Слабое значение
Величина в квантовой механике

В квантовой механике (и вычислениях ) слабое значение — это величина, связанная со сдвигом указателя измерительного прибора, когда обычно есть предварительный и постселектор . Его не следует путать со слабым измерением , которое часто определяется совместно. Слабое значение было впервые определено Якиром Аароновым , Дэвидом Альбертом и Львом Вайдманом , опубликовано в Physical Review Letters 1988, [1] и связано с формализмом двухзначного вектора . Существует также способ получения слабых значений без постселектора. [2] [3]

Определение и происхождение

Существует множество прекрасных обзорных статей о слабых значениях (см., например, [4] [5] [6] [7] ), здесь мы кратко рассмотрим основы.

Определение

Мы будем обозначать начальное состояние системы как , а конечное состояние системы как . Мы будем называть начальное и конечное состояния системы пред- и пост-селектированными квантово-механическими состояниями. По отношению к этим состояниям слабое значение наблюдаемой определяется как: | ψ я ⟩ {\displaystyle |\psi _{i}\rangle } | ψ ф ⟩ {\displaystyle |\psi _{f}\rangle } А {\displaystyle А} А ж = ⟨ ψ ф | А | ψ я ⟩ ⟨ ψ ф | ψ я ⟩ . {\displaystyle A_{w}={\frac {\langle \psi _{f}|A|\psi _{i}\rangle {\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle }}.}

Обратите внимание, что если то слабое значение равно обычному ожидаемому значению в начальном состоянии или конечном состоянии . В общем случае величина слабого значения является комплексным числом . Слабое значение наблюдаемой становится большим, когда пост-выбранное состояние, , приближается к ортогональности к предварительно выбранному состоянию, , т. е . Если больше наибольшего собственного значения или меньше наименьшего собственного значения слабого значения, то говорят, что оно аномально. | ψ ф ⟩ = | ψ я ⟩ {\displaystyle |\psi _{f}\rangle =|\psi _{i}\rangle } ⟨ ψ я | А | ψ я ⟩ {\displaystyle \langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle } ⟨ ψ ф | А | ψ ф ⟩ {\displaystyle \langle \psi _{f}|A|\psi _{f}\rangle } | ψ ф ⟩ {\displaystyle |\psi _{f}\rangle } | ψ я ⟩ {\displaystyle |\psi _{i}\rangle } | ⟨ ψ ф | ψ я ⟩ | ≪ 1 {\displaystyle |\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle |\ll 1} А ж {\displaystyle A_{w}} А {\displaystyle А} А {\displaystyle А}

В качестве примера рассмотрим частицу со спином 1/2. [8] Возьмем в качестве оператора Паули Z с собственными значениями . Используя начальное состояние и конечное состояние, мы можем вычислить слабое значение, которое будет А {\displaystyle А} А = σ з {\displaystyle A=\сигма _{z}} ± 1 {\displaystyle \pm 1} | ψ i ⟩ = 1 2 ( cos ⁡ α 2 + sin ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 − sin ⁡ α 2 ) {\displaystyle |\psi _{i}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\\\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\alpha }{2}}\end{pmatrix}}} | ψ f ⟩ = 1 2 ( 1 1 ) {\displaystyle |\psi _{f}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}} A w = ( σ z ) w = tan ⁡ α 2 . {\displaystyle A_{w}=(\sigma _{z})_{w}=\tan {\frac {\alpha }{2}}.}

Для слабого значение является аномальным. | α | > π 2 {\displaystyle |\alpha |>{\frac {\pi }{2}}}

Вывод

Здесь мы следуем представлению, данному Даком, Стивенсоном и Сударшаном [8] ( с некоторыми обновлениями обозначений от Кофмана и др. [4] ), которое явно указывает, когда приближения, используемые для вывода слабого значения, являются действительными.

