Унгула

В стереометрии , ungula — это область тела вращения , отсеченная плоскостью, наклонной к его основанию. ^[1] Распространенным примером является сферический клин . Термин ungula относится к копыту лошади , анатомической особенности, которая определяет класс млекопитающих , называемых копытными .

Объем унгулы цилиндра был вычислен Грегуаром де Сент-Винсентом . ^[2] Два цилиндра с равными радиусами и перпендикулярными осями пересекаются в четырех двойных унгулах. ^[3] Бицилиндр , образованный пересечением, был измерен Архимедом в «Методе механических теорем» , но рукопись была утеряна до 1906 года.

Историк исчисления так описал роль унгулы в интегральном исчислении :

Сам Грегуар в первую очередь стремился проиллюстрировать на примере ungula , что объемная интеграция может быть сведена посредством ductus in planum к рассмотрению геометрических отношений между ложами плоских фигур. Однако ungula оказалась ценным источником вдохновения для тех, кто последовал за ним и увидел в ней средство представления и преобразования интегралов многими изобретательными способами. ^{[4] : 146}

Цилиндрический коготь с радиусом основания r и высотой h имеет объем

${\displaystyle V={2 \over 3}r^{2}h}$,. ^[5]

Его общая площадь поверхности составляет

${\displaystyle A={1 \over 2}\pi r^{2}+{1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+2rh}$,

площадь поверхности его изогнутой боковой стенки составляет

${\displaystyle A_{s}=2rh}$,

а площадь поверхности его верха (наклонной крыши) составляет

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$.

Рассмотрим цилиндр, ограниченный снизу плоскостью , а сверху — плоскостью , где k — уклон наклонной крыши:${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=ky}$

${\displaystyle k={h \over r}}$.

Разрезаем объем на слои, параллельные оси Y , тогда дифференциальный слой, имеющий форму треугольной призмы, имеет объем

${\displaystyle A(x)\,dx}$

где

${\displaystyle A(x)={1 \over 2}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\cdot k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={1 \over 2}k(r^{2}-x^{2})}$

площадь прямоугольного треугольника, вершины которого, , , и , а основание и высота которого, таким образом , и , соответственно. Тогда объем всего цилиндрического ungula равен${\displaystyle (x,0,0)}$${\displaystyle (x,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},0)}$${\displaystyle (x,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}})}$${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$${\displaystyle k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}A(x)\,dx=\int _{-r}^{r}{1 \over 2}k(r^{2}-x^{2})\,dx}$

${\displaystyle \qquad ={1 \over 2}k{\Big (}[r^{2}x]_{-r}^{r}-{\Big [}{1 \over 3}x^{3}{\Big ]}_{-r}^{r}{\Big )}={1 \over 2}k(2r^{3}-{2 \over 3}r^{3})={2 \over 3}kr^{3}}$

что равно

${\displaystyle V={2 \over 3}r^{2}h}$

после замены .${\displaystyle rk=h}$

Дифференциальная площадь поверхности изогнутой боковой стенки составляет

${\displaystyle dA_{s}=kr(\sin \theta )\cdot r\,d\theta =kr^{2}(\sin \theta )\,d\theta }$,

площадь которой принадлежит почти плоскому прямоугольнику, ограниченному вершинами , , , и , и ширина и высота которого, таким образом , и (достаточно близки к) , соответственно. Тогда площадь поверхности стены равна${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)}$${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta ,kr\sin \theta )}$${\displaystyle (r\cos(\theta +d\theta ),r\sin(\theta +d\theta ),0)}$${\displaystyle (r\cos(\theta +d\theta ),r\sin(\theta +d\theta ),kr\sin(\theta +d\theta ))}$${\displaystyle r\,d\theta }$${\displaystyle kr\sin \theta }$

${\displaystyle A_{s}=\int _{0}^{\pi }dA_{s}=\int _{0}^{\pi }kr^{2}(\sin \theta )\,d\theta =kr^{2}\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$

где интеграл дает , так что площадь стены равна${\displaystyle -[\cos \theta ]_{0}^{\pi }=-[-1-1]=2}$

${\displaystyle A_{s}=2kr^{2}}$,

и заменяя урожайность${\displaystyle rk=h}$

${\displaystyle A_{s}=2rh}$.

