Фон Карман вихревой поток

Поток, создаваемый равномерно вращающимся бесконечно длинным пластинчатым диском

Вихревой поток фон Кармана — это поток, создаваемый равномерно вращающимся бесконечно длинным плоским диском, названный в честь Теодора фон Кармана, который решил эту проблему в 1921 году. [1] Вращающийся диск действует как насос для жидкости и используется в качестве модели для центробежных вентиляторов или компрессоров. Этот поток относится к категории стационарных потоков, в которых вихреобразование, создаваемое на твердой поверхности, не может распространяться далеко за счет встречной конвекции, другими примерами являются пограничный слой Блазиуса с всасыванием, поток в точке торможения и т. д.

Описание потока

Рассмотрим плоский диск бесконечного радиуса, вращающийся с постоянной угловой скоростью в жидкости, которая изначально находится в состоянии покоя везде. Вблизи поверхности жидкость вращается диском из-за трения, которое затем вызывает центробежные силы, которые перемещают жидкость наружу. Это радиальное движение жидкости наружу вблизи диска должно сопровождаться внутренним осевым движением жидкости к диску для сохранения массы. Теодор фон Карман [1] заметил, что основные уравнения и граничные условия допускают решение, такое что и являются функциями только, где - компоненты скорости в цилиндрической координате, причем ось вращения и представляет плоский диск. Из-за симметрии давление жидкости может зависеть только от радиальной и осевой координаты . Тогда уравнение неразрывности и несжимаемые уравнения Навье–Стокса сводятся к Ω {\displaystyle \Омега} ты / г , в / г {\displaystyle у/г,в/г} ж {\displaystyle w} з {\displaystyle z} ( ты , в , ж ) {\displaystyle (u,v,w)} ( г , θ , з ) {\displaystyle (r,\theta ,z)} г = 0 {\displaystyle r=0} з = 0 {\displaystyle z=0} п = п ( г , з ) {\displaystyle p=p(r,z)}

2 ты г + г ж г з = 0 ( ты г ) 2 ( в г ) 2 + ж г ( ты / г ) г з = 1 ρ п г + ν г 2 ( ты / г ) г з 2 2 ты в г 2 + ж г ( в / г ) г з = ν г 2 ( в / г ) г з 2 ж г ж г з = 1 ρ п з + ν г 2 ж г з 2 п ρ = ν г ж г з 1 2 ж 2 + ф ( г ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2u}{r}}+{\frac {dw}{dz}}=0\\[8pt]&\left({\frac {u}{r}}\right)^{2}-\left({\frac {v}{r}}\right)^{2}+w{\frac {d(u/r)}{dz}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu {\frac {d^{2}(u/r)}{dz^{2}}}\\[8pt]&{\frac {2uv}{r^{2}}}+w{\frac {d(v/r)}{dz}}=\nu {\frac {d^{2}(v/r)}{dz^{2}}}\\[8pt]&w{\frac {dw}{dz}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}+\nu {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {p}{\rho }}=\nu frac {dw}{dz}}-{\frac {1}{2}}w^{2}+f(r)\end{aligned}}}

где - кинематическая вязкость. ν {\displaystyle \nu}

Нет вращения на бесконечности

Скорости и давление подобия закрученного потока фон Кармана для бесконечного вращающегося диска в зависимости от расстояния над диском.

Поскольку вращение в целом отсутствует , становится независимым от, в результате чего получается . Следовательно, и . з {\displaystyle z\rightarrow \infty} п ( г , з ) {\displaystyle p(r,z)} г {\displaystyle r} п = п ( з ) {\displaystyle p=p(z)} ф ( г ) = постоянный {\displaystyle f(r)={\text{константа}}} п / г = 0 {\displaystyle \partial p/\partial r=0}

Здесь граничные условия для жидкости следующие: з > 0 {\displaystyle z>0}

ты = 0 , в = Ω г , ж = 0 , п = п 0  для  з = 0 {\displaystyle u=0,\quad v=\Omega r,\quad w=0,\quad p=p_{0}\quad {\text{ для }}z=0}
ты = 0 , в = 0  для  з {\displaystyle u=0,\quad v=0\quad {\text{ для }}z\rightarrow \infty }

