Вихревой поток фон Кармана — это поток, создаваемый равномерно вращающимся бесконечно длинным плоским диском, названный в честь Теодора фон Кармана, который решил эту проблему в 1921 году. [1] Вращающийся диск действует как насос для жидкости и используется в качестве модели для центробежных вентиляторов или компрессоров. Этот поток относится к категории стационарных потоков, в которых вихреобразование, создаваемое на твердой поверхности, не может распространяться далеко за счет встречной конвекции, другими примерами являются пограничный слой Блазиуса с всасыванием, поток в точке торможения и т. д.
Описание потока
Рассмотрим плоский диск бесконечного радиуса, вращающийся с постоянной угловой скоростью в жидкости, которая изначально находится в состоянии покоя везде. Вблизи поверхности жидкость вращается диском из-за трения, которое затем вызывает центробежные силы, которые перемещают жидкость наружу. Это радиальное движение жидкости наружу вблизи диска должно сопровождаться внутренним осевым движением жидкости к диску для сохранения массы. Теодор фон Карман [1] заметил, что основные уравнения и граничные условия допускают решение, такое что и являются функциями только, где - компоненты скорости в цилиндрической координате, причем ось вращения и представляет плоский диск. Из-за симметрии давление жидкости может зависеть только от радиальной и осевой координаты . Тогда уравнение неразрывности и несжимаемые уравнения Навье–Стокса сводятся к
где - кинематическая вязкость.
Нет вращения на бесконечности
Поскольку вращение в целом отсутствует , становится независимым от, в результате чего получается . Следовательно, и .
Здесь граничные условия для жидкости следующие:
Самоподобное решение получается путем введения следующего преобразования, [2]
где - плотность жидкости.
Самоподобные уравнения имеют вид
с граничными условиями для жидкости
Связанные обыкновенные дифференциальные уравнения необходимо решать численно, и точное решение дано Кокраном (1934). [3] Осевая скорость притока на бесконечности, полученная из численного интегрирования, равна , поэтому общий вытекающий объемный поток через цилиндрическую поверхность радиуса равен . Тангенциальное напряжение на диске равно . Пренебрегая краевыми эффектами, крутящий момент, оказываемый жидкостью на диск с большим ( ), но конечным радиусом , равен
Фактор добавляется для учета обеих сторон диска. Из численного решения крутящий момент определяется как . Крутящий момент, предсказанный теорией, прекрасно согласуется с экспериментом на больших дисках вплоть до числа Рейнольдса около , поток становится турбулентным при высоком числе Рейнольдса. [4]
Вращение твердого тела на бесконечности
Эту проблему рассмотрел Джордж Кейт Батчелор (1951). [5] Пусть будет угловой скоростью на бесконечности. Теперь давление в равно . Следовательно и .
Тогда граничные условия для жидкости будут
Самоподобное решение получается путем введения следующего преобразования:
Самоподобные уравнения имеют вид
с граничными условиями для жидкости
Решение легко получить только для т. е. жидкость на бесконечности вращается в том же направлении, что и пластина. Для решение более сложное в том смысле, что возникают ветви многих решений. Эванс (1969) [6] получил решение для диапазона . Зандберген и Дейкстра [7] [8] показали, что решение демонстрирует особенность квадратного корня при и нашли ветвь второго решения, сливающуюся с решением, найденным для . Решение второй ветви продолжается до , в этой точке обнаруживается возникновение ветви третьего решения. Они также обнаружили бесконечность ветвей решения вокруг точки . Бодойни (1975) [9] вычислил решения для больших отрицательных , показал, что решение разрушается при . Если вращающейся пластине позволить иметь равномерную скорость всасывания на пластине, то можно получить осмысленное решение для . [4]
Для ( представляет собой вращение твердого тела, вся жидкость вращается с той же скоростью) решение достигает вращения твердого тела на бесконечности колебательным образом от пластины. Осевая скорость отрицательна для и положительна для . Существует явное решение, когда .
Вращаясь почти с той же скоростью,
Поскольку оба граничных условия для почти равны единице, можно было бы ожидать, что решение для будет немного отклоняться от единицы. Соответствующие масштабы для и могут быть получены из самоподобных уравнений. Следовательно,
В первом приближении (пренебрегая ) самоподобное уравнение [10] принимает вид
Поток принимает неосесимметричное решение с осесимметричными граничными условиями, обнаруженными Хьюиттом, Даком и Фостером. [12] Определение
и основные уравнения:
с граничными условиями
Решение найдено путем численного интегрирования для .
поток Бёдевадта
Течение Бёдевадта описывает течение, когда неподвижный диск помещается во вращающуюся жидкость. [13]
Два вращающихся коаксиальных диска
Эту проблему рассматривали Джордж Кейт Батчелор (1951), [5] Кейт Стюартсон (1952) [14] и многие другие исследователи. Здесь решение не простое из-за дополнительного масштаба длины, введенного в задачу, т. е. расстояния между двумя дисками. Кроме того, единственность и существование стационарного решения также зависят от соответствующего числа Рейнольдса .
