Теорема Веблена–Юнга

В математике теорема Веблена–Янга , доказанная Освальдом Вебленом и Джоном Уэсли Янгом  (1908, 1910, 1917), утверждает, что проективное пространство размерности не менее 3 может быть построено как проективное пространство, связанное с векторным пространством над телом .

Недезарговы плоскости дают примеры двумерных проективных пространств, которые не возникают из векторных пространств над телами, показывая, что ограничение размерностью не менее 3 необходимо.

Жак Титс обобщил теорему Веблена–Янга на здания Титса , показав, что здания ранга не ниже 3 возникают из алгебраических групп .

Джон фон Нейман  (1998) обобщил теорему Веблена–Янга на непрерывную геометрию , показав, что дополненная модулярная решетка порядка не ниже 4 изоморфна главным правым идеалам регулярного кольца фон Неймана .

Проективное пространство S можно определить абстрактно как множество P (множество точек) вместе с множеством L подмножеств P (множество прямых), удовлетворяющих следующим аксиомам:

• Каждые две различные точки p и q находятся ровно на одной прямой.
• Аксиома Веблена: если a , b , c , d — различные точки и прямые, проходящие через ab и cd, пересекаются, то же самое происходит и с прямыми, проходящим через ac и bd .
• На любой линии есть как минимум 3 точки.

Теорема Веблена–Янга утверждает, что если размерность проективного пространства не менее 3 (что означает, что существуют две непересекающиеся прямые ) , то проективное пространство изоморфно проективному пространству прямых в векторном пространстве над некоторым телом K.

• Кэмерон, Питер Дж. (1992), Проективные и полярные пространства, QMW Maths Notes, т. 13, Лондон: Школа математических наук колледжа королевы Марии и Вестфилда, ISBN 978-0-902480-12-4, МР  1153019
• Веблен, Освальд ; Янг, Джон Уэсли (1908), «Набор предположений для проективной геометрии», American Journal of Mathematics , 30 (4): 347–380 , doi :10.2307/2369956, ISSN  0002-9327, JSTOR  2369956, MR  1506049
• Веблен, Освальд ; Янг, Джон Уэсли (1910), Проективная геометрия, том I, Ginn and Co., Бостон, ISBN 978-1-4181-8285-4, МР  0179666
• Веблен, Освальд ; Янг, Джон Уэсли (1917), Проективная геометрия, том II, Ginn and Co., Бостон, ISBN 978-1-60386-062-8, МР  0179667
• фон Нейман, Джон (1998) [1960], Непрерывная геометрия, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05893-1, МР  0120174