумя сторонами, и любая прибыль, полученная одной стороной, должна быть сопоставлена ​​с убытком, понесенным другой.

Если цена базового актива увеличивается до даты истечения срока, покупатель может исполнить/закрыть опционный/фьючерсный контракт. Выигрыш покупателя и соответствующий убыток продавца будут представлять собой разницу между ценой исполнения и стоимостью базового актива на тот момент. Следовательно, чистый перевод богатства равен нулю.

Свопы , которые предполагают обмен денежными потоками от двух разных финансовых инструментов, также считаются игрой с нулевой суммой. [20] Рассмотрим стандартный процентный своп , при котором фирма A платит фиксированную ставку и получает плавающую ставку; соответственно фирма B платит плавающую ставку и получает фиксированную ставку. Если ставки увеличиваются, то фирма A выиграет, а фирма B проиграет на разницу ставок (плавающая ставка – фиксированная ставка). Если ставки уменьшаются, то фирма A проиграет, а фирма B выиграет на разницу ставок (фиксированная ставка – плавающая ставка).

Хотя торговлю деривативами можно считать игрой с нулевой суммой, важно помнить, что это не абсолютная истина. Финансовые рынки сложны и многогранны, с широким кругом участников, занимающихся разнообразной деятельностью. Хотя некоторые сделки могут привести к простой передаче богатства от одной стороны к другой, рынок в целом не является чисто конкурентным, и многие транзакции выполняют важные экономические функции.

Фондовый рынок является прекрасным примером игры с положительной суммой, часто ошибочно называемой игрой с нулевой суммой. Это заблуждение нулевой суммы: восприятие того, что один трейдер на фондовом рынке может только увеличить стоимость своих активов, если другой трейдер уменьшит свои активы. [21]

Основная цель фондового рынка — сопоставить покупателей и продавцов, но преобладающая цена — это та, которая уравновешивает спрос и предложение. Цены на акции обычно движутся в соответствии с изменениями в будущих ожиданиях, такими как объявления о поглощениях, сюрпризы о росте прибыли или улучшенные прогнозы. [22]

Например, если компания C объявляет о сделке по приобретению компании D, и инвесторы полагают, что приобретение приведет к синергии и, следовательно, к повышению прибыльности компании C, спрос на акции компании C увеличится. В этом сценарии все существующие держатели акций компании C получат прибыль, не понеся при этом никаких соответствующих измеримых убытков для других игроков.

Более того, в долгосрочной перспективе фондовый рынок — это игра с положительной суммой. По мере экономического роста увеличивается спрос, увеличивается объем производства, растут компании и растут их оценки, что приводит к созданию стоимости и увеличению богатства на рынке.

Сложность

Роберт Райт в своей книге «Нонноль: логика человеческой судьбы» выдвинул теорию о том, что общество становится все более ненулевым по мере того, как оно становится более сложным, специализированным и взаимозависимым.

Расширения

В 1944 году Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн доказали, что любая игра с ненулевой суммой для n игроков эквивалентна игре с нулевой суммой с n  + 1 игроком; ( n  + 1)-й игрок представляет собой глобальную прибыль или убыток. [23]

Недоразумения

Игры с нулевой суммой и, в частности, их решения обычно неправильно понимаются критиками теории игр , как правило, в отношении независимости и рациональности игроков, а также интерпретации функций полезности [ необходимо дополнительное объяснение ] . Кроме того, слово «игра» не подразумевает, что модель действительна только для развлекательных игр . [5]

Политику иногда называют игрой с нулевой суммой [24] [25] [26], потому что в общепринятом понимании идея тупиковой ситуации воспринимается как «игра с нулевой суммой»; однако политика и макроэкономика не являются играми с нулевой суммой, поскольку они не представляют собой консервативные системы . [ требуется ссылка ]

