Вакуумные колебания Раби
Затухающие колебания в квантовой оптике

Вакуумная осцилляция Раби — это затухающие колебания первоначально возбужденного атома , связанного с электромагнитным резонатором или полостью, в которой атом попеременно испускает фотон (ы) в одномодовую электромагнитную полость и поглощает их. Атом взаимодействует с одномодовым полем, заключенным в ограниченном объеме V в оптической полости. [1] [2] [3] Спонтанное излучение является следствием связи между атомом и вакуумными флуктуациями поля полости.

Математическая обработка

Математическое описание вакуумных осцилляций Раби начинается с модели Джейнса–Каммингса , которая описывает взаимодействие между одной модой квантованного поля и двухуровневой системой внутри оптической полости . Гамильтониан для этой модели в приближении вращающейся волны имеет вид

ЧАС ^ Дж.К. = ℏ ω а ^ † а ^ + ℏ ω 0 σ ^ з 2 + ℏ г ( а ^ σ ^ + + а ^ † σ ^ − ) {\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{0}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+\hbar g\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)}

где — оператор спина Паули z для двух собственных состояний и изолированной двухуровневой системы, разделенной по энергии на ; и — операторы повышения и понижения двухуровневой системы; и — операторы рождения и уничтожения для фотонов энергии в резонаторной моде; и σ з ^ {\displaystyle {\hat {\sigma _{z}}}} | е ⟩ {\displaystyle |e\rangle } | г ⟩ {\displaystyle |g\rangle } ℏ ω 0 {\displaystyle \hbar \omega _{0}} σ ^ + = | е ⟩ ⟨ г | {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|} σ ^ − = | г ⟩ ⟨ е | {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|} а ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} а ^ {\displaystyle {\шляпа {а}}} ℏ ω {\displaystyle \hbar \omega }

г = г ⋅ Э ^ ℏ ℏ ω 2 ϵ 0 В {\displaystyle g={\frac {\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathcal {E}}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _ {0}В}}}}

— сила связи между дипольным моментом двухуровневой системы и модой полости с объемом и электрическим полем, поляризованным вдоль . [4] Собственные значения энергии и собственные состояния для этой модели: г {\displaystyle \mathbf {d} } В {\displaystyle V} Э ^ {\displaystyle {\hat {\mathcal {E}}}}

Э ± ( н ) = ℏ ω ( н + 1 2 ) ± ℏ 2 4 г 2 ( н + 1 ) + δ 2 = ℏ ω н ± {\displaystyle E_{\pm }(n)=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}=\hbar \omega _{n}^{\pm }}
| н , + ⟩ = потому что ⁡ ( θ н ) | г , н + 1 ⟩ + грех ⁡ ( θ н ) | е , н ⟩ {\displaystyle |n,+\rangle =\cos \left(\theta _{n}\right)|g,n+1\rangle +\sin \left(\theta _{n}\right)|e,n\rangle }
| н , − ⟩ = грех ⁡ ( θ н ) | г , н + 1 ⟩ − потому что ⁡ ( θ н ) | е , н ⟩ {\displaystyle |n,-\rangle =\sin \left(\theta _{n}\right)|g,n+1\rangle -\cos \left(\theta _{n}\right)|e,n\rangle }

где - расстройка , а угол определяется как δ = ω 0 − ω {\displaystyle \delta =\omega _{0}-\omega } θ н {\displaystyle \theta _{n}}

θ н = загар − 1 ⁡ ( г н + 1 δ ) . {\displaystyle \theta _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {g{\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right).}

Учитывая собственные состояния системы, оператор временной эволюции можно записать в виде

