Теорема Венделя

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  "Теорема Венделя" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2010 г. )

В геометрической теории вероятностей теорема Венделя , названная в честь Джеймса Г. Венделя, дает вероятность того, что N точек, равномерно распределенных случайным образом на -мерной гиперсфере, лежат на одной и той же "половине" гиперсферы. Другими словами, ищется вероятность того, что существует некоторое полупространство с началом координат на его границе, которое содержит все N точек. Теорема Венделя утверждает, что вероятность равна ^[1]${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle p_{n,N}=2^{-N+1}\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {N-1}{k}}.}$

Утверждение эквивалентно вероятности того, что начало координат не содержится в выпуклой оболочке N точек , и справедливо для любого распределения вероятностей на R ⁿ , симметричного относительно начала координат. В частности, это включает все распределения, которые инвариантны относительно вращения вокруг начала координат.${\displaystyle p_{n,N}}$

По сути, это вероятностная переформулировка теоремы Шлефли о том, что гиперплоскости в общем положении делят его на области. ^[2]${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle 2\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {N-1}{k}}}$