Средневзвешенная продолжительность жизни

В финансах средневзвешенный срок службы (WAL) амортизируемого кредита или амортизируемой облигации, также называемый средним сроком службы , ^{[1] [2] [3]} представляет собой средневзвешенное значение сроков погашения основного долга : это среднее время до погашения одного доллара основного долга.

В формуле ^[4]

${\displaystyle {\text{WAL}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i},}$

где:

• ${\displaystyle P}$это (общая) основная сумма,
• ${\displaystyle P_{i}}$это основной платеж, который включен в платеж , следовательно${\displaystyle я}$
• ${\displaystyle {\frac {P_{i}}{P}}}$это доля от общей суммы основного долга, которая включена в платеж , и${\displaystyle я}$
• ${\displaystyle t_{i}}$время (в годах) от даты расчета до платежа .${\displaystyle я}$

При желании можно расширить, как для ежемесячной облигации, где — доля месяца между датой расчета и датой первого денежного потока.${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle {\frac {1}{12}}(i+\alpha -1)}$${\displaystyle \альфа}$

В кредитах, которые допускают досрочное погашение , WAL не может быть вычислен только из графика амортизации; необходимо также сделать предположения о поведении досрочного погашения и дефолта, и указанный WAL будет оценкой. WAL обычно вычисляется из одной последовательности денежных потоков. Иногда смоделированный средний срок может быть вычислен из нескольких сценариев денежных потоков, например, из модели спреда с поправкой на опционы . ^[5]

WAL не следует путать со следующими отдельными концепциями:

Продолжительность облигации

Продолжительность облигации — это средневзвешенное время получения дисконтированных текущих значений всех денежных потоков (включая как основную сумму, так и проценты), тогда как WAL — это средневзвешенное время получения просто основных платежей (без учета процентов и без дисконтирования). Для амортизируемого кредита с равными платежами WAL будет выше продолжительности, так как ранние платежи взвешиваются в пользу процентов, а более поздние платежи взвешиваются в пользу основной суммы, и, кроме того, учет текущей стоимости (в продолжительности) дисконтирует более поздние платежи.

Время до погашения 50% основного долга

WAL — это среднее значение , в то время как «50% основного долга погашено» — это медиана ; см. разницу между средним значением и медианой . Поскольку непогашенный основной долг является вогнутой функцией (времени) для амортизируемого кредита с фиксированным платежом, к моменту WAL будет погашено менее половины основного долга. Интуитивно это объясняется тем, что большая часть основного долга выплачивается в конце. Формально распределение выплат имеет отрицательный перекос : небольшие выплаты основного долга в начале тянут вниз WAL (среднее значение) больше, чем уменьшают медиану.

Средневзвешенный срок погашения (WAM)

WAM — это среднее значение дат погашения нескольких кредитов, а не среднее значение выплат по основному долгу.

WAL — это мера, которая может быть полезна при анализе кредитного риска по ценным бумагам с фиксированным доходом, учитывая, что основным кредитным риском кредита является риск потери основного долга. При прочих равных условиях облигация с более длительным сроком погашения основного долга (т. е. более долгим WAL) имеет больший кредитный риск, чем облигация с более коротким WAL. В частности, WAL часто используется в качестве основы для сравнения доходности в расчетах I-spread .

WAL не следует использовать для оценки чувствительности цены облигации к колебаниям процентной ставки, поскольку WAL включает только основные денежные потоки, исключая процентные платежи. Вместо этого следует использовать длительность облигации , которая включает все денежные потоки.

WAL по единовременному кредиту (без амортизации) в точности соответствует сроку погашения, поскольку основная сумма долга погашается точно в момент наступления срока погашения.

При 30-летнем амортизируемом кредите, выплачиваемом равными суммами ежемесячно, при заданных годовых процентных ставках (и соответствующих ежемесячных платежах на остаток основного долга в размере 100 000 долларов США, рассчитанных с помощью калькулятора амортизации и приведенных ниже формул, связывающих амортизируемые платежи, общие проценты и WAL) имеются следующие WAL:

Обратите внимание, что с ростом процентной ставки увеличивается WAL, поскольку выплаты основного долга все больше задерживаются. WAL не зависит от остатка основного долга, хотя выплаты и общие проценты пропорциональны основному долгу.