е − я ЧАС ^ Дж.К. т / ℏ = ∑ | н , ± ⟩ ∑ | н ′ , ± ⟩ | н , ± ⟩ ⟨ н , ± | е − я ЧАС ^ Дж.К. т / ℏ | н ′ , ± ⟩ ⟨ н ′ , ± | =   е я ( ω − ω 0 2 ) т | г , 0 ⟩ ⟨ г , 0 |       + ∑ н = 0 ∞ е − я ω н + т ( потому что ⁡ θ н | г , н + 1 ⟩ + грех ⁡ θ н | е , н ⟩ ) ( потому что ⁡ θ н ⟨ г , н + 1 | + грех ⁡ θ н ⟨ е , н | )       + ∑ н = 0 ∞ е − я ω н − т ( − грех ⁡ θ н | г , н + 1 ⟩ + потому что ⁡ θ н | е , н ⟩ ) ( − грех ⁡ θ н ⟨ г , н + 1 | + потому что ⁡ θ н ⟨ е , н | ) . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }&=\sum _{|n,\pm \rangle }\sum _{|n',\pm \rangle }|n,\pm \rangle \langle n,\pm |e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar } |n',\pm \rangle \langle n',\pm |\\&=~e^{i(\omega -{\frac {\omega _{0}}{2}})t}|g, 0\rangle \langle g,0|\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos {\ тета _ {n}}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}|e,n\rangle )(\cos {\theta _{n}}\langle g,n+1| +\sin {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n }^{-}t}(-\sin {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )(-\sin { \theta _{n}}\langle g,n+1|+\cos {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\\end{aligned}}.}

Если система начинается в состоянии , где атом находится в основном состоянии двухуровневой системы и в резонаторной моде имеются фотоны, применение оператора временной эволюции дает | г , н + 1 ⟩ {\displaystyle |g,n+1\rangle } н + 1 {\displaystyle n+1}

е − я ЧАС ^ Дж.К. т / ℏ | г , н + 1 ⟩ = ( е − я ω н + т ( потому что 2 ⁡ ( θ н ) | г , н + 1 ⟩ + грех ⁡ θ н потому что ⁡ θ н | е , н ⟩ ) + е − я ω н − т ( − грех 2 ⁡ ( θ н ) | г , н + 1 ⟩ − грех ⁡ θ н потому что ⁡ θ н | е , н ⟩ ) = ( е − я ω н + т + е − я ω н − т ) потому что ⁡ ( 2 θ н ) | г , н + 1 ⟩ + ( е − я ω н + т − е − я ω н − т ) грех ⁡ ( 2 θ н ) | е , н ⟩ = е − я ω с ( н + 1 2 ) [ потому что ⁡ ( т 2 4 г 2 ( н + 1 ) + δ 2 ) [ δ 2 − 4 г 2 ( н + 1 ) δ 2 + 4 г 2 ( н + 1 ) ] | г , н + 1 ⟩ + грех ⁡ ( т 2 4 г 2 ( н + 1 ) + δ 2 ) [ 8 δ 2 г 2 ( н + 1 ) δ 2 + 4 г 2 ( н + 1 ) ] | е , н ⟩ ] . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|g,n+1\rangle &=(e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )+e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle -\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )\\&=(e^{-i\omega _{n}^{+}t}+e^{-i\omega _{n}^{-}t})\cos {(2\theta _{n})}|g,n+1\rangle +(e^{-i\omega _{n}^{+}t}-e^{-i\omega _{n}^{-}t})\sin {(2\theta _{n})}|e,n\rangle \\&=e^{-i\omega _{c}(n+{\frac {1}{2}})}{\Biggr [}\cos {{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {\delta ^{2}-4g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|g,n+1\rangle +\sin {{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|e,n\rangle {\Biggr ]}\end{aligned}}.}

Вероятность того, что двухуровневая система находится в возбужденном состоянии, как функция времени равна | e , n ⟩ {\displaystyle |e,n\rangle } t {\displaystyle t}