Мышление с нулевой суммой

В психологии мышление с нулевой суммой означает восприятие данной ситуации как игры с нулевой суммой, где выигрыш одного человека равен проигрышу другого.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Кембриджский словарь делового английского языка . Кембридж: Cambridge University Press. 2011. ISBN 978-0-521-12250-4. OCLC  741548935.
  2. ^ Блейкли, Сара. "Значение игры с нулевой суммой: примеры игр с нулевой суммой". Мастер-класс . Мастер-класс . Получено 28.04.2022 .
  3. ^ Фон Нейман, Джон; Оскар Моргенштерн (2007). Теория игр и экономическое поведение (60-я годовщина издания). Принстон: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-2946-0. OCLC  830323721.
  4. ^ Кентон, Уилл. «Игра с нулевой суммой». Investopedia . Получено 25.04.2021 .
  5. ^ ab Ken Binmore (2007). Игра по-настоящему: текст по теории игр. Oxford University Press US. ISBN 978-0-19-530057-4., главы 1 и 7
  6. ^ Чионг, Рэймонд; Янкович, Любо (2008). «Изучение разработки игровой стратегии с помощью итерационной дилеммы заключенного». Международный журнал компьютерных приложений в технологиях . 32 (3): 216. doi :10.1504/ijcat.2008.020957. ISSN  0952-8091.
  7. ^ Боулз, Сэмюэл (2004). Микроэкономика: поведение, институты и эволюция . Princeton University Press . стр. 33–36. ISBN 0-691-09163-3.
  8. ^ "Two-Person Zero-Sum Games: Basic Concepts". Neos Guide . Neos Guide . Получено 28.04.2022 .
  9. ^ Washburn, Alan (2014). Two-Person Zero-Sum Games. Международная серия по исследованию операций и науке управления. Том 201. Бостон, Массачусетс: Springer US. doi : 10.1007/978-1-4614-9050-0. ISBN 978-1-4614-9049-4.
  10. ^ "Non Zero Sum Game". Monash Business School . Получено 25.04.2021 .
  11. ^ Вэньлян Ван (2015). Теория игрового пула и государственный пенсионный план. ISBN 978-1507658246 . Глава 1 и Глава 4. 
  12. ^ Фон Нейман, Джон; Оскар Моргенштерн (2007). Теория игр и экономическое поведение (60-я годовщина издания). Принстон: Princeton University Press. стр. 98. ISBN 978-1-4008-2946-0. OCLC  830323721.
  13. ^ Илан Адлер (2012) Эквивалентность линейных программ и игр с нулевой суммой. Springer
  14. ^ Вэньлян Ван (2015). Теория игрового пула и государственный пенсионный план. ISBN 978-1507658246 . Глава 4. 
  15. ^ Артур Х. Коупленд (июль 1945) Рецензия на книгу, Теория игр и экономическое поведение. Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна (1944). Рецензия опубликована в Bulletin of the American Mathematical Society 51 (7) стр. 498–504 (июль 1945)
  16. ^ abc Фон Нейман, Джон; Оскар Моргенштерн (2007). Теория игр и экономическое поведение (60-я годовщина издания). Принстон: Princeton University Press. С.  220–223 . ISBN 978-1-4008-2946-0. OCLC  830323721.
  17. ^ Пратт, Стивен; Шукер, Маркус (март 2018 г.). «Экономическое влияние бюджетного перевозчика на насыщенном транспортном рынке: чистая выгода или игра с нулевой суммой?». Экономика туризма: бизнес и финансы туризма и отдыха . 25 (2): 149–170 .
  18. ^ Левитт, Стивен Д. (февраль 2004 г.). «Почему рынки азартных игр организованы так по-другому, чем финансовые рынки?». The Economic Journal . 114 (10): 223– 246. doi :10.1111/j.1468-0297.2004.00207.x. S2CID  2289856 – через RePEc.
  19. ^ «Опционы против фьючерсов: в чем разница?». Investopedia . Получено 24.04.2023 .
  20. ^ Тернбулл, Стюарт М. (1987). «Свопы: игра с нулевой суммой?». Финансовый менеджмент . 16 (1): 15– 21. doi :10.2307/3665544. ISSN  0046-3892. JSTOR  3665544.
  21. ^ Энгл, Эрик (сентябрь 2008 г.). «Фондовый рынок как игра: агентский подход к торговле акциями». Количественные финансовые документы – через RePEc.
  22. ^ Олсон, Эрика С. (2010-10-26). Игра с нулевой суммой: рост крупнейшей в мире биржи деривативов. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-62420-3.
  23. ↑ Теория игр и экономическое поведение. Princeton University Press (1953). 25 июня 2005 г. ISBN 9780691130613. Получено 25.02.2018 .
  24. ^ Рубин, Дженнифер (2013-10-04). «Недостаток политики нулевой суммы». The Washington Post . Получено 2017-03-08 .
  25. ^ "Лексингтон: политика с нулевой суммой". The Economist . 2014-02-08 . Получено 2017-03-08 .
  26. ^ "Игра с нулевой суммой | Определение игры с нулевой суммой на сайте". Dictionary.com . Получено 2017-03-08 .

Дальнейшее чтение

  • Неверное изложение концепции игр с нулевой суммой в контексте стратегий профессионального спортивного трейдинга , серия Pardon the Interruption (2010-09-23) ESPN , созданная Тони Корнхайзером и Майклом Уилбоном , исполнение Билла Симмонса
  • Справочник по теории игр – том 2 , глава «Игры двух лиц с нулевой суммой» , (1994) Elsevier Amsterdam, Рагхаван, TES, под редакцией Ауманна и Харта, стр. 735–759, ISBN 0-444-89427-6 
  • Власть: ее формы, основы и применение (1997) Transaction Publishers, Деннис Ронг , ISBN 978-1-56000-822-4 
  • Играйте в игры с нулевой суммой онлайн от Элмера Г. Винса.
  • Теория игр и ее применение – всеобъемлющий текст по психологии и теории игр. (Содержание и предисловие ко второму изданию.)
  • Играбельная игра с нулевой суммой и ее смешанная стратегия. Равновесие Нэша.
  • Игры с положительной суммой
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Игра_с_нулевой_суммой&oldid=1267895837"