Масштабирование Widom

Масштабирование Видома (по имени Бенджамина Видома ) — гипотеза в статистической механике относительно свободной энергии магнитной системы вблизи ее критической точки , которая приводит к тому, что критические показатели перестают быть независимыми, так что их можно параметризовать в терминах двух значений. Можно считать, что гипотеза возникает как естественное следствие процедуры перенормировки блока-спина, когда размер блока выбирается таким же, как и длина корреляции. ^[1]

Масштабирование Видома является примером универсальности .

Критические показатели и определяются в терминах поведения параметров порядка и функций отклика вблизи критической точки следующим образом:${\displaystyle \альфа,\альфа ',\бета,\гамма,\гамма '}$${\displaystyle \дельта}$

${\displaystyle M(t,0)\simeq (-t)^{\beta }}$, для${\displaystyle t\uparrow 0}$

${\displaystyle M(0,H)\simeq |H|^{1/\delta }\mathrm {знак} (H)}$, для${\displaystyle H\rightarrow 0}$

${\displaystyle \chi _{T}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\gamma },&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\gamma '},&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}}$

${\displaystyle c_{H}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\alpha }&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\alpha '}&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}}$

где

${\displaystyle t\equiv {\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}}$измеряет температуру относительно критической точки.

Вблизи критической точки соотношение масштабирования Видома выглядит следующим образом:

${\displaystyle H(t)\simeq M|M|^{\delta -1}f(t/|M|^{1/\beta })}$.

где имеет расширение${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(t/|M|^{1/\beta })\approx 1+{\rm {const}}\times (t/|M|^{1/\beta })^{\omega }+\dots }$,

являясь представителем Вегнера, определяющим подход к масштабированию. ${\displaystyle \омега}$

Гипотеза масштабирования заключается в том, что вблизи критической точки свободная энергия в размерностях может быть записана как сумма медленно меняющейся регулярной части и сингулярной части , причем сингулярная часть является масштабной функцией, т.е. однородной функцией , так что${\displaystyle f(t,H)}$${\displaystyle д}$${\displaystyle f_{r}}$${\displaystyle f_{s}}$

${\displaystyle f_{s}(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}f_{s}(t,H)\,}$

Тогда, взяв частную производную по H и форму M(t,H), получим

${\displaystyle \lambda ^{q}M(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}M(t,H)\,}$

Установка и в предыдущем уравнении дает${\displaystyle H=0}$${\displaystyle \лямбда =(-t)^{-1/p}}$

${\displaystyle M(t,0)=(-t)^{\frac {dq}{p}}M(-1,0),}$для${\displaystyle t\uparrow 0}$

Сравнивая это с определением дает его значение,${\displaystyle \бета}$

${\displaystyle \beta ={\frac {dq}{p}}\equiv {\frac {\nu }{2}}(d-2+\eta ).}$

Аналогично, подстановка и в соотношение масштабирования для M дает${\displaystyle т=0}$${\displaystyle \lambda =H^{-1/q}}$

${\displaystyle \delta ={\frac {q}{dq}}\equiv {\frac {d+2-\eta }{d-2+\eta }}.}$

Следовательно

${\displaystyle {\frac {q}{p}}={\frac {\nu }{2}}(d+2-\eta),~{\frac {1}{p}}=\nu .}$

Применяя выражение для изотермической восприимчивости в терминах M к масштабному соотношению, получаем${\displaystyle \chi _{T}}$

${\displaystyle \lambda ^{2q}\chi _{T}(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}\chi _{T}(t,H)\,}$

Установка H=0 и для (соотв. для ) дает${\displaystyle \лямбда =(t)^{-1/p}}$${\displaystyle t\стрелка вниз 0}$${\displaystyle \лямбда =(-t)^{-1/p}}$${\displaystyle t\uparrow 0}$

${\displaystyle \gamma =\gamma '={\frac {2q-d}{p}}\,}$

Аналогично для выражения для удельной теплоемкости через M к масштабному соотношению получаем${\displaystyle c_{H}}$

${\displaystyle \lambda ^{2p}c_{H}(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}c_{H}(t,H)\,}$

Принимая H=0 и для (или для выходов${\displaystyle \лямбда =(t)^{-1/p}}$${\displaystyle t\стрелка вниз 0}$${\displaystyle \лямбда =(-t)^{-1/p}}$${\displaystyle t\uparrow 0)}$

${\displaystyle \alpha =\alpha '=2- {\frac {d}{p}}=2-\nu d}$

Вследствие масштабирования Видома не все критические показатели являются независимыми, но их можно параметризовать двумя числами с соотношениями, выраженными как${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \alpha =\alpha '=2-\nu d,}$

${\displaystyle \gamma =\gamma '=\beta (\delta -1)=\nu (2-\eta).}$

Соотношения экспериментально хорошо проверены для магнитных систем и жидкостей.

• Г. Э. Стэнли, Введение в фазовые переходы и критические явления
• Х. Кляйнерт и В. Шульте-Фролинде, Критические свойства φ ⁴ -теорий , World Scientific (Сингапур, 2001); Мягкая обложка ISBN  981-02-4658-7 (также доступно онлайн)