Рассмотрим квантовую систему, которую вы хотите измерить, связав вспомогательное (также квантовое) измерительное устройство. Наблюдаемая величина, которая должна быть измерена в системе, — это . Система и вспомогательное устройство связаны через гамильтониан , где константа связи интегрируется по времени взаимодействия и является каноническим коммутатором. Гамильтониан генерирует унитарное A {\displaystyle A} H = γ A ⊗ p , {\displaystyle H=\gamma A\otimes p,} γ = ∫ t i t f g ( t ) d t ≪ 1 {\textstyle \gamma =\int _{t_{i}}^{t_{f}}g(t)dt\ll 1} [ q , p ] = i {\displaystyle [q,p]=i} U = exp ⁡ [ − i γ A ⊗ p ] . {\displaystyle U=\exp[-i\gamma A\otimes p].}

Возьмем начальное состояние вспомогательного объекта, чтобы иметь гауссово распределение, волновая функция положения этого состояния равна | Φ ⟩ = 1 ( 2 π σ 2 ) 1 / 4 ∫ d q ′ exp ⁡ [ − q ′ 2 / 4 σ 2 ] | q ′ ⟩ , {\displaystyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/4\sigma ^{2}]|q'\rangle ,} Φ ( q ) = ⟨ q | Φ ⟩ = 1 ( 2 π σ 2 ) 1 / 4 exp ⁡ [ − q 2 / 4 σ 2 ] . {\displaystyle \Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/4\sigma ^{2}].}

Начальное состояние системы задается выше; состояние , совместно описывающее начальное состояние системы и вспомогательного состояния, задается тогда как: | ψ i ⟩ {\displaystyle |\psi _{i}\rangle } | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } | Ψ ⟩ = | ψ i ⟩ ⊗ | Φ ⟩ . {\displaystyle |\Psi \rangle =|\psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle .}

Далее система и вспомогательный элемент взаимодействуют через унитарное . После этого выполняется проективное измерение проекторов в системе. Если мы делаем поствыбор (или условие ) при получении результата , то (ненормализованное) конечное состояние счетчика равно U | Ψ ⟩ {\displaystyle U|\Psi \rangle } { | ψ f ⟩ ⟨ ψ f | , I − | ψ f ⟩ ⟨ ψ f | } {\displaystyle \{|\psi _{f}\rangle \langle \psi _{f}|,I-|\psi _{f}\rangle \langle \psi _{f}|\}} | ψ f ⟩ ⟨ ψ f | {\displaystyle |\psi _{f}\rangle \langle \psi _{f}|}

| Φ f ⟩ = ⟨ ψ f | U | ψ i ⟩ ⊗ | Φ ⟩ ≈ ⟨ ψ f | ( I ⊗ I − i γ A ⊗ p ) | ψ i ⟩ ⊗ | Φ ⟩ (I) = ⟨ ψ f | ψ i ⟩ ( 1 − i γ A w p ) | Φ ⟩ ≈ ⟨ ψ f | ψ i ⟩ exp ⁡ ( − i γ A w p ) | Φ ⟩ . (II) {\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi _{f}\rangle &=\langle \psi _{f}|U|\psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle \\&\approx \langle \psi _{f}|(I\otimes I-i\gamma A\otimes p)|\psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle \quad {\text{(I)}}\\&=\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle (1-i\gamma A_{w}p)|\Phi \rangle \\&\approx \langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle \exp(-i\gamma A_{w}p)|\Phi \rangle .\quad {\text{(II)}}\end{aligned}}}

Чтобы прийти к этому выводу, мы используем разложение ряда первого порядка в строке (I) и требуем, чтобы [4] [8] U {\displaystyle U}

| γ | σ | ⟨ ψ f | A n | ψ i ⟩ ⟨ ψ f | A | ψ i ⟩ | 1 / ( n − 1 ) ≪ 1 , ( n = 2 , 3 , … ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {|\gamma |}{\sigma }}\left|{\frac {\langle \psi _{f}|A^{n}|\psi _{i}\rangle }{\langle \psi _{f}|A|\psi _{i}\rangle }}\right|^{1/(n-1)}\ll 1,\quad (n=2,3,\dots )\end{aligned}}}

В строке (II) мы используем приближение, что для малых . Это окончательное приближение справедливо только тогда, когда [4] [8] e − x ≈ 1 − x {\displaystyle e^{-x}\approx 1-x} x {\displaystyle x} | γ A w | / σ ≪ 1. {\displaystyle |\gamma A_{w}|/\sigma \ll 1.}

Как и генератор трансляций, волновая функция вспомогательного элемента теперь задается выражением p {\displaystyle p} Φ f ( q ) = Φ ( q − γ A w ) . {\displaystyle \Phi _{f}(q)=\Phi (q-\gamma A_{w}).}

