Теорема расширения Уитни

В математике , в частности в математическом анализе , теорема Уитни о расширении является частичным обращением теоремы Тейлора . Грубо говоря, теорема утверждает, что если A — замкнутое подмножество евклидова пространства, то можно расширить заданную функцию A таким образом, чтобы иметь предписанные производные в точках A. Это результат Хасслера Уитни .

Точная формулировка теоремы требует тщательного рассмотрения того, что означает предписывать производную функции на замкнутом множестве. Одна из трудностей, например, заключается в том, что замкнутые подмножества евклидова пространства в общем случае не имеют дифференцируемой структуры . Тогда отправной точкой является рассмотрение формулировки теоремы Тейлора.

Для данной действительной функции C ^m f ( x ) на R ⁿ теорема Тейлора утверждает, что для каждого a , x , y ∈ R ⁿ существует функция R _α ( x , y ), равномерно стремящаяся к 0 при x , y → a , такая, что

${\displaystyle f({\mathbf {x} })=\sum _{|\alpha |\leq m}{\frac {D^{\alpha }f({\mathbf {y} })}{\alpha !}}\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {y} })^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=m}R_{\alpha }({\mathbf {x} },{\mathbf {y} }){\frac {({\mathbf {x} }-{\mathbf {y} })^{\ альфа }}{\альфа !}}}$

( 1 )

где сумма берется по мультииндексам  α .

Пусть f _α = D ^α f для каждого мультииндекса α . Дифференцируя (1) по x и, возможно, заменяя R по мере необходимости, получаем

${\displaystyle f_{\alpha }({\mathbf {x} })=\sum _{|\beta |\leq m-|\alpha |}{\frac {f_{\alpha +\beta }({\ mathbf {y} })}{\beta !}}({\mathbf {x} }-{\mathbf {y} })^{\beta }+R_{\alpha }({\mathbf {x} }, {\mathbf {y} })}$

( 2 )

где R _α равно o (| x  −  y | ^{m −| α |} ) равномерно при x , y → a .

Обратите внимание, что ( 2 ) можно рассматривать как чистое условие совместимости между функциями f _α , которое должно быть выполнено для того, чтобы эти функции были коэффициентами ряда Тейлора функции f . Именно это понимание облегчает следующее утверждение:

Теорема. Предположим, что f _α — набор функций на замкнутом подмножестве A пространства R ⁿ для всех мультииндексов α, удовлетворяющих условию совместимости ( 2 ) во всех точках x , y и a пространства A. Тогда существует функция F ( x ) класса C ^m такая, что:${\displaystyle |\альфа |\leq m}$

1. F = f ₀ на A .
2. D ^α F = f _α на A .
3. F является вещественно-аналитическим в каждой точке R ⁿ  −  A .

Доказательства приведены в оригинальной статье Уитни (1934), а также в работах Мальгранжа (1967), Бирстоуна (1980) и Хермандера (1990).

Сили (1964) доказал усиление теоремы Уитни о расширении в частном случае полупространства. Гладкая функция на полупространстве R ^{n ,+} точек, где x _n ≥ 0, является гладкой функцией f на внутренней части x _{n ,} для которой производные ∂ ^α f продолжаются до непрерывных функций на полупространстве. На границе x _n = 0 f ограничивается гладкой функцией. По лемме Бореля f может быть продолжена до гладкой функции на всем R ⁿ . Поскольку лемма Бореля локальна по своей природе, то же самое рассуждение показывает, что если является (ограниченной или неограниченной) областью в R ⁿ с гладкой границей, то любая гладкая функция на замыкании может быть продолжена до гладкой функции на R ⁿ .${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \Омега}$

Результат Сили для полупрямой дает равномерное отображение расширения

Не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин для браузера): Недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \displaystyle{E:C^\infty(\mathbf{R}^+)\rightarrow C^\infty(\mathbf{R}),}}

которая является линейной, непрерывной (для топологии равномерной сходимости функций и их производных на компактах) и переводит функции, содержащиеся в [0, R ], в функции, содержащиеся в [− R , R ]

