Номер вампира

В развлекательной математике число -вампир (или истинное число-вампир ) — это составное натуральное число с четным числом цифр , которое можно разложить на два натуральных числа, каждое из которых содержит в два раза меньше цифр, чем исходное число, где два множителя содержат в точности все цифры исходного числа в любом порядке, учитывая кратность. Оба множителя не могут иметь конечные нули. Первое число-вампир равно 1260 = 21 × 60. [1] [2]

Определение

Пусть — натуральное число с цифрами: Н {\displaystyle N} 2 к {\displaystyle 2k}

Н = н 2 к н 2 к 1 . . . н 1 {\displaystyle N={n_{2k}}{n_{2k-1}}...{n_{1}}}

Тогда является числом-вампиром тогда и только тогда, когда существуют два натуральных числа и , каждое из которых содержит цифры: Н {\displaystyle N} А {\displaystyle А} Б {\displaystyle Б} к {\displaystyle к}

А = а к а к 1 . . . а 1 {\displaystyle A={a_{k}}{a_{k-1}}...{a_{1}}}
Б = б к б к 1 . . . б 1 {\displaystyle B={b_{k}}{b_{k-1}}...{b_{1}}}

такой, что , и не являются одновременно нулем, а цифры конкатенации и являются перестановкой цифр . Два числа и называются клыками . А × Б = Н {\displaystyle A\times B=N} а 1 {\displaystyle а_{1}} б 1 {\displaystyle b_{1}} 2 к {\displaystyle 2k} А {\displaystyle А} Б {\displaystyle Б} ( а к а к 1 . . . а 2 а 1 б к б к 1 . . . б 2 б 1 ) {\displaystyle ({a_{k}}{a_{k-1}}...{a_{2}}{a_{1}}{b_{k}}{b_{k-1}}...{b_{2}}{b_{1}})} 2 к {\displaystyle 2k} Н {\displaystyle N} А {\displaystyle А} Б {\displaystyle Б} Н {\displaystyle N}

Числа-вампиры были впервые описаны в сообщении Клиффорда А. Пиковера в 1994 году в группе Usenet sci.math [3] , а статья, которую он написал позже, была опубликована в главе 30 его книги « Ключи к бесконечности» . [4]

Примеры

нКоличество вампирических чисел длины n
47
6148
83228
10108454
124390670
14208423682
1611039126154

1260 — число-вампир, в котором числа 21 и 60 — клыки, поскольку 21 × 60 = 1260, а цифры конкатенации двух множителей (2160) представляют собой перестановку цифр исходного числа (1260).

Однако 126000 (которое можно выразить как 21 × 6000 или 210 × 600) не является числом-вампиром, поскольку, хотя 126000 = 21 × 6000 и цифры (216000) являются перестановкой исходного числа, два множителя 21 и 6000 не имеют правильного количества цифр. Кроме того, хотя 126000 = 210 × 600, оба множителя 210 и 600 имеют конечные нули.

Первые несколько чисел-вампиров:

1260 = 21 × 60
1395 = 15 × 93
1435 = 35 × 41
1530 = 30 × 51
1827 = 21 × 87
2187 = 27 × 81
6880 = 80 × 86
102510 = 201 × 510
104260 = 260 × 401
105210 = 210 × 501

Последовательность чисел-вампиров:

1260, 1395, 1435, 1530, 1827, 2187, 6880, 102510, 104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, 125500, ... (последовательность A014575 в OEIS )

Известно множество последовательностей из бесконечного числа чисел-вампиров, следующих определенному шаблону, например:

1530 = 30×51, 150300 = 300×501, 15003000 = 3000×5001,...

Эл Свейгарт вычислил все вампирские числа, которые имеют не более 10 цифр. [5]

Несколько пар клыков

Число-вампир может иметь несколько различных пар клыков. Первое из бесконечного множества чисел-вампиров с 2 парами клыков:

125460 = 204 × 615 = 246 × 510

Первый с 3 парами клыков:

13078260 = 1620×8073 = 1863×7020 = 2070×6318

Первый с 4 парами клыков:

16758243290880 = 1982736 × 8452080 = 2123856 × 7890480 = 2751840 × 6089832 = 2817360 × 5948208

Первый с 5 парами клыков:

24959017348650 = 2947050 × 8469153 = 2949705 × 8461530 = 4125870 × 6049395 = 4129587 × 6043950 = 4230765 × 5899410

Другие базы

Числа вампиров существуют также для оснований, отличных от основания 10. Например, число вампира в основании 12 - это 10392BA45768 = 105628 × BA3974, где A означает десять, а B означает одиннадцать. Другой пример в том же основании - число вампира с тремя клыками, 572164B9A830 = 8752 × 9346 × A0B1. Пример с четырьмя клыками - 3715A6B89420 = 763 × 824 × 905 × B1A. В этих примерах все 12 цифр используются ровно один раз.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Числа-вампиры». MathWorld .
  2. ^ Андерсен, Йенс К. «Числа вампиров».
  3. Оригинальный пост Пиковера, описывающий количество вампиров
  4. ^ Пиковер, Клиффорд А. (1995). Ключи к бесконечности . Wiley. ISBN 0-471-19334-8.
  5. ^ Свейгарт, Эл. «Визуализация чисел вампиров».
  • Свейгарт, Ал. Визуализация чисел вампиров
  • Грайм, Джеймс; Коупленд, Эд. "Числа вампиров". Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2017-10-14 . Получено 2013-04-08 .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Vampire_number&oldid=1231730150"