Основание цилиндрического когтя имеет площадь поверхности половины круга радиусом r : , а наклонная вершина указанного когтя представляет собой полуэллипс с малой полуосью длиной r и большой полуосью длиной , так что его площадь равна${\displaystyle {1 \over 2}\pi r^{2}}$${\displaystyle r{\sqrt {1+k^{2}}}}$

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi r\cdot r{\sqrt {1+k^{2}}}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+(kr)^{2}}}}$

и заменяя урожайность${\displaystyle kr=h}$

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$. ∎

Обратите внимание, как площадь поверхности боковой стенки связана с объемом: если площадь поверхности равна , то умножение ее на дает объем дифференциальной полуоболочки , интеграл которой равен , объему.${\displaystyle 2kr^{2}}$${\displaystyle dr}$${\displaystyle {2 \over 3}kr^{3}}$

Если наклон k равен 1, то такой унгула представляет собой ровно одну восьмую часть бицилиндра , объем которого равен . Одна восьмая этого равна .${\displaystyle {16 \over 3}r^{3}}$${\displaystyle {2 \over 3}r^{3}}$

Конический выступ высотой h , радиусом основания r и уклоном верхней плоской поверхности k (если полукруглое основание находится внизу, на плоскости z = 0) имеет объем

${\displaystyle V={r^{3}kHI \over 6}}$

где

${\displaystyle H={1 \over {1 \over h}-{1 \over rk}}}$

это высота конуса, из которого был вырезан коготь, и

${\displaystyle I=\int _{0}^{\pi }{2H+kr\sin \theta \over (H+kr\sin \theta )^{2}}\sin \theta \,d\theta }$.

Площадь поверхности изогнутой боковой стенки составляет

${\displaystyle A_{s}={kr^{2}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2}I}$.

Для проверки согласованности рассмотрим, что происходит, когда высота конуса стремится к бесконечности, так что в пределе конус становится цилиндром:

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }{\Big (}I-{4 \over H}{\Big )}=\lim _{H\rightarrow \infty }{\Big (}{2H \over H^{2}}\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta -{4 \over H}{\Big )}=0}$

так что

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }V={r^{3}kH \over 6}\cdot {4 \over H}={2 \over 3}kr^{3}}$,

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }A_{s}={kr^{2}H \over 2}\cdot {4 \over H}=2kr^{2}}$, и

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }A_{t}={1 \over 2}\pi r^{2}{{\sqrt {1+k^{2}}} \over 1+0}={1 \over 2}\pi r^{2}{\sqrt {1+k^{2}}}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+(rk)^{2}}}}$,

результаты которого согласуются с цилиндрическим случаем.

Пусть конус описывается формулой

${\displaystyle 1-{\rho \over r}={z \over H}}$

где r и H — константы, а z и ρ — переменные, причем

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\qquad 0\leq \rho \leq r}$

и

${\displaystyle x=\rho \cos \theta ,\qquad y=\rho \sin \theta }$.

Пусть конус будет пересечён плоскостью

${\displaystyle z=ky=k\rho \sin \theta }$.

Подставляя z в уравнение конуса и решая относительно ρ, получаем

${\displaystyle \rho _{0}={1 \over {1 \over r}+{k\sin \theta \over H}}}$

которая для заданного значения θ является радиальной координатой точки, общей для плоскости и конуса, которая наиболее удалена от оси конуса под углом θ к оси x . Цилиндрическая координата высоты этой точки равна

${\displaystyle z_{0}=H{\Big (}1-{\rho _{0} \over r}{\Big )}}$.

Таким образом, вдоль направления угла θ поперечное сечение конического когтя выглядит как треугольник

${\displaystyle (0,0,0)-(\rho _{0}\cos \theta ,\rho _{0}\sin \theta ,z_{0})-(r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)}$.

Поворот этого треугольника на угол вокруг оси z дает другой треугольник с , , заменой , , и соответственно, где и являются функциями вместо . Поскольку бесконечно мало, то и также бесконечно мало изменяются от и , поэтому для целей рассмотрения объема дифференциальной трапециевидной пирамиды их можно считать равными.${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle \theta +d\theta }$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle \theta +d\theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle z_{0}}$

Дифференциальная трапециевидная пирамида имеет трапециевидное основание с длиной у основания (конуса) , длиной в верхней части и высотой , поэтому трапеция имеет площадь ${\displaystyle rd\theta }$${\displaystyle {\Big (}{H-z_{0} \over H}{\Big )}rd\theta }$${\displaystyle {z_{0} \over H}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$

${\displaystyle A_{T}={r\,d\theta +{\Big (}{H-z_{0} \over H}{\Big )}r\,d\theta \over 2}{z_{0} \over H}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}=r\,d\theta {(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$.