P e ( t ) = | ⟨ e , n | e − i H ^ JC t / ℏ | g , n + 1 ⟩ | 2 = sin 2 ⁡ ( t 2 4 g 2 ( n + 1 ) + δ 2 ) [ 8 δ 2 g 2 ( n + 1 ) δ 2 + 4 g 2 ( n + 1 ) ] = 4 g 2 ( n + 1 ) Ω n 2 sin 2 ⁡ ( Ω n t 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}(t)&=|\langle e,n|e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|g,n+1\rangle |^{2}\\&=\sin ^{2}{{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}\\&={\frac {4g^{2}(n+1)}{\Omega _{n}^{2}}}\sin ^{2}{{\bigr (}{\frac {\Omega _{n}t}{2}}{\bigr )}}\end{aligned}}}

где определяется как частота Раби . ​​В случае, когда в полости нет электрического поля, то есть число фотонов равно нулю, частота Раби становится . Тогда вероятность того, что двухуровневая система перейдет из основного состояния в возбужденное состояние в зависимости от времени, равна Ω n = 4 g 2 ( n + 1 ) + δ 2 {\displaystyle \Omega _{n}={\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}} n {\displaystyle n} Ω 0 = 4 g 2 + δ 2 {\displaystyle \Omega _{0}={\sqrt {4g^{2}+\delta ^{2}}}} t {\displaystyle t}

P e ( t ) = 4 g 2 Ω 0 2 sin 2 ⁡ ( Ω 0 t 2 ) . {\displaystyle P_{e}(t)={\frac {4g^{2}}{\Omega _{0}^{2}}}\sin ^{2}{{\bigr (}{\frac {\Omega _{0}t}{2}}{\bigr )}.}}

Для полости, которая допускает одну моду, идеально резонирующую с разностью энергий между двумя уровнями энергии, расстройка исчезает и становится квадратной синусоидой с единичной амплитудой и периодом. δ {\displaystyle \delta } P e ( t ) {\displaystyle P_{e}(t)} 2 π g . {\displaystyle {\frac {2\pi }{g}}.}

Обобщение кНатомы

Ситуация, в которой в одномодовом резонаторе присутствуют двухуровневые системы, описывается моделью Тэвиса–Каммингса [5] , которая имеет гамильтониан N {\displaystyle N}

H ^ JC = ℏ ω a ^ † a ^ + ∑ j = 1 N ℏ ω 0 σ ^ j z 2 + ℏ g j ( a ^ σ ^ j + + a ^ † σ ^ j − ) . {\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\sum _{j=1}^{N}{\hbar \omega _{0}{\frac {{\hat {\sigma }}_{j}^{z}}{2}}+\hbar g_{j}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{j}^{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{j}^{-}\right)}.}

При условии, что все двухуровневые системы имеют одинаковую индивидуальную силу связи с полем, ансамбль в целом будет иметь повышенную силу связи . В результате вакуумное расщепление Раби соответственно усиливается в . [6] g {\displaystyle g} g N = g N {\displaystyle g_{N}=g{\sqrt {N}}} N {\displaystyle {\sqrt {N}}}

Смотрите также

Ссылки и примечания

  1. ^ Хироюки Ёкояма и Удзихара К (1995). Спонтанное излучение и лазерная генерация в микрорезонаторах. Boca Raton: CRC Press. стр. 6. ISBN 0-8493-3786-0.
  2. ^ Керри Вахала (2004). Оптические микрорезонаторы. Сингапур: World Scientific. стр. 368. ISBN 981-238-775-7.
  3. ^ Родни Лаудон (2000). Квантовая теория света. Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press. стр. 172. ISBN 0-19-850177-3.
  4. ^ Марлан О. Скалли, М. Сухаил Зубайри (1997). Квантовая оптика. Cambridge University Press. стр. 5. ISBN 0521435951.
  5. ^ Шайн, Натан (2019). Квантовая холловская физика с фотонами (PhD). Чикагский университет.
  6. ^ Марк Фокс (2006). Квантовая оптика: Введение. Бока-Ратон: OUP Oxford. стр. 208. ISBN 0198566735.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Vacuum_Rabi_oscillation&oldid=1206699160"