Равномерная интегрируемость
Математическая концепция

В математике равномерная интегрируемость является важным понятием в действительном анализе , функциональном анализе и теории меры и играет важную роль в теории мартингалов .

Теоретико-мерное определение

Равномерная интегрируемость является расширением понятия семейства функций, которые доминируются в котором является центральным в доминируемой сходимости . Несколько учебников по действительному анализу и теории меры используют следующее определение: [1] [2] Л 1 {\displaystyle L_{1}}

Определение A: Пусть — пространство с положительной мерой . Множество называется равномерно интегрируемым , если и каждому соответствует такое, что ( Х , М , μ ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )} Ф ⊂ Л 1 ( μ ) {\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu)} Как дела ф ∈ Ф ‖ ф ‖ Л 1 ( μ ) < ∞ {\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L_{1}(\mu)}<\infty } ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \дельта >0}

∫ Э | ф | г μ < ε {\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <\varepsilon }

когда и ф ∈ Ф {\displaystyle f\in \Phi } μ ( Э ) < δ . {\displaystyle \mu (E)<\delta .}

Определение A довольно ограничительно для пространств с бесконечной мерой. Более общее определение [3] равномерной интегрируемости, которое хорошо работает в пространствах с общей мерой, было введено GA Hunt .

Определение H: Пусть — пространство с положительной мерой. Множество называется равномерно интегрируемым тогда и только тогда, когда ( Х , М , μ ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )} Ф ⊂ Л 1 ( μ ) {\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu)}

инф г ∈ Л + 1 ( μ ) Как дела ф ∈ Ф ∫ { | ф | > г } | ф | г μ = 0 {\displaystyle \inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>g\}}|f|\,d\mu =0}

где . Л + 1 ( μ ) = { г ∈ Л 1 ( μ ) : г ≥ 0 } {\displaystyle L_{+}^{1}(\mu )=\{g\in L^{1}(\mu ):g\geq 0\}}


Поскольку определение Ханта эквивалентно определению A, когда базовое пространство мер конечно (см. теорему 2 ниже), определение H широко принято в математике.

Следующий результат [4] дает другое эквивалентное понятие Ханту. Эта эквивалентность иногда приводится как определение равномерной интегрируемости.

Теорема 1: Если — (положительное) конечномерное пространство, то множество равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда ( Х , М , μ ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )} Ф ⊂ Л 1 ( μ ) {\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu)}

инф г ∈ Л + 1 ( μ ) Как дела ф ∈ Ф ∫ ( | ф | − г ) + г μ = 0 {\displaystyle \inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-g)^{+}\,d\mu =0}

Если вдобавок , то равномерная интегрируемость эквивалентна любому из следующих условий μ ( Х ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty }

1. . инф а > 0 Как дела ф ∈ Ф ∫ ( | ф | − а ) + г μ = 0 {\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-a)_{+}\,d\mu =0}

2. инф а > 0 Как дела ф ∈ Ф ∫ { | ф | > а } | ф | г μ = 0 {\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>a\}}|f|\,d\mu =0}

Когда базовое пространство конечно , определение Ханта эквивалентно следующему: ( Х , М , μ ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )} σ {\displaystyle \сигма}

Теорема 2: Пусть будет - конечным мерным пространством, и будет таким, что почти всюду. Множество равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда , и для любого существует такое, что ( Х , М , μ ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )} σ {\displaystyle \сигма} час ∈ Л 1 ( μ ) {\displaystyle h\in L^{1}(\mu )} час > 0 {\displaystyle h>0} Ф ⊂ Л 1 ( μ ) {\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu)} Как дела ф ∈ Ф ‖ ф ‖ Л 1 ( μ ) < ∞ {\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L_{1}(\mu)}<\infty } ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \дельта >0}

Как дела ф ∈ Ф ∫ А | ф | г μ < ε {\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon }

в любое время . ∫ А час г μ < δ {\displaystyle \int _{A}h\,d\mu <\delta }

Следствием теорем 1 и 2 является то, что следует эквивалентность определений A и H для конечных мер. Действительно, утверждение в определении A получается путем принятия теоремы 2. час ≡ 1 {\displaystyle h\equiv 1}

Определение вероятности

В теории вероятностей определение А или утверждение теоремы 1 часто представляются как определения равномерной интегрируемости с использованием обозначения математического ожидания случайных величин. [5] [6] [7] то есть,

1. Класс случайных величин называется равномерно интегрируемым, если: С {\displaystyle {\mathcal {C}}}

  • Существует конечное такое, что для любого из и М {\displaystyle М} Х {\displaystyle X} С {\displaystyle {\mathcal {C}}} Э ⁡ ( | Х | ) ≤ М {\displaystyle \operatorname {E} (|X|)\leq M}
  • Для каждого существует такое, что, для каждого измеримого такого, что и каждого из , . ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \дельта >0} А {\displaystyle А} П ( А ) ≤ δ {\displaystyle P(A)\leq \delta } Х {\displaystyle X} С {\displaystyle {\mathcal {C}}} Э ⁡ ( | Х | я А ) ≤ ε {\displaystyle \operatorname {E} (|X|I_{A})\leq \varepsilon }