Высота от основания трапеции до точки имеет длину, дифференциально близкую к${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle {rH \over {\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}}$.

(Это высота одного из боковых треугольников трапециевидной пирамиды.) Объем пирамиды равен одной трети площади ее основания, умноженной на ее высотную длину, поэтому объем конического выступа равен интегралу этого:

${\displaystyle V=\int _{0}^{\pi }{1 \over 3}{rH \over {\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}r\,d\theta =\int _{0}^{\pi }{1 \over 3}r^{2}{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H}d\theta ={r^{2}k \over 6H}\int _{0}^{\pi }(2H-ky_{0})y_{0}\,d\theta }$

где

${\displaystyle y_{0}=\rho _{0}\sin \theta ={\sin \theta \over {1 \over r}+{k\sin \theta \over H}}={1 \over {1 \over r\sin \theta }+{k \over H}}}$

Подставляя правую часть в интеграл и выполняя некоторые алгебраические преобразования, получаем формулу для объема, которую нужно доказать.

Для боковины:

${\displaystyle A_{s}=\int _{0}^{\pi }A_{T}=\int _{0}^{\pi }{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}\,d\theta ={kr{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2H^{2}}\int _{0}^{\pi }(2H-z_{0})y_{0}\,d\theta }$

и интеграл в крайней правой части упрощается до . ∎${\displaystyle H^{2}rI}$

Для проверки согласованности рассмотрим, что происходит, когда k стремится к бесконечности; тогда конический выступ должен стать полуконусом.

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\Big (}I-{\pi \over kr}{\Big )}=0}$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }V={r^{3}kH \over 6}\cdot {\pi \over kr}={1 \over 2}{\Big (}{1 \over 3}\pi r^{2}H{\Big )}}$

что составляет половину объема конуса.

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }A_{s}={kr^{2}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2}\cdot {\pi \over kr}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$

что составляет половину площади поверхности изогнутой стенки конуса.

Когда , «верхняя часть» (т.е. плоская грань, которая не является полукруглой, как основание) имеет параболическую форму, а ее площадь поверхности равна${\displaystyle k=H/r}$

${\displaystyle A_{t}={2 \over 3}r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$.

Когда верхняя часть имеет эллиптическую форму (т.е. она меньше половины эллипса) и ее площадь поверхности равна${\displaystyle k<H/r}$

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi x_{max}(y_{1}-y_{m}){\sqrt {1+k^{2}}}\Lambda }$

где

${\displaystyle x_{max}={\sqrt {{k^{2}r^{4}H^{2}-k^{4}r^{6} \over (k^{2}r^{2}-H^{2})^{2}}+r^{2}}}}$,

${\displaystyle y_{1}={1 \over {1 \over r}+{k \over H}}}$,

${\displaystyle y_{m}={kr^{2}H \over k^{2}r^{2}-H^{2}}}$,

${\displaystyle \Lambda ={\pi \over 4}-{1 \over 2}\arcsin(1-\lambda )-{1 \over 4}\sin(2\arcsin(1-\lambda ))}$, и

${\displaystyle \lambda ={y_{1} \over y_{1}-y_{m}}}$.

Тогда верхняя часть является сечением гиперболы и ее площадь поверхности равна${\displaystyle k>H/r}$

${\displaystyle A_{t}={\sqrt {1+k^{2}}}(2Cr-aJ)}$

где

${\displaystyle C={y_{1}+y_{2} \over 2}=y_{m}}$,

${\displaystyle y_{1}}$как указано выше,

${\displaystyle y_{2}={1 \over {k \over H}-{1 \over r}}}$,

${\displaystyle a={r \over {\sqrt {C^{2}-\Delta ^{2}}}}}$,

${\displaystyle \Delta ={y_{2}-y_{1} \over 2}}$,

${\displaystyle J={r \over a}B+{\Delta ^{2} \over 2}\log {\Biggr |}{{r \over a}+B \over {-r \over a}+B}{\Biggr |}}$,

где логарифм натуральный, и

${\displaystyle B={\sqrt {\Delta ^{2}+{r^{2} \over a^{2}}}}}$.

• Сферический клин
• Штейнмец твердый

• Уильям Фогдес (1861) Элементарный трактат об измерении и практической геометрии через Google Книги