Самоподобное решение получается путем введения следующего преобразования, [2]

η = Ω ν з , ты = г Ω Ф ( η ) , в = г Ω Г ( η ) , ж = ν Ω ЧАС ( η ) , п = п 0 + ρ ν Ω П ( η ) , {\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad u=r\Omega F(\eta ),\quad v=r\Omega G(\eta ),\quad w={\sqrt {\nu \Omega }}H(\eta ),\quad p=p_{0}+\rho \nu \Omega P(\eta ),}

где - плотность жидкости. ρ {\displaystyle \ро}

Самоподобные уравнения имеют вид

2 Ф + ЧАС = 0 Ф 2 Г 2 + Ф ЧАС = Ф 2 Ф Г + Г ЧАС = Г П + ЧАС ЧАС ЧАС = 0 {\displaystyle {\begin{align}2F+H'&=0\\F^{2}-G^{2}+F'H&=F''\\2FG+G'H&=G''\\P'+HH'-H''&=0\end{align}}}

с граничными условиями для жидкости η > 0 {\displaystyle \эта >0}

Ф = 0 , Г = 1 , ЧАС = 0 , П = 0  для  η = 0 {\displaystyle F=0,\quad G=1,\quad H=0,\quad P=0\quad {\text{ для }}\eta =0}
Ф = 0 , Г = 0  для  η {\displaystyle F=0,\quad G=0\quad {\text{ для }}\eta \rightarrow \infty }

Связанные обыкновенные дифференциальные уравнения необходимо решать численно, и точное решение дано Кокраном (1934). [3] Осевая скорость притока на бесконечности, полученная из численного интегрирования, равна , поэтому общий вытекающий объемный поток через цилиндрическую поверхность радиуса равен . Тангенциальное напряжение на диске равно . Пренебрегая краевыми эффектами, крутящий момент, оказываемый жидкостью на диск с большим ( ), но конечным радиусом , равен ж = 0,886 ν Ω {\displaystyle w=-0.886{\sqrt {\nu \Omega }}} г {\displaystyle r} 0,886 π г 2 ν Ω {\displaystyle 0,886\pi r^{2}{\sqrt {\nu \Omega }}} σ з φ = μ ( в / з ) з = 0 = ρ ν Ω 3 г Г ( 0 ) {\displaystyle \sigma _{z\varphi }=\mu (\partial v/\partial z)_{z=0}=\rho {\sqrt {\nu \Omega ^{3}}}rG'(0 )} Р ν / Ω {\displaystyle R\gg {\sqrt {\nu /\Omega }}} R {\displaystyle R}

T = 2 0 R 2 π r 2 σ r θ d r = π R 4 ρ ν Ω 3 G ( 0 ) . {\displaystyle T=2\int _{0}^{R}2\pi r^{2}\sigma _{r\theta }\,dr=\pi R^{4}\rho {\sqrt {\nu \Omega ^{3}}}G'(0).}

Фактор добавляется для учета обеих сторон диска. Из численного решения крутящий момент определяется как . Крутящий момент, предсказанный теорией, прекрасно согласуется с экспериментом на больших дисках вплоть до числа Рейнольдса около , поток становится турбулентным при высоком числе Рейнольдса. [4] 2 {\displaystyle 2} T = 1.94 R 4 ρ ν Ω 3 {\displaystyle T=-1.94R^{4}\rho {\sqrt {\nu \Omega ^{3}}}} R e = R 2 Ω / ν = 3 × 10 5 {\displaystyle Re=R^{2}\Omega /\nu =3\times 10^{5}}

Вращение твердого тела на бесконечности

Эту проблему рассмотрел Джордж Кейт Батчелор (1951). [5] Пусть будет угловой скоростью на бесконечности. Теперь давление в равно . Следовательно и . Тогда граничные условия для жидкости будут Γ {\displaystyle \Gamma } z {\displaystyle z\rightarrow \infty } 1 2 ρ Γ 2 r 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho \Gamma ^{2}r^{2}} f ( r ) = 1 2 ρ Γ 2 r 2 {\displaystyle f(r)={\frac {1}{2}}\rho \Gamma ^{2}r^{2}} p / r = Γ 2 {\displaystyle \partial p/\partial r=\Gamma ^{2}}
z > 0 {\displaystyle z>0}

u = 0 , v = Ω r , w = 0  for  z = 0 {\displaystyle u=0,\quad v=\Omega r,\quad w=0\quad {\text{ for }}z=0}
u = 0 , v = Γ r for  z {\displaystyle u=0,\quad v=\Gamma r\quad {\text{for }}z\rightarrow \infty }