или альтернативно

2. Класс случайных величин называется равномерно интегрируемым (РИ), если для каждого существует такое, что , где — индикаторная функция . С {\displaystyle {\mathcal {C}}} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} К ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle K\in [0,\infty)} Э ⁡ ( | Х | я | Х | ≥ К ) ≤ ε    для всех  Х ∈ С {\displaystyle \operatorname {E} (|X|I_{|X|\geq K})\leq \varepsilon \ {\text{ for all }}X\in {\mathcal {C}}} I | X | ≥ K {\displaystyle I_{|X|\geq K}} I | X | ≥ K = { 1 if  | X | ≥ K , 0 if  | X | < K . {\displaystyle I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K.\end{cases}}}

Плотность и равномерная интегрируемость

Одним из следствий равномерной интегрируемости класса случайных величин является то, что семейство законов или распределений является плотным . То есть, для каждого существует такое, что для всех . [8] C {\displaystyle {\mathcal {C}}} { P ∘ | X | − 1 ( ⋅ ) : X ∈ C } {\displaystyle \{P\circ |X|^{-1}(\cdot ):X\in {\mathcal {C}}\}} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} a > 0 {\displaystyle a>0} P ( | X | > a ) ≤ δ {\displaystyle P(|X|>a)\leq \delta } X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}

Однако это не означает, что семейство мер является плотным. (В любом случае, для определения плотного множества потребуется топология .) V C := { μ X : A ↦ ∫ A | X | d P , X ∈ C } {\displaystyle {\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}:={\Big \{}\mu _{X}:A\mapsto \int _{A}|X|\,dP,\,X\in {\mathcal {C}}{\Big \}}} Ω {\displaystyle \Omega }

Равномерная абсолютная непрерывность

Существует еще одно понятие однородности, несколько отличное от равномерной интегрируемости, которое также имеет множество приложений в теории вероятностей и меры и не требует, чтобы случайные величины имели конечный интеграл [9]

Определение: Предположим, что есть вероятностное пространство. Класс случайных величин равномерно абсолютно непрерывен относительно , ​​если для любого существует такое, что всякий раз, когда . ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} P {\displaystyle P} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} E [ | X | I A ] < ε {\displaystyle E[|X|I_{A}]<\varepsilon } P ( A ) < δ {\displaystyle P(A)<\delta }

Это эквивалентно равномерной интегрируемости, если мера конечна и не имеет атомов.

Термин «равномерная абсолютная непрерывность» не является общепринятым, [ требуется ссылка ], но используется некоторыми авторами. [10] [11]

Следующие результаты применимы к вероятностному определению. [12]

  • Определение 1 можно переписать, приняв пределы следующим образом: lim K → ∞ sup X ∈ C E ⁡ ( | X | I | X | ≥ K ) = 0. {\displaystyle \lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}\operatorname {E} (|X|\,I_{|X|\geq K})=0.}
  • Не-UI последовательность. Пусть , и определяют Ясно , и действительно для всех n . Однако, и сравнивая с определением 1, видно, что последовательность не является равномерно интегрируемой. Ω = [ 0 , 1 ] ⊂ R {\displaystyle \Omega =[0,1]\subset \mathbb {R} } X n ( ω ) = { n , ω ∈ ( 0 , 1 / n ) , 0 , otherwise. {\displaystyle X_{n}(\omega )={\begin{cases}n,&\omega \in (0,1/n),\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}} X n ∈ L 1 {\displaystyle X_{n}\in L^{1}} E ⁡ ( | X n | ) = 1   , {\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,} E ⁡ ( | X n | I { | X n | ≥ K } ) = 1    for all  n ≥ K , {\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|I_{\{|X_{n}|\geq K\}})=1\ {\text{ for all }}n\geq K,}
Не-UI последовательность RV. Площадь под полосой всегда равна 1, но поточечно. X n → 0 {\displaystyle X_{n}\to 0}
  • Используя Определение 2 в приведенном выше примере, можно увидеть, что первое предложение выполняется, поскольку норма всех s равна 1, т.е. ограничена. Но второе предложение не выполняется, поскольку задано любое положительное, существует интервал с мерой, меньшей и для всех . L 1 {\displaystyle L^{1}} X n {\displaystyle X_{n}} δ {\displaystyle \delta } ( 0 , 1 / n ) {\displaystyle (0,1/n)} δ {\displaystyle \delta } E [ | X m | : ( 0 , 1 / n ) ] = 1 {\displaystyle E[|X_{m}|:(0,1/n)]=1} m ≥ n {\displaystyle m\geq n}
  • Если — случайная величина пользовательского интерфейса , то, разделив и ограничив каждую из двух, можно увидеть, что равномерно интегрируемая случайная величина всегда ограничена в . X {\displaystyle X} E ⁡ ( | X | ) = E ⁡ ( | X | I { | X | ≥ K } ) + E ⁡ ( | X | I { | X | < K } ) {\displaystyle \operatorname {E} (|X|)=\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|\geq K\}})+\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|<K\}})} L 1 {\displaystyle L^{1}}
  • Если любая последовательность случайных величин подчиняется интегрируемой неотрицательной функции : то есть для всех ω и n , то класс случайных величин равномерно интегрируем. X n {\displaystyle X_{n}} Y {\displaystyle Y} | X n ( ω ) | ≤ Y ( ω ) ,   Y ( ω ) ≥ 0 ,   E ⁡ ( Y ) < ∞ , {\displaystyle |X_{n}(\omega )|\leq Y(\omega ),\ Y(\omega )\geq 0,\ \operatorname {E} (Y)<\infty ,} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} { X n } {\displaystyle \{X_{n}\}}
  • Класс случайных величин, ограниченных в ( ), равномерно интегрируем. L p {\displaystyle L^{p}} p > 1 {\displaystyle p>1}

