фрактал Вичека

В математике фрактал Вичека , также известный как снежинка Вичека или фрактал ящика , ^[1]^[2] — это фрактал, возникающий из конструкции, похожей на конструкцию ковра Серпинского , предложенную Тамашем Вичеком . Он имеет приложения, в том числе в качестве компактных антенн , особенно в сотовых телефонах.

Фрактал ящика также относится к различным итерированным фракталам, созданным квадратной или прямоугольной сеткой с различными удаленными или отсутствующими ящиками, и на каждой итерации те, которые присутствуют и/или те, которые отсутствуют, имеют предыдущее изображение, уменьшенное в масштабе и нарисованное внутри них. Треугольник Серпинского может быть аппроксимирован фракталом ящика $2 \times 2$ с удаленным одним углом. Ковер Серпинского — это фрактал ящика $3 \times 3$ с удаленным средним квадратом.

Строительство

Основной квадрат разлагается на девять меньших квадратов в сетке 3 на 3. Четыре квадрата по углам и средний квадрат остаются, остальные квадраты удаляются. Процесс повторяется рекурсивно для каждого из пяти оставшихся подквадратов. Фрактал Вичека — это множество, полученное на пределе этой процедуры. Хаусдорфова размерность этого фрактала составляет ≈ 1,46497. $\textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}$

Альтернативная конструкция (показанная ниже на левом изображении) заключается в удалении четырех угловых квадратов и оставлении среднего квадрата и квадратов выше, ниже, слева и справа от него. Две конструкции создают идентичные предельные кривые, но одна повернута на 45 градусов относительно другой.

Самоподобие I — удаление угловых квадратов.
Самоподобия II — сохранение угловых квадратов.4

Характеристики

Фрактал Вичека обладает удивительным свойством: он имеет нулевую площадь, но бесконечный периметр из-за своей нецелочисленной размерности. На каждой итерации четыре квадрата удаляются на каждые пять оставшихся, что означает, что на итерации n площадь составляет (предполагая, что начальный квадрат имеет длину стороны 1). Когда n приближается к бесконечности, площадь стремится к нулю. Однако периметр равен , потому что каждая сторона делится на три части, а центральная заменяется тремя сторонами, что дает увеличение от трех до пяти. Периметр стремится к бесконечности по мере увеличения n . $\textstyle {({\frac {5}{9}})^{n}}$ $\textstyle {4({\frac {5}{3}})^{n}}$

Граница фрактала Вичека представляет собой квадратичную кривую Коха первого типа .

Аналоги в более высоких измерениях

Полет к трехмерному фракталу Вичека и вокруг него

Существует трехмерный аналог фрактала Вичека. Он построен путем деления каждого куба на 27 меньших и удаления всего, кроме «центрального креста», центрального куба и шести кубов, касающихся центра каждой грани. Его размерность Хаусдорфа составляет ≈ 1,7712. $\textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}$

Подобно двумерному фракталу Вичека, эта фигура имеет нулевой объем. Каждая итерация сохраняет 7 кубов на каждые 27, что приводит к объему на итерации n , который стремится к нулю по мере того, как n стремится к бесконечности. $\textstyle {({\frac {7}{27}})^{n}}$

Существует бесконечное число сечений , которые дают двумерный фрактал Вичека.

Смотрите также

Ссылки

^ Шан Фуци; Гу Хунмин; Гао Баосинь (2004). «Анализ фрактальной патч-антенны Висека». 4-я международная конференция ICMMT по технологиям микроволнового и миллиметрового диапазона, 2004. Пекин, Китай: IEEE. стр. 98–101 . doi :10.1109/ICMMT.2004.1411469. ISBN 9780780384019. S2CID 44047788.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Коробчатый фрактал». MathWorld .
^ "Коробчатые фракталы". 2014-01-03.

Внешние ссылки

"Box Fractal". Сайт Wolfram Alpha . Получено 21 февраля 2019 г.

[1] Шан Фуци; Гу Хунмин; Гао Баосинь (2004). «Анализ фрактальной патч-антенны Висека». 4-я международная конференция ICMMT по технологиям микроволнового и миллиметрового диапазона, 2004. Пекин, Китай: IEEE. стр. 98–101 . doi :10.1109/ICMMT.2004.1411469. ISBN 9780780384019. S2CID 44047788.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Коробчатый фрактал». MathWorld .

[3] "Коробчатые фракталы". 2014-01-03.