Самоподобное решение получается путем введения следующего преобразования:

η = Ω ν z , γ = Γ Ω , u = r Ω F ( η ) , v = r Ω G ( η ) , w = ν Ω H ( η ) . {\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad \gamma ={\frac {\Gamma }{\Omega }},\quad u=r\Omega F(\eta ),\quad v=r\Omega G(\eta ),\quad w={\sqrt {\nu \Omega }}H(\eta ).}

Самоподобные уравнения имеют вид

2 F + H = 0 F 2 G 2 + F H = F γ 2 2 F G + G H = G {\displaystyle {\begin{aligned}2F+H'&=0\\[3pt]F^{2}-G^{2}+F'H&=F''-\gamma ^{2}\\[3pt]2FG+G'H&=G''\end{aligned}}}

с граничными условиями для жидкости η > 0 {\displaystyle \eta >0}

F = 0 , G = 1 , H = 0  for  η = 0 {\displaystyle F=0,\quad G=1,\quad H=0\quad {\text{ for }}\eta =0}
F = 0 , G = γ  for  η {\displaystyle F=0,\quad G=\gamma \quad {\text{ for }}\eta \rightarrow \infty }

Решение легко получить только для т. е. жидкость на бесконечности вращается в том же направлении, что и пластина. Для решение более сложное в том смысле, что возникают ветви многих решений. Эванс (1969) [6] получил решение для диапазона . Зандберген и Дейкстра [7] [8] показали, что решение демонстрирует особенность квадратного корня при и нашли ветвь второго решения, сливающуюся с решением, найденным для . Решение второй ветви продолжается до , в этой точке обнаруживается возникновение ветви третьего решения. Они также обнаружили бесконечность ветвей решения вокруг точки . Бодойни (1975) [9] вычислил решения для больших отрицательных , показал, что решение разрушается при . Если вращающейся пластине позволить иметь равномерную скорость всасывания на пластине, то можно получить осмысленное решение для . [4] γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} γ < 0 {\displaystyle \gamma <0} 1.35 < γ < 0.61 {\displaystyle -1.35<\gamma <-0.61} γ 0.16053876 {\displaystyle \gamma ^{-}\rightarrow -0.16053876} γ 0.16053876 {\displaystyle \gamma \rightarrow -0.16053876} γ 0.07452563 {\displaystyle \gamma ^{-}\rightarrow 0.07452563} γ 0 {\displaystyle \gamma ^{-}\rightarrow 0} γ {\displaystyle \gamma } γ = 1.436 {\displaystyle \gamma ^{-}=-1.436} γ 0.2 {\displaystyle \gamma \leq -0.2}

Для ( представляет собой вращение твердого тела, вся жидкость вращается с той же скоростью) решение достигает вращения твердого тела на бесконечности колебательным образом от пластины. Осевая скорость отрицательна для и положительна для . Существует явное решение, когда . 0 < γ < ,   γ 1 {\displaystyle 0<\gamma <\infty ,\ \gamma \neq 1} γ = 1 {\displaystyle \gamma =1} w < 0 {\displaystyle w<0} 0 γ < 1 {\displaystyle 0\leq \gamma <1} w > 0 {\displaystyle w>0} 1 < γ < {\displaystyle 1<\gamma <\infty } | γ 1 | 1 {\displaystyle |\gamma -1|\ll 1}

Вращаясь почти с той же скоростью, | γ 1 | 1 {\displaystyle |\gamma -1|\ll 1}

Поскольку оба граничных условия для почти равны единице, можно было бы ожидать, что решение для будет немного отклоняться от единицы. Соответствующие масштабы для и могут быть получены из самоподобных уравнений. Следовательно, G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} F {\displaystyle F} H {\displaystyle H}

