Свойство нулевого продукта

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  «Свойство нулевого продукта» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2022 г. )

В алгебре свойство нулевого произведения утверждает, что произведение двух ненулевых элементов не равно нулю. Другими словами,${\displaystyle {\text{если }}ab=0,{\text{ то }}a=0{\text{ или }}b=0.}$

Это свойство также известно как правило нулевого произведения , закон нулевого множителя , свойство умножения нуля , несуществование нетривиальных делителей нуля или одно из двух свойств нулевого множителя . ^[1] Все числовые системы, изучаемые в элементарной математике — целые числа , рациональные числа , действительные числа и комплексные числа — удовлетворяют свойству нулевого произведения. В общем случае кольцо , удовлетворяющее свойству нулевого произведения, называется доменом .${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Предположим, что является алгебраической структурой. Мы могли бы спросить, обладает ли она свойством нулевого произведения? Для того, чтобы этот вопрос имел смысл, она должна иметь как аддитивную, так и мультипликативную структуру. ^[2] Обычно предполагается, что является кольцом , хотя это может быть что-то иное, например, множество неотрицательных целых чисел с обычным сложением и умножением, которое является всего лишь (коммутативным) полукольцом .${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$

Обратите внимание, что если удовлетворяет свойству нулевого произведения, и если является подмножеством , то также удовлетворяет свойству нулевого произведения: если и являются элементами такими, что , то либо , либо , поскольку и также можно рассматривать как элементы .${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle ab=0}$${\displaystyle а=0}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle А}$

• Кольцо, в котором выполняется свойство нулевого произведения, называется доменом . Коммутативная область с мультипликативным единичным элементом называется целостной областью . Любое поле является целостной областью; фактически, любое подкольцо поля является целостной областью (при условии, что оно содержит 1). Аналогично, любое подкольцо тела является доменом. Таким образом, свойство нулевого произведения выполняется для любого подкольца тела.
• Если — простое число , то кольцо целых чисел по модулю обладает свойством нулевого произведения (фактически является полем).${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$
• Гауссовы целые числа являются целостной областью , поскольку они являются подкольцом комплексных чисел.
• В строго косом поле кватернионов свойство нулевого произведения выполняется. Это кольцо не является областью целостности, поскольку умножение не коммутативно .
• Множество неотрицательных целых чисел не является кольцом (будучи полукольцом ) , но оно удовлетворяет свойству нулевого произведения.${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$

• Пусть обозначает кольцо целых чисел по модулю . Тогда не удовлетворяет свойству нулевого произведения: 2 и 3 — ненулевые элементы, но .${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$${\displaystyle 2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}}$
• В общем случае, если — составное число , то не удовлетворяет свойству нулевого произведения. А именно, если где , то и не равны нулю по модулю , но .${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle n=qm}$${\displaystyle 0<q,m<n}$${\displaystyle м}$${\displaystyle д}$${\displaystyle n}$${\displaystyle qm\equiv 0{\pmod {n}}}$
• Кольцо матриц 2×2 с целыми элементами не удовлетворяет свойству нулевого произведения: если и , то ни , ни не является нулем.${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2\times 2}}$$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle N={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle MN={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}=0,}$$${\displaystyle М}$${\displaystyle N}$
• Кольцо всех функций , от единичного интервала до действительных чисел , имеет нетривиальные делители нуля: существуют пары функций, которые не равны тождественно нулю, но произведение которых является нулевой функцией. На самом деле, несложно построить для любого n ≥ 2 функции , ни одна из которых не является тождественно нулевой, такие, что является тождественно нулевой всякий раз .${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle f_{i}\,f_{j}}$${\displaystyle i\neq j}$
• То же самое верно, даже если мы рассматриваем только непрерывные функции, или только бесконечно гладкие функции . С другой стороны, аналитические функции обладают свойством нулевого произведения.

Предположим, что и являются одномерными многочленами с действительными коэффициентами, а — действительное число, такое что . (На самом деле, мы можем позволить коэффициентам и происходить из любой целочисленной области.) По свойству нулевого произведения следует, что либо , либо . Другими словами, корни являются в точности корнями вместе с корнями .${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(x)Q(x)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(x)=0}$${\displaystyle Q(x)=0}$${\displaystyle PQ}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

Таким образом, можно использовать факторизацию для нахождения корней многочлена. Например, многочлен факторизуется как ; следовательно, его корни равны в точности 3, 1 и −2.${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-5x+6}$${\displaystyle (x-3)(x-1)(x+2)}$

В общем случае предположим, что является областью целостности и является моническим одномерным многочленом степени с коэффициентами в . Предположим также, что имеет различные корни . Из этого следует (но мы не доказываем здесь), что факторизуется как . По свойству нулевого произведения следует, что являются единственными корнями : любой корень должен быть корнем для некоторого . В частности, имеет не более различных корней.${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle d\geq 1}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle д}$${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{d}\in R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=(x-r_{1})\cdots (x-r_{d})}$${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{d}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (x-r_{i})}$${\displaystyle я}$${\displaystyle f}$${\displaystyle д}$

Однако если не является областью целостности, то заключение не обязательно должно быть выполнено. Например, кубический многочлен имеет шесть корней в (хотя он имеет только три корня в ).${\displaystyle R}$${\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Основная теорема алгебры
• Интегральная область и домен
• Главный идеал
• Делитель нуля

• Дэвид С. Даммит и Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра (3-е изд.), Wiley, 2003, ISBN  0-471-43334-9 .

• PlanetMath: Правило произведения нуля