Для купона 0%, где основная сумма амортизируется линейно, WAL составляет ровно половину срока плюс половину периода платежа, поскольку основная сумма погашается в конце периода. Таким образом, для 30-летнего кредита под 0%, выплачиваемого ежемесячно, WAL составляет лет .${\displaystyle 15+1/24\приблизительно 15,04}$

WAL позволяет легко рассчитать общую сумму процентных платежей по формуле:

${\displaystyle {\text{WAL}}\times r\times P,}$

где r — годовая процентная ставка, а P — первоначальный капитал.

Интуитивно это можно понять так: «Средний доллар основного долга является непогашенным для WAL, следовательно, проценты на средний доллар составляют , и теперь нужно умножить на основной долг, чтобы получить общую сумму процентных платежей».${\displaystyle {\text{WAL}}\times r}$

Более строго, можно вывести результат следующим образом. Для простоты изложения предположим, что платежи производятся ежемесячно, поэтому периодическая процентная ставка равна годовой процентной ставке, деленной на 12, а время (время в годах равно номеру периода в месяцах, больше 12).${\displaystyle t_{i}=i/12}$

Затем:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{WAL}}&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i}\\{\text{WAL}}\times P&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}t_{i}&&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}{\frac {i}{12}}\\{\text{WAL}}\times P\times r&=\sum _{i=1}^{n}iP_{i}{\frac {r}{12}}&&={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}iP_{i}\end{aligned}}}$

Общая сумма процентов составляет

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}Q_{i}{\frac {r}{12}}={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}Q_{i},}$

где — непогашенный основной долг на начало периода i (это основной долг, на котором основаны выплаты процентов i ). Утверждение сводится к тому, чтобы показать, что . Обе эти величины представляют собой взвешенный по времени общий основной долг облигации (в периодах), и они просто являются разными способами его разрезания: сумма подсчитывает, как долго каждый доллар основного долга остается непогашенным (она разрезает горизонтально ), в то время как подсчитывает, сколько основного долга остается непогашенным в каждый момент времени (она разрезает вертикально ).${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}iP_{i}=\sum _{i=1}^{n}Q_{i}}$${\displaystyle iP_{i}}$${\displaystyle Q_{i}}$

Действуя в обратном порядке , и так далее: непогашенный основной долг, когда осталось k периодов, в точности равен сумме следующих k основных платежей. Основной долг, выплаченный последним ( n th) основным платежом, остается непогашенным в течение всех n периодов, в то время как основной долг, выплаченный предпоследним (( n  − 1)th) основным платежом, остается непогашенным в течение n  − 1 периодов и так далее. Используя это, суммы можно перегруппировать так, чтобы они стали равными.${\displaystyle Q_{n}=P_{n},Q_{n-1}=P_{n}+P_{n-1}}$

Например, если основная сумма амортизируется как $100, $80, $50 (с выплатами $20, $30, $50), то сумма будет с одной стороны , а с другой стороны . Это продемонстрировано в следующей таблице, которая показывает график амортизации, разбитый на выплаты основной суммы, где каждый столбец - это , а каждая строка - это :${\displaystyle 20+2\cdot 30+3\cdot 50=230}$${\displaystyle 100+80+50=230}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle iP_{i}}$

Вышесказанное можно перевернуть: учитывая условия (основной долг, срок, ставка) и амортизированный платеж A , можно вычислить WAL, не зная график амортизации. Общие платежи составляют , а общие процентные платежи составляют , поэтому WAL составляет:${\displaystyle Ан}$${\displaystyle Ан-П}$

${\displaystyle {\text{WAL}}={\frac {An-P}{Pr}}}$

Аналогично, общий процент как процент от основного долга определяется по формуле :${\displaystyle {\text{WAL}}\times r}$

${\displaystyle {\text{WAL}}\times r={\frac {An-P}{P}}}$

• Фабоцци, Фрэнк Дж. (2000), Справочник по ценным бумагам с фиксированным доходом , ISBN 0-87094-985-3

• Калькулятор амортизации
• График амортизации
• Погашение кредита