G = 1 + G ^ , H = H ^ , F = F ^ | F ^ | , | G ^ | , | H ^ | 1 {\displaystyle G=1+{\hat {G}},\quad H={\hat {H}},\quad F={\hat {F}}\qquad |{\hat {F}}|,|{\hat {G}}|,|{\hat {H}}|\ll 1}

В первом приближении (пренебрегая ) самоподобное уравнение [10] принимает вид F ^ 2 , G ^ 2 , H ^ 2 {\displaystyle {\hat {F}}^{2},{\hat {G}}^{2},{\hat {H}}^{2}}

2 F ^ + H ^ = 0 1 + 2 G ^ = γ 2 F ^ 2 F ^ = G ^ {\displaystyle {\begin{aligned}2{\hat {F}}+{\hat {H}}'&=0\\1+2{\hat {G}}&=\gamma ^{2}-{\hat {F}}''\\2{\hat {F}}&={\hat {G}}''\end{aligned}}}

с точными решениями

F ( η ) = ( γ 1 ) e η sin η , G ( η ) = 1 + ( γ 1 ) ( 1 e η cos η ) , H ( η ) = ( γ 1 ) [ 1 e η ( sin η + cos η ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}F(\eta )&=-(\gamma -1)e^{-\eta }\sin \eta ,\\G(\eta )&=1+(\gamma -1)(1-e^{-\eta }\cos \eta ),\\H(\eta )&=(\gamma -1)[1-e^{-\eta }(\sin \eta +\cos \eta )].\end{aligned}}}

Эти решения аналогичны решению слоя Экмана [10] .

Неосесимметричные решения[11]

Поток принимает неосесимметричное решение с осесимметричными граничными условиями, обнаруженными Хьюиттом, Даком и Фостером. [12] Определение

η = Ω ν z , γ = Γ Ω , u = r Ω [ f ( η ) + ϕ ( η ) cos 2 θ ] , v = r Ω [ g ( η ) ϕ ( η ) sin 2 θ ] , w = 2 ν Ω f ( η ) , {\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad \gamma ={\frac {\Gamma }{\Omega }},\quad u=r\Omega [f'(\eta )+\phi (\eta )\cos 2\theta ],\quad v=r\Omega [g(\eta )-\phi (\eta )\sin 2\theta ],\quad w=-2{\sqrt {\nu \Omega }}f(\eta ),}

и основные уравнения:

f + 2 f f f 2 ϕ 2 + g 2 = γ 2 , g + 2 ( f g f g ) = 0 , ϕ + 2 ( f ϕ f ϕ ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}f'''+2ff''-f'^{2}-\phi ^{2}+g^{2}&=\gamma ^{2},\\g''+2(fg'-f'g)&=0,\\\phi ''+2(f\phi '-f'\phi )&=0,\end{aligned}}}

с граничными условиями

f ( 0 ) = f ( 0 ) = ϕ ( 0 ) = g ( 0 ) 1 = f ( ) = ϕ ( ) = g ( ) γ = 0. {\displaystyle f(0)=f'(0)=\phi (0)=g(0)-1=f'(\infty )=\phi (\infty )=g(\infty )-\gamma =0.}

Решение найдено путем численного интегрирования для . 0.14485 γ 0 {\displaystyle -0.14485\leq \gamma \leq 0}

поток Бёдевадта

Течение Бёдевадта описывает течение, когда неподвижный диск помещается во вращающуюся жидкость. [13]

Два вращающихся коаксиальных диска

Эту проблему рассматривали Джордж Кейт Батчелор (1951), [5] Кейт Стюартсон (1952) [14] и многие другие исследователи. Здесь решение не простое из-за дополнительного масштаба длины, введенного в задачу, т. е. расстояния между двумя дисками. Кроме того, единственность и существование стационарного решения также зависят от соответствующего числа Рейнольдса . Тогда граничные условия для жидкости будут h {\displaystyle h} R e = Ω h 2 / ν {\displaystyle Re=\Omega h^{2}/\nu }
0 < z < h {\displaystyle 0<z<h}

u = 0 , v = Ω r , w = 0  for  z = 0 {\displaystyle u=0,\quad v=\Omega r,\quad w=0\quad {\text{ for }}z=0}
u = 0 , v = Γ r , w = 0 for  z = h . {\displaystyle u=0,\quad v=\Gamma r,\quad w=0\quad {\text{for }}z=h.}