Это исходная волновая функция, сдвинутая на величину . По теореме Буша [9] волновые функции системы и измерителя обязательно возмущены измерением. Существует определенный смысл, в котором протокол, позволяющий измерить слабое значение, является минимально возмущенным, [10] но все равно возмущение есть. [10] γ A w {\displaystyle \gamma A_{w}}

Приложения

Квантовая метрология и томография

В конце оригинальной статьи о слабых значениях [1] авторы предположили, что слабые значения могут быть использованы в квантовой метрологии :

Еще один поразительный аспект этого эксперимента становится очевидным, если мы рассмотрим его как устройство для измерения небольшого градиента магнитного поля... даёт колоссальное усиление.

Ааронов, Альберт, Вайдман [1]

Это предложение было поддержано Хостеном и Квиатом [11] , а позднее Диксоном и др. [12]. Похоже, это интересное направление исследований, которое может привести к улучшению технологии квантового зондирования.

Кроме того, в 2011 году слабые измерения многих фотонов, приготовленных в одном и том же чистом состоянии , а затем сильные измерения дополнительной переменной были использованы для выполнения квантовой томографии (т.е. реконструкции состояния, в котором были приготовлены фотоны). [13]

Квантовые основы

Слабые значения использовались для изучения некоторых парадоксов в основах квантовой теории. Это в значительной степени зависит от того, считаются ли слабые значения релевантными для описания свойств квантовых систем, [14] что не является очевидным, поскольку слабые значения, как правило, отличаются от собственных значений . Например, исследовательская группа Эфраима М. Стейнберга в Университете Торонто подтвердила парадокс Харди экспериментально, используя совместное слабое измерение местоположений запутанных пар фотонов. [15] [16] (см. также [17] )

Основываясь на слабых измерениях, Говард М. Вайсман предложил слабое измерение скорости квантовой частицы в точном положении, которое он назвал ее «наивно наблюдаемой скоростью». В 2010 году было сообщено о первом экспериментальном наблюдении траекторий фотона в двухщелевом интерферометре , которое показало качественные особенности, предсказанные в 2001 году Партой Гоузом [18] для фотонов в интерпретации де Бройля-Бома . [19] [20] Вслед за слабым измерением скорости Вайсмана, Йоханнес Фанкхаузер и Патрик Дюрр в своей статье предполагают, что слабые измерения скорости не представляют собой никаких новых аргументов, не говоря уже об эмпирических доказательствах, в пользу или против стандартной теории де Бройля-Бома . По мнению авторов, такие измерения не могут предоставить прямых экспериментальных доказательств, отображающих форму траекторий частиц, даже если предполагается, что существуют некоторые детерминированные траектории частиц. [21]

Квантовые вычисления

Слабые значения были внедрены в квантовые вычисления, чтобы получить гигантское ускорение во временной сложности. В статье [22] Арун Кумар Пати описывает новый тип квантового компьютера, использующего усиление слабых значений и пост-селекцию (WVAP), и реализует алгоритм поиска, который (при успешном пост-селекции) может найти целевое состояние за один запуск с временной сложностью , превосходя известный алгоритм Гровера . O ( log ⁡ N ) {\displaystyle O(\log N)}

Критика

Критика слабых ценностей включает философскую и практическую критику. Некоторые известные исследователи, такие как Эшер Перес , Тони Леггетт , Дэвид Мермин и Чарльз Х. Беннетт, критикуют слабые ценности. [ необходима цитата ]

Недавно было показано, что предварительный и постселекция квантовой системы восстанавливают полностью скрытый феномен интерференции в измерительной аппаратуре. Изучение интерференционной картины показывает, что то, что интерпретируется как усиление с использованием слабого значения, является чистым фазовым эффектом, и слабое значение не играет никакой роли в его интерпретации. Этот фазовый эффект увеличивает степень запутанности, которая лежит в основе эффективности предварительных и постселекции в оценке параметров. [23]

Дальнейшее чтение

  • Зия Мерали (апрель 2010 г.). «Назад из будущего». Откройте для себя . Серия квантовых экспериментов показывает, что измерения, выполненные в будущем, могут влиять на настоящее.{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
  • «Квантовая физика впервые: исследователи наблюдают отдельные фотоны в эксперименте с двухщелевым интерферометром». phys.org. 2 июня 2011 г. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  • Адриан Чо (5 августа 2011 г.). «Скрытый подход откатывает пределы квантовой неопределенности». Science . 333 (6043): 690–693. Bibcode :2011Sci...333..690C. doi :10.1126/science.333.6043.690. PMID  21817029.

