Джинсовые уравнения
Система дифференциальных уравнений
Моделирование N-тел Техасского университета. Управляется уравнениями Джинса в гравитационном потенциале

Уравнения Джинса представляют собой набор уравнений в частных производных , которые описывают движение совокупности звезд в гравитационном поле . Уравнения Джинса связывают моменты скорости второго порядка с плотностью и потенциалом звездной системы для систем без столкновений. Они аналогичны уравнениям Эйлера для потока жидкости и могут быть выведены из уравнения Больцмана без столкновений . Уравнения Джинса могут иметь различные формы в зависимости от структуры моделируемого объекта. Наибольшее применение эти уравнения нашли в симуляциях с большим количеством гравитационно связанных объектов.

История

Уравнения Джинса были первоначально выведены Джеймсом Клерком Максвеллом . Однако впервые они были применены в астрономии Джеймсом Джинсом в 1915 году, когда он работал над звездной гидродинамикой. С тех пор аналитически и численно были рассчитаны многочисленные решения уравнений. Некоторые известные решения включают сферически симметричное решение, выведенное Джеймсом Бинни в 1983 году, и осесимметричные решения, найденные в 1995 году Ричардом Арнольдом. [1] [2]

Математика

Вывод из уравнения Больцмана

Уравнение Больцмана без столкновений, также называемое уравнением Власова, является частной формой уравнения Лиувилля и задается следующим образом: [3]

∂ ф ∂ т + в ∂ ф ∂ г − ∂ Ф ∂ г ∂ ф ∂ в = 0 {\displaystyle {\partial f \over \partial t}+v{\partial f \over \partial r}-{\partial \Phi \over \partial r}{\partial f \over \partial v}=0} Или в векторной форме: ∂ ф ∂ т + в → ⋅ ∇ → ф − ∇ → Ф ⋅ ∂ ф ∂ в → = 0 {\displaystyle {\partial f \over \partial t}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }} f- {\vec {\nabla }}\Phi \cdot {\partial f \ над \partial {\vec {v}}}=0}

Объединение уравнения Власова с уравнением Пуассона для гравитации дает уравнения Джинса. ∇ 2 ϕ = 4 π Г ρ . {\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho.}

Более конкретно, если n = n ( x , t ) — плотность звезд в космосе, как функция положения x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) и времени t , v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) — скорость, а Φ = Φ( x , t ) — гравитационный потенциал , то уравнения Джинса можно записать как: [4] [5]

∂ н ∂ т + ∑ я ∂ ( н ⟨ в я ⟩ ) ∂ х я = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0,}

∂ ( н ⟨ в дж ⟩ ) ∂ т + н ∂ Ф ∂ х дж + ∑ я ∂ ( н ⟨ в я в дж ⟩ ) ∂ х я = 0 ( дж = 1 , 2 , 3. ) {\displaystyle {\frac {\partial (n\langle {v_{j}}\rangle )}{\partial t}}+n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}v_{j}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0\qquad (j=1,2,3.)}

Здесь обозначение ⟨...⟩ означает среднее значение в заданной точке и времени (x,t), так что, например, является средним значением компонента 1 скорости звезд в заданной точке и времени. Второй набор уравнений может быть также записан как ⟨ в 1 ⟩ {\displaystyle \langle {v_{1}}\rangle }

н ∂ ⟨ в дж ⟩ ∂ т + ∑ я н ⟨ в я ⟩ ∂ ⟨ в дж ⟩ ∂ х я = − н ∂ Ф ∂ х дж − ∑ я ∂ ( н σ я дж 2 ) ∂ х я ( дж = 1 , 2 , 3. ) {\displaystyle n{\frac {\partial \langle {v_{j}}\rangle }{\partial t}}+\sum _{i}n\langle {v_{i}}\rangle {\frac {\partial {\langle {v_{j}}\rangle }}{\partial x_{i}}}=-n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}-\sum _{i}{\frac {\partial (n\sigma _{ij}^{2})}{\partial x_{i}}}\qquad (j=1,2,3.)}

где пространственная часть тензора энергии-напряжения определяется как: и измеряет дисперсию скорости в компонентах i и j в заданной точке. σ я дж 2 = ⟨ в я в дж ⟩ − ⟨ в я ⟩ ⟨ в дж ⟩ {\displaystyle \sigma _{ij}^{2}=\langle {v_{i}v_{j}}\rangle -\langle {v_{i}}\rangle \langle {v_{j}}\rangle }

Некоторые предположения относительно этих уравнений включают:

  • Поток в фазовом пространстве должен сохранять массу
  • Плотность вокруг данной звезды остается неизменной или несжимаемой.

