Равномерно выпуклое пространство
Понятие в математике векторных пространств

В математике равномерно выпуклые пространства (или равномерно округлые пространства ) являются распространенными примерами рефлексивных банаховых пространств . Понятие равномерной выпуклости было впервые введено Джеймсом А. Кларксоном в 1936 году.

Определение

Равномерно выпуклое пространство — это нормированное векторное пространство , такое что для каждого существует такое , что для любых двух векторов с и условием 0 < ε ≤ 2 {\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2} δ > 0 {\displaystyle \дельта >0} ‖ х ‖ = 1 {\displaystyle \|x\|=1} ‖ у ‖ = 1 , {\displaystyle \|y\|=1,}

‖ х − у ‖ ≥ ε {\displaystyle \|xy\|\geq \varepsilon }

подразумевает, что:

‖ х + у 2 ‖ ≤ 1 − δ . {\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta .}

Интуитивно понятно, что центр отрезка прямой внутри единичного шара должен лежать глубоко внутри единичного шара, если только отрезок не короткий.

Характеристики

  • Единичную сферу можно заменить замкнутым единичным шаром в определении. А именно, нормированное векторное пространство равномерно выпукло тогда и только тогда, когда для каждого существует некоторое такое, что для любых двух векторов и в замкнутом единичном шаре (т.е. и ) при , имеем (обратите внимание, что при задании соответствующее значение может быть меньше, чем то, которое дается исходным более слабым определением). Х {\displaystyle X} 0 < ε ≤ 2 {\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2} δ > 0 {\displaystyle \дельта >0} х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} ‖ х ‖ ≤ 1 {\displaystyle \|x\|\leq 1} ‖ у ‖ ≤ 1 {\displaystyle \|y\|\leq 1} ‖ х − у ‖ ≥ ε {\displaystyle \|xy\|\geq \varepsilon } ‖ х + у 2 ‖ ≤ 1 − δ {\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta } ε {\displaystyle \varepsilon} δ {\displaystyle \дельта}
Доказательство

Часть «если» тривиальна. Наоборот, предположим теперь, что равномерно выпукло и что являются такими, как в утверждении, для некоторого фиксированного . Пусть будет значением, соответствующим в определении равномерной выпуклости. Мы покажем, что , при . Х {\displaystyle X} х , у {\displaystyle x,y} 0 < ε ≤ 2 {\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2} δ 1 ≤ 1 {\displaystyle \delta _{1}\leq 1} δ {\displaystyle \дельта} ε 3 {\displaystyle {\frac {\varepsilon }{3}}} ‖ х + у 2 ‖ ≤ 1 − δ {\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta } δ = мин { ε 6 , δ 1 3 } {\displaystyle \delta =\min \left\{{\frac {\varepsilon }{6}},{\frac {\delta _{1}}{3}}\right\}}