Чтобы определить множество ^[1]${\displaystyle E,}$

${\displaystyle \displaystyle {E(f)(x)=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}f(-b_{m}x)\varphi (-b_{m}x)\,\,\,(x<0),}}$

где φ — гладкая функция компактного носителя на R, равная 1 вблизи 0, а последовательности ( a _m ), ( b _m ) удовлетворяют:

• ${\displaystyle b_{м}>0}$имеет тенденцию к ;${\displaystyle \infty}$
• ${\displaystyle \sum a_{m}b_{m}^{j}=(-1)^{j}}$для с абсолютно сходящейся суммы.${\displaystyle j\geq 0}$

Решение этой системы уравнений можно получить, взяв и найдя целую функцию${\displaystyle b_{n}=2^{n}}$

${\displaystyle g(z)=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}z^{m}}$

что То, что такая функция может быть построена, следует из теоремы Вейерштрасса и теоремы Миттаг-Леффлера . ^[2]${\displaystyle g\left(2^{j}\right)=(-1)^{j}.}$

Это можно увидеть напрямую, установив ^[3]

${\displaystyle W(z)=\prod _{j\geq 1}(1-z/2^{j}),}$

целая функция с простыми нулями в Производные W '(2 ^j ) ограничены сверху и снизу. Аналогично функция${\displaystyle 2^{j}.}$

${\displaystyle M(z)=\sum _{j\geq 1}{(-1)^{j} \over W^{\prime }(2^{j})(z-2^{j})}}$

мероморфный с простыми полюсами и предписанными остатками в${\displaystyle 2^{j}.}$

По конструкции

${\displaystyle \displaystyle {g (z) = W (z) M (z)}}$

— целая функция с требуемыми свойствами.

Определение полупространства в R ⁿ путем применения оператора R к последней переменной x _n . Аналогично, используя гладкое разбиение единицы и локальную замену переменных, результат для полупространства подразумевает существование аналогичного расширяющего отображения

${\displaystyle \displaystyle {C^{\infty }({\overline {\Omega }})\rightarrow C^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}}$

для любой области в Rn ^с гладкой границей.${\displaystyle \Омега}$

• Теорема Киршбрауна дает расширения функций Липшица.
• Теорема Титце о расширении  – Непрерывные отображения на замкнутом подмножестве нормального пространства могут быть расширены
• Теорема Хана–Банаха  – Теорема о расширении ограниченных линейных функционалов

• МакШейн, Эдвард Джеймс (1934), «Расширение области действия функций», Bull. Amer. Math. Soc. , 40 (12): 837–842, doi : 10.1090/s0002-9904-1934-05978-0 , MR  1562984, Zbl  0010.34606
• Уитни, Хасслер (1934), «Аналитические расширения дифференцируемых функций, определенных в замкнутых множествах», Труды Американского математического общества , 36 (1), Американское математическое общество: 63–89, doi : 10.2307/1989708 , JSTOR  1989708
• Бирстоун, Эдвард (1980), «Дифференцируемые функции», Бюллетень Бразильского математического общества , 11 (2): 139–189, doi :10.1007/bf02584636
• Malgrange, Bernard (1967), Идеалы дифференцируемых функций , Институт фундаментальных исследований в области математики Тата, т. 3, Oxford University Press
• Seeley, RT (1964), «Расширение функций C∞, определенных в полупространстве», Proc. Amer. Math. Soc. , 15 : 625–626, doi : 10.1090/s0002-9939-1964-0165392-8
• Хермандер, Ларс (1990), Анализ линейных частных дифференциальных операторов. I. Теория распределений и анализ Фурье , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
• Шазарейн, Жак; Пириу, Ален (1982), Введение в теорию линейных уравнений с частными производными , Исследования по математике и ее приложениям, т. 14, Elsevier, ISBN 0444864520
• Поннусами, С.; Сильверман, Херб (2006), Комплексные переменные с приложениями , Биркхойзер, ISBN 0-8176-4457-1
• Фефферман, Чарльз (2005), «Точная форма теоремы Уитни о расширении», Annals of Mathematics , 161 (1): 509–577, doi : 10.4007/annals.2005.161.509 , MR  2150391