Ссылки

  1. ^ abc Якир Ахаронов; Дэвид З. Альберт; Лев Вайдман (1988). «Как результат измерения компонента спина частицы со спином 1/2 может оказаться равным 100». Physical Review Letters . 60 (14): 1351–1354. Bibcode :1988PhRvL..60.1351A. doi :10.1103/PhysRevLett.60.1351. PMID  10038016.
  2. ^ Эбботт, Аластер А.; Сильва, Ральф; Векс, Джулиан; Бруннер, Николас; Бранчиар, Сирил (2019). «Аномальные слабые значения без пост-отбора». Quantum . 3 : 194. arXiv : 1805.09364 . Bibcode :2019Quant...3..194A. doi :10.22331/q-2019-10-14-194. S2CID  119466052.
  3. ^ Нирала, Гаурав; Саху, Сурья Нараян; Пати, Арун К.; Синха, Урбаси (2019-02-13). "Измерение среднего неэрмитового оператора со слабым значением в интерферометре Маха-Цендера". Physical Review A. 99 ( 2): 022111. arXiv : 1807.09014 . Bibcode : 2019PhRvA..99b2111N. doi : 10.1103/PhysRevA.99.022111. ISSN  2469-9926. S2CID  118982020.
  4. ^ abcd AG Kofman; S. Ashhab; F. Nori (2012). «Непертурбативная теория слабых пред- и постселективных измерений». Physics Reports . 520 (1): 43–133. arXiv : 1109.6315 . Bibcode :2012PhR...520...43K. doi :10.1016/j.physrep.2012.07.001. S2CID  119281390.
  5. ^ Боаз Тамир; Элиаху Коэн (2013). «Введение в слабые измерения и слабые значения». Quanta . 2 (1): 7–17. doi : 10.12743/quanta.v2i1.14 .
  6. ^ Бенгт EY Свенссон (2013). «Педагогический обзор квантовой теории измерений с упором на слабые измерения». Quanta . 2 (1): 18–49. arXiv : 1202.5148 . doi :10.12743/quanta.v2i1.12. S2CID  119242577.
  7. ^ J. Dressel; M. Malik; FM Miatto; AN Jordan; RW Boyd (2014). «Colloquium: Understanding quantum weak values: Basics and applications». Reviews of Modern Physics . 86 (1): 307–316. arXiv : 1305.7154 . Bibcode : 2014RvMP...86..307D. doi : 10.1103/RevModPhys.86.307. S2CID  4424740.
  8. ^ abcd Дак, IM; Стивенсон, PM; Сударшан, ECG (1989). "Смысл, в котором "слабое измерение" спиновой компоненты extonehalf{} частицы дает значение 100". Physical Review D. 40 ( 6): 2112–2117. Bibcode :1989PhRvD..40.2112D. doi :10.1103/PhysRevD.40.2112. PMID  10012041.
  9. ^ Paul Busch (2009). J. Christian; W. Myrvold (ред.). "No Information Without Disturbance": Quantum Limitations of Measurement . Приглашенный вклад, "Quantum Reality, Relativistic Causality, and Closing the Epistemic Circle: An International Conference in Honour of Abner Shimony", Perimeter Institute, Waterloo, Ontario, Canada, 18–21 июля 2006 г. Том 73. Springer-Verlag. С. 229–256. arXiv : 0706.3526 . doi :10.1007/978-1-4020-9107-0. ISBN 978-1-4020-9106-3. ISSN  1566-659X. {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь )
  10. ^ ab Asger C. Ipsen (2015). «Нарушение слабых измерений и разница между квантовыми и классическими слабыми значениями». Physical Review A. 91 ( 6): 062120. arXiv : 1409.3538 . Bibcode : 2015PhRvA..91f2120I. doi : 10.1103/PhysRevA.91.062120. S2CID  116987013.
  11. ^ O. Hosten; P. Kwiat (2008). «Наблюдение спинового эффекта Холла света с помощью слабых измерений». Science . 319 (5864): 787–790. Bibcode :2008Sci...319..787H. doi :10.1126/science.1152697. PMID  18187623. S2CID  18714449.
