Алгоритм Винберга

В математике алгоритм Винберга — алгоритм, предложенный Эрнестом Борисовичем Винбергом для нахождения фундаментальной области гиперболической группы отражений .

Конвей (1983) использовал алгоритм Винберга для описания группы автоморфизмов 26-мерной четной унимодулярной лоренцевой решетки II _25,1 в терминах решетки Лича .

Пусть — гиперболическая группа отражений. Выберем любую точку ; назовем ее базовой (или начальной) точкой. Фундаментальная область ее стабилизатора — многогранный конус в . Пусть — грани этого конуса, а — внешние нормальные векторы к нему. Рассмотрим полупространства${\displaystyle \Gamma <\mathrm {Isom} (\mathbb {H} ^{n})}$${\displaystyle v_{0}\in \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle \Gamma _{v_{0}}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle H_{1},...,H_{м}}$${\displaystyle a_{1},...,a_{м}}$${\displaystyle H_{k}^{-}=\{x\in \mathbb {R} ^{n,1}|(x,a_{k})\leq 0\}.}$

Существует единственный фундаментальный многогранник из , содержащийся в и содержащий точку . Его грани, содержащие , образованы гранями конуса . Другие грани и соответствующие внешние нормали строятся по индукции. А именно, для мы берем зеркало так, что корень , ортогональный к нему, удовлетворяет условиям${\displaystyle P}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle H_{1},...,H_{м}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle H_{m+1},...}$${\displaystyle a_{m+1},...}$${\displaystyle H_{j}}$${\displaystyle a_{j}}$

(1) ;${\displaystyle (v_{0},a_{j})<0}$

(2) для всех ;${\displaystyle (a_{i},a_{j})\leq 0}$${\displaystyle я<j}$

(3) расстояние минимально при соблюдении ограничений (1) и (2).${\displaystyle (v_{0},H_{j})}$

• Конвей, Джон Хортон (1983), «Группа автоморфизмов 26-мерной четной унимодулярной лоренцевой решетки», Журнал алгебры , 80 (1): 159–163, doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X , ISSN  0021-8693, MR  0690711
• Винберг, Э. Б. (1975), «Некоторые арифметические дискретные группы в пространствах Лобачевского», в Бейли, Уолтер Л. (ред.), Дискретные подгруппы групп Ли и приложения к модулям (Internat. Colloq., Бомбей, 1973), Oxford University Press , стр. 323–348, ISBN 978-0-19-560525-9, МР  0422505