В терминах , расположение верхней стенки просто . Таким образом, вместо масштабирования η {\displaystyle \eta } η = Ω / ν h = R e 1 / 2 {\displaystyle \eta ={\sqrt {\Omega /\nu }}h=Re^{1/2}}

η = Ω ν z , γ = Γ Ω , u = r Ω F ( η ) , v = r Ω G ( η ) , w = 2 ν Ω F ( η ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad \gamma ={\frac {\Gamma }{\Omega }},\quad u=r\Omega F'(\eta ),\quad v=r\Omega G(\eta ),\quad w=-2{\sqrt {\nu \Omega }}F(\eta )\end{aligned}}}

использовано ранее, удобно ввести следующее преобразование,

ξ = R e 1 / 2 η , f = R e 1 / 2 F , g = G {\displaystyle {\begin{aligned}\xi =Re^{-1/2}\eta ,\quad f=Re^{-1/2}F,\quad g=G\end{aligned}}}

так что основные уравнения становятся

R e 1 f + 2 f f f 2 + g 2 = λ , R e 1 g + 2 ( f g f g ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}Re^{-1}f'''+2ff''-f'^{2}+g^{2}=\lambda ,\\Re^{-1}g''+2(fg'-f'g)=0\end{aligned}}}

с шестью граничными условиями

f = 0 , g = 1 , f = 0  for  ξ = 0 {\displaystyle f'=0,\quad g=1,\quad f=0\quad {\text{ for }}\xi =0}
f = 0 , g = γ , f = 0 for  ξ = 1. {\displaystyle f'=0,\quad g=\gamma ,\quad f=0\quad {\text{for }}\xi =1.}

и давление определяется как

p p o ρ = 1 2 λ r 2 Ω 2 2 ν Ω ( R e f 2 + f ) . {\displaystyle {\frac {p-p_{o}}{\rho }}={\frac {1}{2}}\lambda r^{2}\Omega ^{2}-2\nu \Omega (Ref^{2}+f').}

Здесь граничных условий шесть, поскольку давление неизвестно ни на верхней, ни на нижней стенке; должно быть получено как часть решения. Для большого числа Рейнольдса Батчелор утверждал , что жидкость в ядре будет вращаться с постоянной скоростью, окруженная двумя пограничными слоями на каждом диске для и будет два равномерных противоположно вращающихся потока толщиной для . Однако Стюартсон предсказал, что для жидкость в ядре не будет вращаться при , а просто останется с двумя пограничными слоями на каждом диске. Оказывается, предсказания Стюартсона были верны (см. слой Стюартсона ). λ {\displaystyle \lambda } R e 1 {\displaystyle Re\gg 1} γ 0 {\displaystyle \gamma \geq 0} ξ = 1 / 2 {\displaystyle \xi =1/2} γ = 1 {\displaystyle \gamma =-1} γ = 0 , 1 {\displaystyle \gamma =0,-1} R e 1 {\displaystyle Re\gg 1}

Точное решение существует также, если два диска вращаются вокруг разных осей, но для . γ = 1 {\displaystyle \gamma =1}

Приложения

Экспериментальная визуализация спирального диффузионного пламени метана/воздуха в закрученном потоке Кармана, создаваемом вращающейся пористой дисковой горелкой (ложный цвет). [15]

Закрученный поток фон Кармана находит применение в широком спектре областей, включая вращающиеся машины, системы фильтрации, компьютерные запоминающие устройства, приложения тепло- и массообмена, проблемы, связанные с горением, [15] планетарные образования, геофизические приложения и т. д.