Если то и утверждение доказано. Аналогичное рассуждение применимо для случая , поэтому мы можем предположить, что . В этом случае, поскольку , оба вектора отличны от нуля, поэтому мы можем позволить и . Имеем и аналогично , поэтому и принадлежат единичной сфере и имеют расстояние . Следовательно, по нашему выбору имеем . Из этого следует, что и утверждение доказано. ‖ х ‖ ≤ 1 − 2 δ {\displaystyle \|x\|\leq 1-2\delta } ‖ х + у 2 ‖ ≤ 1 2 ( 1 − 2 δ ) + 1 2 = 1 − δ {\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq {\frac {1}{2}}(1-2\delta )+{\frac {1}{2}}=1-\delta } ‖ у ‖ ≤ 1 − 2 δ {\displaystyle \|y\|\leq 1-2\delta } 1 − 2 δ < ‖ х ‖ , ‖ у ‖ ≤ 1 {\displaystyle 1-2\дельта <\|x\|,\|y\|\leq 1} δ ≤ 1 3 {\displaystyle \delta \leq {\frac {1}{3}}} х ′ = х ‖ х ‖ {\displaystyle x'={\frac {x}{\|x\|}}} у ′ = у ‖ у ‖ {\displaystyle y'={\frac {y}{\|y\|}}} ‖ х ′ − х ‖ = 1 − ‖ х ‖ ≤ 2 δ {\displaystyle \|x'-x\|=1-\|x\|\leq 2\delta } ‖ у ′ − у ‖ ≤ 2 δ {\displaystyle \|y'-y\|\leq 2\delta } х ′ {\displaystyle x'} у ′ {\displaystyle y'} ‖ х ′ − у ′ ‖ ≥ ‖ х − у ‖ − 4 δ ≥ ε − 4 ε 6 = ε 3 {\displaystyle \|x'-y'\|\geq \|xy\|-4\delta \geq \varepsilon - {\frac {4\varepsilon }{6}} = {\frac {\varepsilon }{3 }}} δ 1 {\displaystyle \дельта _{1}} ‖ х ′ + у ′ 2 ‖ ≤ 1 − δ 1 {\displaystyle \left\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\|\leq 1-\delta _{1}} ‖ х + у 2 ‖ ≤ ‖ х ′ + у ′ 2 ‖ + ‖ х ′ − х ‖ + ‖ у ′ − у ‖ 2 ≤ 1 − δ 1 + 2 δ ≤ 1 − δ 1 3 ≤ 1 − δ {\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq \left\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\|+{\frac {\|x'-x\|+\|y'-y\|}{2}}\leq 1-\delta _{1}+2\delta \leq 1-{\frac {\delta _{1}}{3}}\leq 1-\delta }

  • Теорема Мильмана –Петтиса утверждает , что каждое равномерно выпуклое банахово пространство рефлексивно , тогда как обратное неверно.
  • Каждое равномерно выпуклое банахово пространство является пространством Радона–Рисса , то есть если — последовательность в равномерно выпуклом банаховом пространстве, которая слабо сходится к и удовлетворяет условию , то сильно сходится к , то есть . { ф н } н = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} ф {\displaystyle f} ‖ ф н ‖ → ‖ ф ‖ , {\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|,} ф н {\displaystyle f_{n}} ф {\displaystyle f} ‖ ф н − ф ‖ → 0 {\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0}
  • Банахово пространство равномерно выпукло тогда и только тогда, когда его сопряженное пространство равномерно гладко . Х {\displaystyle X} Х ∗ {\displaystyle X^{*}}
  • Каждое равномерно выпуклое пространство является строго выпуклым . Интуитивно, строгая выпуклость означает более сильное неравенство треугольника , когда являются линейно независимыми, в то время как равномерная выпуклость требует, чтобы это неравенство было верно равномерно. ‖ х + у ‖ < ‖ х ‖ + ‖ у ‖ {\displaystyle \|x+y\|<\|x\|+\|y\|} х , у {\displaystyle x,y}

Примеры

Смотрите также

Ссылки

Цитаты

  1. ^ Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. стр. 524, пример 16.2.3. ISBN 978-1-58488-866-6.

Общие ссылки

  • Кларксон, JA (1936). «Равномерно выпуклые пространства». Trans. Amer. Math. Soc . 40 (3). Американское математическое общество: 396– 414. doi : 10.2307/1989630 . JSTOR  1989630..
  • Ханнер, О. (1956). «О равномерной выпуклости L p {\displaystyle L^{p}} и l p {\displaystyle l^{p}}». Ark. Mat . 3 : 239– 244. doi : 10.1007/BF02589410 ..
  • Бозами, Бернард (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (Второе исправленное издание). Северная Голландия. ISBN 0-444-86416-4.
  • Per Enflo (1972). «Банаховы пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Israel Journal of Mathematics . 13 ( 3– 4): 281– 288. doi :10.1007/BF02762802.
  • Линденштраус, Иорам и Беньямини, Иоав. Геометрический нелинейный функциональный анализ . Публикации коллоквиума, 48. Американское математическое общество.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Uniformly_convex_space&oldid=1223163934"