Математические функции, связанные с эллиптической функцией Вейерштрасса
В математике функции Вейерштрасса — это специальные функции комплексной переменной , которые являются вспомогательными по отношению к эллиптической функции Вейерштрасса . Они названы в честь Карла Вейерштрасса . Связь между сигмой, дзетой и функциями аналогична связи между функциями синуса, котангенса и квадрата косеканса: логарифмическая производная синуса — это котангенс, производная которого отрицательна квадрату косеканса. ℘ {\displaystyle \wp}
Сигма-функция Вейерштрасса График сигма-функции с использованием раскраски домена . Сигма -функция Вейерштрасса , связанная с двумерной решеткой , определяется как произведение Λ ⊂ С {\displaystyle \Лямбда \subset \mathbb {C} }
σ ( з ; Λ ) = з ∏ ж ∈ Λ ∗ ( 1 − з ж ) опыт ( з ж + 1 2 ( з ж ) 2 ) = з ∏ м , н = − ∞ { м , н } ≠ 0 ∞ ( 1 − з м ω 1 + н ω 2 ) опыт ( з м ω 1 + н ω 2 + 1 2 ( з м ω 1 + н ω 2 ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)\exp \left({\frac {z}{w}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}\right)\\[5mu]&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)\exp {\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)^{2}\right)}\end{aligned}}} где обозначает или — фундаментальная пара периодов Λ ∗ {\displaystyle \Лямбда ^{*}} Λ − { 0 } {\displaystyle \Lambda -\{0\}} { ω 1 , ω 2 } {\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2}\}}
Путем тщательного манипулирования теоремой Вейерштрасса о факторизации , касающейся также функции синуса, можно получить еще одно потенциально более управляемое определение бесконечного произведения:
σ ( з ; Λ ) = ω я π опыт ( η я з 2 ω я ) грех ( π з ω я ) ∏ н = 1 ∞ ( 1 − грех 2 ( π з / ω я ) грех 2 ( н π ω дж / ω я ) ) {\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}\exp {\left({\frac {\eta _{i}z^{2}}{\omega _{i}}}\right)}\sin {\left({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\sin ^{2}{\left(\pi z/\omega _{i}\right)}}{\sin ^{2}{\left(n\pi \omega _{j}/\omega _{i}\right)}}}\right)} для любого с и где мы использовали обозначение (см. дзета-функцию ниже). { я , дж } ∈ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{i,j\}\in \{1,2,3\}} я ≠ дж {\displaystyle i\neq j} η я = ζ ( ω я / 2 ; Λ ) {\displaystyle \eta _{i} = \ zeta (\omega _{i}/2;\Lambda)}
Дзета-функция Вейерштрасса График дзета-функции с использованием доменной раскраски Дзета-функция Вейерштрасса определяется суммой
ζ ( з ; Λ ) = σ ′ ( з ; Λ ) σ ( з ; Λ ) = 1 з + ∑ ж ∈ Λ ∗ ( 1 з − ж + 1 ж + з ж 2 ) . {\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda)}={\frac {\sigma '(z;\Lambda)}{\sigma (z;\Lambda)}}={\frac {1} {z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{zw}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z} {w^{2}}}\вправо).} Дзета-функция Вейерштрасса является логарифмической производной сигма-функции. Дзета-функция может быть переписана как:
ζ ( з ; Λ ) = 1 з − ∑ к = 1 ∞ Г 2 к + 2 ( Λ ) з 2 к + 1 {\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda)}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_ {2k+2}(\Lambda)z^{2k+1}} где — ряд Эйзенштейна веса 2k + 2. Г 2 к + 2 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}}
Производная дзета-функции равна , где — эллиптическая функция Вейерштрасса . − ℘ ( з ) {\displaystyle -\wp (z)} ℘ ( з ) {\displaystyle \wp (z)}
Дзета-функцию Вейерштрасса не следует путать с дзета-функцией Римана в теории чисел.
Функция Вейерштрасса эта Функция Вейерштрасса эта определяется как
η ( ж ; Λ ) = ζ ( з + ж ; Λ ) − ζ ( з ; Λ ) , для любого з ∈ С {\displaystyle \eta (w;\Lambda) =\zeta (z+w;\Lambda)-\zeta (z;\Lambda),{\mbox{для любого }}z\in \mathbb {C} } w в решетке Λ {\displaystyle \Лямбда} Это хорошо определено, т.е. зависит только от вектора решетки w . Функция Вейерштрасса эта не следует путать ни с функцией Дедекинда эта , ни с функцией Дирихле эта . ζ ( з + ж ; Λ ) − ζ ( з ; Λ ) {\displaystyle \zeta (z+w;\Lambda) -\zeta (z;\Lambda)}
График p-функции с использованием доменной раскраски P-функция Вейерштрасса связана с дзета-функцией соотношением
℘ ( з ; Λ ) = − ζ ′ ( з ; Λ ) , для любого з ∈ С {\displaystyle \operatorname {\wp } {(z;\Lambda)}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda)},{\mbox{ forany }}z\in \mathbb {C } } ℘-функция Вейерштрасса — это четная эллиптическая функция порядка N=2 с двойным полюсом в каждой точке решетки и без других полюсов.
Вырожденный случай Рассмотрим ситуацию, когда один период является реальным, который мы можем масштабировать до , а другой взят до предела так, что функции являются только однократно-периодическими. Соответствующие инварианты имеют дискриминант . Тогда мы имеем и, таким образом, из приведенного выше определения бесконечного произведения следующее равенство: ω 1 = 2 π {\displaystyle \omega _{1}=2\pi } ω 2 → я ∞ {\displaystyle \omega _{2}\rightarrow i\infty } { г 2 , г 3 } = { 1 12 , 1 216 } {\displaystyle \{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}} Δ = 0 {\displaystyle \Дельта =0} η 1 = π 12 {\displaystyle \eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}}
σ ( з ; Λ ) = 2 е з 2 / 24 грех ( з 2 ) {\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda)}=2e^{z^{2}/24}\sin {\left({\tfrac {z}{2}}\right)}} Обобщение для других синусоидальных функций на других двоякопериодических решетках имеет вид
ф ( з ) = π ω 1 е − ( 4 η 1 / ω 1 ) з 2 σ ( 2 з ; Λ ) {\displaystyle f(z)={\frac {\pi }{\omega _{1}}}e^{- (4\eta _{1}/\omega _{1})z^{2}} \operatorname {\sigma } {(2z;\Lambda)}} В данной статье использованы материалы из сигма-функции Вейерштрасса на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)\exp \left({\frac {z}{w}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}\right)\\[5mu]&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)\exp {\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)^{2}\right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8596c163b7385f0922dc42b6516b5699c5201be)
