Тауберова теорема Винера

В математическом анализе тауберова теорема Винера — один из нескольких взаимосвязанных результатов, доказанных Норбертом Винером в 1932 году. [ ^1] Они обеспечивают необходимое и достаточное условие, при котором любая функция в или может быть приближена линейными комбинациями сдвигов данной функции. ^[2]${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{2}}$

Неформально, если преобразование Фурье функции обращается в нуль на некотором множестве , преобразование Фурье любой линейной комбинации переносов также обращается в нуль на . Следовательно, линейные комбинации переносов не могут аппроксимировать функцию, преобразование Фурье которой не обращается в нуль на .${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$

Теоремы Винера уточняют это, утверждая, что линейные комбинации переносов являются плотными тогда и только тогда, когда нулевое множество преобразования Фурье пусто (в случае ) или имеет нулевую меру Лебега (в случае ).${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{2}}$

Гельфанд переформулировал теорему Винера в терминах коммутативных C*-алгебр , утверждая, что спектр группового кольца группы действительных чисел является двойственной группой . Аналогичный результат верен, когда заменяется на любую локально компактную абелеву группу .${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Типичная тауберова теорема имеет следующий результат для . Если:${\displaystyle f\in L^{1}(0,\infty)}$

1. ${\displaystyle f(x)=O(1)}$как${\displaystyle x\to \infty }$
2. ${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{\infty }e^{-t/x}f(t)\,dt\to L}$как ,${\displaystyle x\to \infty }$

затем

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\to L.}$

Обобщая, пусть будет заданной функцией, а будет предложением${\displaystyle G(т)}$${\displaystyle P_{G}(f)}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{\infty }G(t/x)f(t)\,dt\to L.}$

Отметим, что одна из гипотез и заключение тауберовой теоремы имеют вид , соответственно, при этом и Вторая гипотеза представляет собой «тауберово условие».${\displaystyle P_{G}(f)}$${\displaystyle G(t)=e^{-t}}$${\displaystyle G(t)=1_{[0,1]}(t).}$

Тауберовы теоремы Винера имеют следующую структуру: ^[3]

Если задана функция такая, что , , и , то справедливо для всех «разумных» .${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle W(G_{1})}$${\displaystyle P_{G_{1}}(f)}$${\displaystyle R(f)}$${\displaystyle P_{G_{2}}(f)}$${\displaystyle G_{2}}$

Вот «тауберово» условие на , а — специальное условие на ядре . Сила теоремы в том , что она справедлива не для конкретного ядра , а для всех разумных ядер .${\displaystyle R(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W(G_{1})}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle P_{G_{2}}(f)}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

Условие Винера — это грубо говоря, условие на нули преобразования Фурье . Например, для функций класса условие состоит в том, что преобразование Фурье нигде не обращается в нуль. Это условие часто легко увидеть как необходимое условие для выполнения тауберовой теоремы такого рода. Ключевым моментом является то, что это простое необходимое условие также является достаточным.${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle L^{1}}$

Пусть будет интегрируемой функцией . Диапазон переносов плотен в тогда и только тогда, когда преобразование Фурье не имеет действительных нулей .${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f_{a}(x)=f(x+a)}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f}$

Следующее утверждение эквивалентно предыдущему результату ^{[ необходима ссылка ]} и объясняет, почему результат Винера является тауберовой теоремой :

Предположим, что преобразование Фурье не имеет действительных нулей, и предположим, что свертка стремится к нулю на бесконечности для некоторого . Тогда свертка стремится к нулю на бесконечности для любого .${\displaystyle f\in L^{1}}$ ${\displaystyle f*h}$${\displaystyle h\in L^{\infty }}$${\displaystyle г*ч}$${\displaystyle г\в L^{1}}$

В более общем смысле, если

${\displaystyle \lim _{x\to \infty}(f*h)(x)=A\int f(x)\,dx}$

для некоторых преобразование Фурье которых не имеет действительных нулей, то также${\displaystyle f\in L^{1}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty}(g*h)(x)=A\int g(x)\,dx}$

для любого .${\displaystyle г\в L^{1}}$

Теорема Винера имеет аналог в : диапазон переносов плотен тогда и только тогда, когда ряд Фурье${\displaystyle l^{1}(\mathbb {Z})}$${\displaystyle f\in l^{1}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)e^{-in\theta }\,}$

не имеет реальных нулей. Следующие утверждения являются эквивалентной версией этого результата:

• Предположим, что ряд Фурье не имеет действительных нулей, и для некоторой ограниченной последовательности свертка${\displaystyle f\in l^{1}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle f*h}$

стремится к нулю на бесконечности. Тогда также стремится к нулю на бесконечности для любого .${\displaystyle г*ч}$${\displaystyle g\in l^{1}(\mathbb {Z} )}$

• Пусть — функция на единичной окружности с абсолютно сходящимся рядом Фурье. Тогда имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle 1/\varphi}$

тогда и только тогда, когда не имеет нулей.${\displaystyle \varphi}$

Гельфанд (1941а, 1941б) показал, что это эквивалентно следующему свойству алгебры Винера , которое он доказал с помощью теории банаховых алгебр , тем самым дав новое доказательство результата Винера:${\displaystyle A(\mathbb {T} )}$

• Максимальные идеалы имеют вид${\displaystyle A(\mathbb {T} )}$

${\displaystyle M_{x}=\left\{f\in A(\mathbb {T} )\mid f(x)=0\right\},\quad x\in \mathbb {T} .}$

Пусть будет квадратично-интегрируемой функцией . Диапазон переносов плотен в тогда и только тогда, когда действительные нули преобразования Фурье образуют множество нулевой меры Лебега .${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f_{a}(x)=f(x+a)}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f}$

Параллельное утверждение в следующем: диапазон трансляций последовательности плотен тогда и только тогда, когда нулевое множество ряда Фурье${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z})}$${\displaystyle f\in l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)e^{-in\theta }}$

имеет нулевую меру Лебега.

• Гельфанд И. (1941а), "Нормьерте Ринге", Rec. Математика. (Мат. Сборник) , Новая серия, 9 (51): 3–24 , MR  0004726
• Гельфанд И. (1941b), "Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale", Rec. Математика. (Мат. Сборник) , Новая серия, 9 (51): 51–66 , MR  0004727
• Рудин, В. (1991), Функциональный анализ , Международная серия по чистой и прикладной математике, Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc., ISBN 0-07-054236-8, МР  1157815
• Винер, Н. (1932), «Тауберовы теоремы», Annals of Mathematics , 33 (1): 1– 100, doi :10.2307/1968102, JSTOR  1968102

• Штерн, А.И. (2001) [1994], "Тауберова теорема Винера", Энциклопедия математики , EMS Press