Обратите внимание, что уравнения Джинса содержат 9 неизвестных (3 средних скорости и 6 членов тензора напряжений), но только 3 уравнения. Это означает, что уравнения Джинса не замкнуты. Для решения различных систем делаются различные предположения о тензоре напряжений. [6]

Уравнения сферических Джинсов

Одно из основных применений уравнения Джина — сферические гравитационные тела. В сферических координатах уравнения имеют вид: [6]

∂ ρ ⟨ v r ⟩ ∂ t + ∂ ρ ⟨ v r 2 ⟩ ∂ r + ρ r [ 2 ⟨ v r 2 ⟩ − ⟨ v θ 2 ⟩ − ⟨ v ϕ 2 ⟩ ] + ρ ∂ Φ ∂ r = 0 {\displaystyle {\partial \rho \langle v_{r}\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}^{2}\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[2\langle v_{r}^{2}\rangle -\langle v_{\theta }^{2}\rangle -\langle v_{\phi }^{2}\rangle ]+\rho {\partial \Phi \over \partial r}=0}

∂ ρ ⟨ v θ ⟩ ∂ t + ∂ ρ ⟨ v r v θ ⟩ ∂ r + ρ r [ 3 ⟨ v r v θ ⟩ + ( ⟨ v θ 2 ⟩ − ⟨ v ϕ 2 ⟩ ) cot ⁡ ( θ ) ] = 0 {\displaystyle {\partial \rho \langle v_{\theta }\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}v_{\theta }\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[3\langle v_{r}v_{\theta }\rangle +(\langle v_{\theta }^{2}\rangle -\langle v_{\phi }^{2}\rangle )\cot(\theta )]=0}

∂ ρ ⟨ v ϕ ⟩ ∂ t + ∂ ρ ⟨ v r v ϕ ⟩ ∂ r + ρ r [ 3 ⟨ v r v ϕ ⟩ + 2 ⟨ v θ v ϕ ⟩ cot ⁡ ( θ ) ] = 0 {\displaystyle {\partial \rho \langle v_{\phi }\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}v_{\phi }\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[3\langle v_{r}v_{\phi }\rangle +2\langle v_{\theta }v_{\phi }\rangle \cot(\theta )]=0}

Используя тензор напряжений в предположении, что он диагонален и , можно свести эти уравнения к одному упрощенному уравнению: σ θ 2 = σ ϕ 2 {\displaystyle \sigma _{\theta }^{2}=\sigma _{\phi }^{2}}

∂ ( ρ σ r 2 ) ∂ r + 2 ρ r [ σ r 2 − σ θ 2 ] + ρ ∂ Φ ∂ r = 0 {\displaystyle {\partial (\rho \sigma _{r}^{2}) \over \partial r}+{2\rho \over r}[\sigma _{r}^{2}-\sigma _{\theta }^{2}]+\rho {\partial \Phi \over \partial r}=0}

Опять же, есть две неизвестные функции ( и ), которые требуют предположений для решения уравнения. σ r 2 ( r ) {\displaystyle \sigma _{r}^{2}(r)} σ θ 2 ( r ) {\displaystyle \sigma _{\theta }^{2}(r)}

Приложения

Уравнение Джинса нашло большую пользу в гравитационном моделировании N-тел . [7] Масштаб этих симуляций может варьироваться от размера только нашей солнечной системы до всей вселенной. Используя измерения плотности звездного числа и различные кинематические значения, можно оценить параметры в уравнениях Джинса. Это позволяет проводить различные анализы через призму уравнений Джинса. Это особенно полезно при моделировании распределений гало темной материи из-за ее изотермического, неинтерактивного поведения. Поиски структуры в формировании галактик, формировании темной материи и формировании вселенной могут иметь наблюдения, дополненные моделированием с использованием уравнений Джинса.

Телескоп SDSS, предоставляющий данные для оценки параметров уравнения Джинса.