Соответствующие теоремы

Далее мы используем вероятностную структуру, но независимо от конечности меры, добавляя условие ограниченности на выбранном подмножестве . L 1 ( μ ) {\displaystyle L^{1}(\mu )}

Отношение к сходимости случайных величин

Последовательность сходится к по норме тогда и только тогда, когда она сходится по мере к и равномерно интегрируема. В терминах вероятности последовательность случайных величин, сходящаяся по вероятности, также сходится в среднем тогда и только тогда, когда они равномерно интегрируемы. [17] Это обобщение теоремы Лебега о доминирующей сходимости , см. теорему Витали о сходимости . { X n } {\displaystyle \{X_{n}\}} X {\displaystyle X} L 1 {\displaystyle L_{1}} X {\displaystyle X}

Цитаты

  1. ^ Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ (3-е изд.). Сингапур: McGraw–Hill Book Co. стр. 133. ISBN 0-07-054234-1.
  2. ^ Ройден, HL и Фицпатрик, PM (2010). Реальный анализ (4-е изд.). Бостон: Prentice Hall. стр. 93. ISBN 978-0-13-143747-0.
  3. ^ Хант, Джорджия (1966). Мартингалы и Марковские процессы . Париж: Дюнод. п. 254.
  4. ^ Кленке, А. (2008). Теория вероятностей: всеобъемлющий курс . Берлин: Springer Verlag. С. 134–137. ISBN 978-1-84800-047-6.
  5. ^ Уильямс, Дэвид (1997). Вероятность с Мартингалами (Повторное издание). Кембридж: Cambridge Univ. Press. С. 126–132. ISBN 978-0-521-40605-5.
  6. ^ Гут, Аллан (2005). Вероятность: курс для выпускников . Springer. стр. 214–218. ISBN 0-387-22833-0.
  7. ^ Басс, Ричард Ф. (2011). Стохастические процессы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 356–357. ISBN 978-1-107-00800-7.
  8. ^ Гут 2005, стр. 236.
  9. ^ Басс 2011, стр. 356.
  10. ^ Бенедетто, Джей-Джей (1976). Действительная переменная и интегрирование . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. п. 89. ИСБН 3-519-02209-5.
  11. ^ Burrill, CW (1972). Мера, Интеграция и Вероятность . McGraw-Hill. стр. 180. ISBN 0-07-009223-0.
  12. ↑ Гут 2005, стр. 215–216.
  13. ^ Данфорд, Нельсон (1938). «Равномерность в линейных пространствах». Труды Американского математического общества . 44 (2): 305–356. doi : 10.1090/S0002-9947-1938-1501971-X . ISSN  0002-9947.
  14. ^ Данфорд, Нельсон (1939). «Средняя эргодическая теорема». Duke Mathematical Journal . 5 (3): 635–646. doi :10.1215/S0012-7094-39-00552-1. ISSN  0012-7094.
  15. ^ Мейер, П. А. (1966). Вероятность и потенциалы , Blaisdell Publishing Co, Нью-Йорк (стр. 19, теорема T22).
  16. ^ Пуссен, К. Де Ла Валле (1915). «Сюр Л'Интеграль де Лебег». Труды Американского математического общества . 16 (4): 435–501. дои : 10.2307/1988879. hdl : 10338.dmlcz/127627 . JSTOR  1988879.
  17. ^ Богачев, Владимир И. (2007). "Пространства Lp и пространства мер". Теория меры, том I. Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. стр. 268. doi :10.1007/978-3-540-34514-5_4. ISBN 978-3-540-34513-8.

Ссылки

  • Ширяев А.Н. (1995). Вероятность (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 187–188. ISBN 978-0-387-94549-1.
  • Diestel, J. и Uhl, J. (1977). Векторные меры , Mathematical Surveys 15, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд ISBN 978-0-8218-1515-1 
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Uniform_integrability&oldid=1233534358"