  12. ^ P. Ben Dixon; David J. Starling; Andrew N. Jordan; John C. Howell (2009). "Измерение сверхчувствительного отклонения пучка с помощью интерферометрического усиления слабых значений". Physical Review Letters . 102 (17): 173601. arXiv : 0906.4828 . Bibcode : 2009PhRvL.102q3601D. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.173601. PMID  19518781. S2CID  1983952.
  13. ^ Ландин Джефф С., Сазерленд Брэндон, Патель Аабид, Стюарт Кори, Бамбер Чарльз (2011). «Прямое измерение квантовой волновой функции». Nature . 474 (7350): 188–191. arXiv : 1112.3575 . doi :10.1038/nature10120. PMID  21654800. S2CID  4405067.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  14. ^ Мацкин А. (2019). «Слабые значения и квантовые свойства». Найдено. Phys . 49 (3): 298. arXiv : 1808.09737 . Bibcode : 2019FoPh...49..298M. doi : 10.1007/s10701-019-00245-3. S2CID  85459590.
  15. ^ JS Lundeen; AM Steinberg (2009). "Экспериментальное совместное слабое измерение на паре фотонов как исследование парадокса Харди". Physical Review Letters . 102 (2): 020404. arXiv : 0810.4229 . Bibcode :2009PhRvL.102b0404L. doi :10.1103/PhysRevLett.102.020404. PMID  19257252. S2CID  28601506.
  16. ^ "Парадокс Харди подтвержден экспериментально". Институт теоретической физики Периметра. 2 июля 2009 г. Архивировано из оригинала 30 мая 2013 г. Получено 8 июня 2013 г.
  17. ^ Ёкота К., Ямамото Т., Коаши М., Имото Н. (2009). "Прямое наблюдение парадокса Харди с помощью совместного слабого измерения с запутанной парой фотонов". New J. Phys . 11 (1): 033011. arXiv : 0809.2224 . Bibcode : 2009NJPh...11a3011R. doi : 10.1088/1367-2630/11/1/013011. S2CID  35698295.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  18. ^ Ghose Partha, Majumdar AS, Guhab S., Sau J. (2001). "Бомовские траектории для фотонов" (PDF) . Physics Letters A. 290 ( 5–6): 205–213. arXiv : quant-ph/0102071 . Bibcode : 2001PhLA..290..205G. doi : 10.1016/s0375-9601(01)00677-6. S2CID  54650214.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  19. ^ Саша Кочиш, Сильвен Равец, Борис Браверман, Кристер Шальм, Эфраим М. Штейнберг: Наблюдение траекторий одиночного фотона с использованием слабых измерений, 19-й Конгресс Австралийского института физики (AIP), 2010 [1]
  20. ^ Кочиш Саша, Браверман Борис, Равец Сильвен, Стивенс Мартин Дж., Мирин Ричард П., Шалм Л. Кристер, Стейнберг Эфраим М. (2011). " Наблюдение средних траекторий одиночных фотонов в двухщелевом интерферометре ". Science . 332 (6034): 1170–1173. Bibcode :2011Sci...332.1170K. doi :10.1126/science.1202218. PMID  21636767. S2CID  27351467.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  21. ^ Фанкхаузер Йоханнес, Дюрр Патрик (2021). «Как (не) понимать слабые измерения скорости». Исследования по истории и философии науки Часть A. 85 : 16–29. arXiv : 2309.10395 . Bibcode : 2021SHPSA..85...16F. doi : 10.1016/j.shpsa.2020.12.002 . ISSN  0039-3681. PMID  33966771.
  22. ^ Пати, Арун Кумар (2019-11-04). «Суперквантовый алгоритм поиска со слабым усилением значений и постселекцией». arXiv : 1910.12390 [quant-ph].
  23. ^ Aiham M. Rostom (2022). «Оптимальные настройки для усиления и оценки малых эффектов в постселектированных ансамблях». Annalen der Physik . 534 (1): 2100434. arXiv : 2303.09786 . Bibcode : 2022AnP...53400434R. doi : 10.1002/andp.202100434. S2CID  244879254.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Weak_value&oldid=1205556064"