Тогда граничные условия для жидкости будут
В терминах , расположение верхней стенки просто . Таким образом, вместо масштабирования
Здесь граничных условий шесть, поскольку давление неизвестно ни на верхней, ни на нижней стенке; должно быть получено как часть решения. Для большого числа Рейнольдса Батчелор утверждал , что жидкость в ядре будет вращаться с постоянной скоростью, окруженная двумя пограничными слоями на каждом диске для и будет два равномерных противоположно вращающихся потока толщиной для . Однако Стюартсон предсказал, что для жидкость в ядре не будет вращаться при , а просто останется с двумя пограничными слоями на каждом диске. Оказывается, предсказания Стюартсона были верны (см. слой Стюартсона ).
Точное решение существует также, если два диска вращаются вокруг разных осей, но для .
Приложения
Закрученный поток фон Кармана находит применение в широком спектре областей, включая вращающиеся машины, системы фильтрации, компьютерные запоминающие устройства, приложения тепло- и массообмена, проблемы, связанные с горением, [15] планетарные образования, геофизические приложения и т. д.
Ссылки
^ аб Фон Карман, Теодор (1921). «Убер-ламинарный и турбулентный поток». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (4): 233–252. Бибкод :1921ЗаММ....1..233К. дои : 10.1002/zamm.19210010401.
^ Cochran, WG (1934). "Поток, вызванный вращающимся диском". Математические труды Кембриджского философского общества . 30 (3): 365. Bibcode :1934PCPS...30..365C. doi :10.1017/S0305004100012561. S2CID 123003223.
^ ab Schlichting, Hermann (1960). Теория пограничного слоя . Нью-Йорк: McGraw-hill.
^ ab Batchelor, George Keith (1951). «Заметка о классе решений уравнений Навье–Стокса, представляющих стационарный вращательно-симметричный поток». The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics . 4 : 29–41. doi :10.1093/qjmam/4.1.29.
^ Эванс, DJ «Вращательно-симметричный поток вязкой жидкости в присутствии бесконечного вращающегося диска с равномерным всасыванием». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики 22.4 (1969): 467-485.
^ Зандберген, П. Дж. и Д. Дейкстра. «Неединственные решения уравнений Навье-Стокса для закрученного потока Кармана». Журнал инженерной математики 11.2 (1977): 167-188.
^ Дейкстра, Д. и П.Дж. Зандберген. «Некоторые дальнейшие исследования неединственных решений уравнений Навье-Стокса для закрученного потока Кармана». Архив механики, Archiwum Mechaniki Stosowanej 30 (1978): 411-419.
^ Бодоньи, Р. Дж. «О вращательно-симметричном потоке над бесконечным вращающимся диском». Журнал механики жидкости 67.04 (1975): 657-666.
^ Дразин, Филип Г. и Норман Райли . Уравнения Навье–Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Cambridge University Press, 2006.
^ Хьюитт, Р. Э., П. В. Дак и М. Р. Фостер. «Решения устойчивого пограничного слоя для закрученной стратифицированной жидкости во вращающемся конусе». Журнал механики жидкости 384 (1999): 339-374.
^ Бёдевадт, В.У. (1940). Die drehströmung über festem grunde. ZAMM – Журнал прикладной математики и механики/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 20(5), 241-253.
^ Стюартсон, К. (1953). «О потоке между двумя вращающимися коаксиальными дисками». Математические труды Кембриджского философского общества . 49 (2): 333–341. Bibcode :1953PCPS...49..333S. doi :10.1017/S0305004100028437. S2CID 122805153.
^ ab Urzay, J.; Nagayam, V.; Williams, FA (2011). "Теория динамики распространения спиральных краев диффузионных пламен в закрученных потоках фон Кармана" (PDF) . Горение и пламя . 158 (2): 255–272. doi :10.1016/j.combustflame.2010.08.015.
Библиография
Фон Карман, Теодор (1921). «Убер-ламинарный и турбулентный поток». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (4): 233–252. Бибкод :1921ЗаММ....1..233К. дои : 10.1002/zamm.19210010401.
Batchelor, George Keith (1951). «Заметка о классе решений уравнений Навье-Стокса, представляющих стационарный вращательно-симметричный поток». The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics . 4 : 29–41. doi :10.1093/qjmam/4.1.29.
Стюартсон, К. (1953). «О потоке между двумя вращающимися коаксиальными дисками». Математические труды Кембриджского философского общества . 49 (2): 333–341. Bibcode :1953PCPS...49..333S. doi :10.1017/S0305004100028437. S2CID 122805153.