Лемма Варадхана

В математике лемма Варадхана является результатом теории больших отклонений, названной в честь С. Р. Шринивасы Варадхана . Результат дает информацию об асимптотическом распределении статистики φ ( Z _ε ) семейства случайных величин Z _ε по мере того, как ε становится малым в терминах функции скорости для переменных.

Пусть X — регулярное топологическое пространство ; пусть ( Z _ε ) _{ε >0} — семейство случайных величин, принимающих значения в X ; пусть μ _ε — закон ( вероятностная мера ) Z _ε . Предположим, что ( μ _ε ) _{ε >0} удовлетворяет принципу больших отклонений с хорошей функцией скорости I  :  X  → [0, +∞]. Пусть ϕ  :  X  →  R — любая непрерывная функция . Предположим, что выполняется хотя бы одно из следующих двух условий: либо условие хвоста

${\displaystyle \lim _{M\to \infty }\limsup _ {\varepsilon \to 0}{\big (}\varepsilon \log \mathbf {E} {\big [}\exp {\big (}\ фи (Z_ {\varepsilon })/\varepsilon {\big )}\,\mathbf {1} {\big (}\phi (Z_{\varepsilon })\geq M{\big )}{\big ]}{\big )}=-\infty ,}$

где 1 ( E ) обозначает индикаторную функцию события E ; или, для некоторого γ  > 1, моментное условие

${\displaystyle \limsup _ {\varepsilon \to 0}{\big (}\varepsilon \log \mathbf {E} {\big [}\exp {\big (}\gamma \phi (Z_ {\varepsilon }) /\varepsilon {\big )}{\big ]}{\big )}<\infty .}$

Затем

${\displaystyle \lim _ {\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mathbf {E} {\big [}\exp {\big (}\phi (Z_ {\varepsilon })/\varepsilon {\big) }{\big ]}=\sup _{x\in X}{\big (}\phi (x)-I(x){\big )}.}$

• Принцип Лапласа (теория больших отклонений)

• Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы больших отклонений и их применение . Applications of Mathematics (Нью-Йорк) 38 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. МР  1619036.(См. теорему 4.3.1)