Гало темной материи Млечного Пути

Художественное изображение гало темной материи вокруг Млечного Пути. Моделирование уравнения Джинса накладывает ограничения на размер этого гало

Примером такого анализа являются ограничения, которые могут быть наложены на гало темной материи в пределах Млечного Пути . Используя измерения Sloan Digital Sky Survey нашей Галактики, исследователи смогли смоделировать распределение гало темной материи с помощью уравнений Джинса. [8] Сравнивая измеренные значения с результатами моделирования уравнения Джинса, они подтвердили необходимость дополнительной темной материи и наложили ограничения на размер ее эллипсоида. Они оценили отношение малой оси этого гало к большой как 0,47 0,14. Этот метод был применен ко многим другим гало галактик [9] и дал схожие результаты относительно топологии гало темной материи. ± {\displaystyle \pm }

Ограничения моделирования

Однако ограничивающим фактором этих симуляций были данные, необходимые для аппроксимации значений параметров тензора напряжений, которые диктуют поведение уравнений Джинса. Кроме того, некоторые ограничения могут быть наложены на симуляции уравнений Джинса, чтобы получить надежные результаты [10] [11] Некоторые из этих ограничений включают требование разрешения по длине волны, переменное гравитационное смягчение и минимальное вертикальное разрешение структурных частиц.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Арнольд, Ричард (1995). «Осесимметричные решения уравнения Джинса». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 276 : 293– 300. Bibcode : 1995MNRAS.276..293A. doi : 10.1093/mnras/276.1.293 . ISSN  1365-2966.
  2. ^ Каппеллари, Микеле (2020-06-01). «Эффективное решение анизотропных сферически выровненных осесимметричных уравнений Джинса звездной гидродинамики для галактической динамики». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 494 (4): 4819– 4837. arXiv : 1907.09894 . doi : 10.1093/mnras/staa959 . ISSN  0035-8711.
  3. ^ "Уравнение Больцмана без столкновений". www.cv.nrao.edu . Получено 2022-04-23 .
  4. ^ Бинни, Джеймс ; Тремейн, Скотт (1988). "4.2". Галактическая динамика (1-е изд.). Princeton University Press . стр.  195–197 . Bibcode :1988gady.book.....B. ISBN 0-691-08445-9.
  5. ^ Мерритт, Дэвид (2013). Динамика и эволюция ядер галактик. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press.
  6. ^ Аб Ван Ден Бош, Фрэнк. «Конспекты лекций по астрономии в Йельском университете» (PDF) .
  7. ^ Хаас, Брайан Л.; Хэш, Дэвид Б.; Берд, Грэм А.; Лампкин, Форрест Э.; Хассан, HA (1994). «Скорости тепловой релаксации в методах прямого моделирования Монте-Карло». Physics of Fluids . 6 (6): 2191– 2201. Bibcode :1994PhFl....6.2191H. doi :10.1063/1.868221. ISSN  1070-6631.
  8. ^ Лёбман, Сара Р.; Ивезич, Желько; Куинн, Томас Р.; Говернато, Фабио; Брукс, Элисон М.; Кристенсен, Шарлотта Р.; Юрич, Марио (2012-09-26). «Ограничения формы гало тёмной материи Млечного Пути из уравнений Джинса, применяемых к данным цифрового обзора неба Слоуна». The Astrophysical Journal . 758 (1): L23. arXiv : 1209.2708 . Bibcode :2012ApJ...758L..23L. doi :10.1088/2041-8205/758/1/l23. ISSN  2041-8205. S2CID  18220516.
  9. ^ Адамс, Джошуа Дж.; Гебхардт, Карл; Бланк, Гильермо А.; Фабрициус, Максимилиан Х.; Хилл, Гэри Дж.; Мерфи, Джереми Д.; ван ден Бош, Ремко CE; ван де Вен, Гленн (2012-01-03). "Центральное распределение темной материи NGC 2976". The Astrophysical Journal . 745 (1): 92. arXiv : 1110.5951 . Bibcode :2012ApJ...745...92A. doi :10.1088/0004-637x/745/1/92. hdl :2152/35153. ISSN  0004-637X. S2CID  118429887.
  10. ^ Нельсон, Эндрю Ф. (2006). «Численные требования для моделирования самогравитирующих и несамогравитирующих дисков». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 373 (3): 1039– 1073. arXiv : astro-ph/0609493 . Bibcode : 2006MNRAS.373.1039N. doi : 10.1111/j.1365-2966.2006.11119.x . ISSN  0035-8711. S2CID  17175349.
  11. ^ Truelove, J. Kelly; Klein, Richard I.; McKee, Christopher F.; Holliman Ii, John H.; Howell, Louis H.; Greenough, Jeffrey A. (1997). "Условие Джинса: Новое ограничение на пространственное разрешение в моделировании изотермической самогравитационной гидродинамики". The Astrophysical Journal . 489 (2): L179 – L183 . Bibcode :1997ApJ...489L.179T. doi : 10.1086/310975 . S2CID  120393398.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Jeans_equations&oldid=1252116548"