Ссылки

  1. ^ аб Фон Карман, Теодор (1921). «Убер-ламинарный и турбулентный поток». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (4): 233–252. Бибкод :1921ЗаММ....1..233К. дои : 10.1002/zamm.19210010401.
  2. ^ Шлихтинг, Герман и Герстен, Клаус (2017). Теория пограничного слоя . Спрингер. ISBN 978-3662529171.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  3. ^ Cochran, WG (1934). "Поток, вызванный вращающимся диском". Математические труды Кембриджского философского общества . 30 (3): 365. Bibcode :1934PCPS...30..365C. doi :10.1017/S0305004100012561. S2CID  123003223.
  4. ^ ab Schlichting, Hermann (1960). Теория пограничного слоя . Нью-Йорк: McGraw-hill.
  5. ^ ab Batchelor, George Keith (1951). «Заметка о классе решений уравнений Навье–Стокса, представляющих стационарный вращательно-симметричный поток». The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics . 4 : 29–41. doi :10.1093/qjmam/4.1.29.
  6. ^ Эванс, DJ «Вращательно-симметричный поток вязкой жидкости в присутствии бесконечного вращающегося диска с равномерным всасыванием». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики 22.4 (1969): 467-485.
  7. ^ Зандберген, П. Дж. и Д. Дейкстра. «Неединственные решения уравнений Навье-Стокса для закрученного потока Кармана». Журнал инженерной математики 11.2 (1977): 167-188.
  8. ^ Дейкстра, Д. и П.Дж. Зандберген. «Некоторые дальнейшие исследования неединственных решений уравнений Навье-Стокса для закрученного потока Кармана». Архив механики, Archiwum Mechaniki Stosowanej 30 (1978): 411-419.
  9. ^ Бодоньи, Р. Дж. «О вращательно-симметричном потоке над бесконечным вращающимся диском». Журнал механики жидкости 67.04 (1975): 657-666.
  10. ^ ab Batchelor, George Keith (2000). Введение в динамику жидкости . Cambridge university press. ISBN 978-0521663960.
  11. ^ Дразин, Филип Г. и Норман Райли . Уравнения Навье–Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Cambridge University Press, 2006.
  12. ^ Хьюитт, Р. Э., П. В. Дак и М. Р. Фостер. «Решения устойчивого пограничного слоя для закрученной стратифицированной жидкости во вращающемся конусе». Журнал механики жидкости 384 (1999): 339-374.
  13. ^ Бёдевадт, В.У. (1940). Die drehströmung über festem grunde. ZAMM – Журнал прикладной математики и механики/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 20(5), 241-253.
  14. ^ Стюартсон, К. (1953). «О потоке между двумя вращающимися коаксиальными дисками». Математические труды Кембриджского философского общества . 49 (2): 333–341. Bibcode :1953PCPS...49..333S. doi :10.1017/S0305004100028437. S2CID  122805153.
  15. ^ ab Urzay, J.; Nagayam, V.; Williams, FA (2011). "Теория динамики распространения спиральных краев диффузионных пламен в закрученных потоках фон Кармана" (PDF) . Горение и пламя . 158 (2): 255–272. doi :10.1016/j.combustflame.2010.08.015.

Библиография

  • Фон Карман, Теодор (1921). «Убер-ламинарный и турбулентный поток». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (4): 233–252. Бибкод :1921ЗаММ....1..233К. дои : 10.1002/zamm.19210010401.
  • Batchelor, George Keith (1951). «Заметка о классе решений уравнений Навье-Стокса, представляющих стационарный вращательно-симметричный поток». The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics . 4 : 29–41. doi :10.1093/qjmam/4.1.29.
  • Стюартсон, К. (1953). «О потоке между двумя вращающимися коаксиальными дисками». Математические труды Кембриджского философского общества . 49 (2): 333–341. Bibcode :1953PCPS...49..333S. doi :10.1017/S0305004100028437. S2CID  122805153.
  • Бэтчелор, Джордж Кит (2000). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521663960.
  • Ландау, Лев Д (1987). Механика жидкости . Баттерворт-Хейнанн. ISBN 978-0750627672.
  • Шлихтинг, Герман (1960). Теория пограничного слоя . Нью-Йорк: McGraw-hill.
  • Шлихтинг, Герман и Герстен, Клаус (2017). Теория пограничного слоя . Спрингер. ISBN 978-3662529171.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Von_Kármán_swirling_flow&oldid=1223055106"