Уравнение Гессе

В математике k -уравнения Гессе (или сокращенно уравнения Гессе ) являются частными дифференциальными уравнениями (ЧДУ), основанными на матрице Гессе . Более конкретно, уравнение Гессе является k -следом или k -м элементарным симметрическим многочленом собственных значений матрицы Гессе. Когда k ≥ 2, k -уравнение Гессе является полностью нелинейным частным дифференциальным уравнением. [1] Его можно записать как , где , , и , являются собственными значениями матрицы Гессе , а , является м элементарным симметрическим многочленом. [2] [3] С к [ ты ] = ф {\displaystyle {\cal {S}}_{k}[u]=f} 1 ⩽ к ⩽ н {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n} С к [ ты ] = σ к ( λ ( Д 2 ты ) ) {\displaystyle {\cal {S}}_{k}[u]=\sigma _{k}(\lambda ({\cal {D}}^{2}u))} λ ( Д 2 ты ) = ( λ 1 , ⋯ , λ н ) {\displaystyle \lambda ({\cal {D}}^{2}u)=(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n})} D 2 u = [ ∂ i ∂ j u ] 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle {\cal {D}}^{2}u=[\partial _{i}\partial _{j}u]_{1\leq i,j\leq n}} σ k ( λ ) = ∑ i 1 < ⋯ < i k λ i 1 ⋯ λ i k {\displaystyle \sigma _{k}(\lambda )=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\lambda _{i_{1}}\cdots \lambda _{i_{k}}} k {\displaystyle k}

Подобно тому, как дифференциальные уравнения часто изучают действия дифференциальных операторов (например, эллиптических операторов и эллиптических уравнений ), уравнения Гессе можно понимать как просто уравнения собственных значений, на которые действует дифференциальный оператор Гессе. Особые случаи включают уравнение Монжа–Ампера [4] и уравнение Пуассона (Лапласиан является следом матрицы Гессе). Оператор 2- гессе также появляется в задачах конформного отображения. Фактически, уравнение 2- гессе незнакомо за пределами римановой геометрии и теории эллиптической регулярности, которая тесно связана со скалярным оператором кривизны, который обеспечивает внутреннюю кривизну для трехмерного многообразия.

Эти уравнения представляют интерес для геометрических уравнений в частных производных (подобласть на стыке геометрического анализа и уравнений в частных производных) и дифференциальной геометрии .

Ссылки

  1. ^ Колесанти, Андреа (2004), «О целых решениях уравнений Гессе Sk(D2u) = 1» (PDF) , Quaderno del Dipartimento di Matematica «U. Dini», Universitá degli Studi di Firenze.
  2. ^ Yourdkhany, Mahdieh; Nadjafikhah, Mehdi; Toomanian, Megerdich (2021-08-01). «Предварительная групповая классификация и некоторые точные решения уравнения 2-Hessian». Бюллетень Иранского математического общества . 47 (4): 977– 994. arXiv : 1902.02702 . doi : 10.1007/s41980-020-00424-3. ISSN  1735-8515. S2CID  225550133.
  3. ^ Froese, Brittany D.; Oberman, Adam M.; Salvador, Tiago (2016-05-14). «Численные методы для 2-гессеанового эллиптического уравнения в частных производных». IMA Journal of Numerical Analysis . 37 (1): 209–236 . arXiv : 1502.04969 . doi : 10.1093/imanum/drw007. ISSN  0272-4979.
  4. ^ Ван, Сюй-Цзя (2009), «Уравнение К-Гессиана» (PDF) , в Чанге, Сунь-Юн Алиса; Амбросетти, Антонио; Мальчиоди, Андреа (ред.), Геометрический анализ и PDE , Конспекты лекций по математике, том. 1977, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-01673-8.

Дальнейшее чтение

  • Каффарелли, Л.; Ниренберг, Л.; Спрук, Дж. (1985), «Задача Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка, III: Функции собственных значений гессиана» (PDF) , Acta Mathematica , 155 (1): 261– 301, doi : 10.1007/BF02392544.


Значок заглушки

Эта статья по дифференциальной геометрии — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hessian_equation&oldid=1191450939"