Одиннадцатиугольник
Форма с одиннадцатью сторонами

Правильный одиннадцатиугольник
Правильный одиннадцатиугольник
ТипПравильный многоугольник
Ребра и вершины11
Символ Шлефли{11}
Диаграммы Кокстера–Дынкина
Группа симметрииДвугранный (D 11 ), порядок 2×11
Внутренний угол ( градусы )≈147.273°
ХарактеристикиВыпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигонСебя

В геометрии одиннадцатиугольник (также ундекагон [1] [2] или эндекагон [3] ) или 11- угольник — это одиннадцатисторонний многоугольник . (Название одиннадцатиугольник , от греческого hendeka «одиннадцать» и –gon «угол», часто предпочитают гибридному ундекагону , первая часть которого образована от латинского undecim «одиннадцать». [4] )

Правильный одиннадцатиугольник

Правильный девятиугольник представлен символом Шлефли {11} .

Правильный одиннадцатиугольник имеет внутренние углы 147,27 градусов (=147 градусов). [5] Площадь правильного одиннадцатиугольника со стороной длиной a определяется по формуле [2] 3 11 {\displaystyle {\tfrac {3}{11}}}

А = 11 4 а 2 детская кроватка ⁡ π 11 ≃ 9.36564 а 2 . {\displaystyle A={\frac {11}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{11}}\simeq 9.36564\,a^{2}.}

Поскольку 11 не является простым числом Ферма , правильный одиннадцатиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки . [6] Поскольку 11 не является простым числом Пьерпонта , построение правильного одиннадцатиугольника по-прежнему невозможно даже с использованием трисекториса угла .

Можно построить близкие приближения к правильному одиннадцатиугольнику. Например, древнегреческие математики аппроксимировали длину стороны одиннадцатиугольника, вписанного в единичную окружность, как 14/25 единиц длины. [7]

Одиннадцатиугольник можно построить точно с помощью конструкции невзиса [8] , а также с помощью двойного оригами. [9]

Приблизительная конструкция

Следующее описание конструкции дано Т. Драммондом в 1800 году: [10]

Проведите радиус AB , разделите его пополам в точке C , при этом отверстие циркуля должно быть равно половине радиуса, а через точки A и C , как через центры, опишите дуги CDI и AD , а через расстояние ID через I опишите дугу DO и проведите линию CO , которая будет длиной одной стороны одиннадцатиугольника, достаточно точной для практики.

На единичной окружности:

  • Длина стороны построенного одиннадцатиугольника б = 0,563692 … {\displaystyle b=0.563692\ldots }
  • Теоретическая длина стороны одиннадцатиугольника а = 2 грех ⁡ ( π 11 ) = 0,563465 … {\displaystyle a=2\sin({\frac {\pi }{11}})=0,563465\ldots }
  • Абсолютная погрешность – если АВ равен 10 м, то эта погрешность составляет примерно 2,3 мм. δ = б − а = 2.27 … ⋅ 10 − 4 {\displaystyle \delta =ba=2.27\ldots \cdot 10^{-4}}

Симметрия

Симметрии правильного одиннадцатиугольника. Вершины окрашены в соответствии с их позициями симметрии. Синие зеркальные линии проведены через вершины и ребра. Порядки вращения указаны в центре.

Правильный одиннадцатиугольник имеет симметрию Dih 11 , порядок 22. Поскольку 11 — простое число, то существует одна подгруппа с диэдральной симметрией: Dih 1 , и 2 циклические группы симметрии: Z 11 и Z 1 .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях на одиннадцатиугольнике. Джон Конвей обозначает их буквой и порядком группы. [11] Полная симметрия правильной формы — r22 , и ни одна симметрия не обозначена a1 . Диэдральные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены как g для их центрального порядка инерции.

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для нерегулярных форм. Только подгруппа g11 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Использование в чеканке монет

Канадская долларовая монета, луни , похожа на правильную одиннадцатиугольную призму , но не совсем так , [12] как и индийская монета в 2 рупии [13] и несколько других менее используемых монет других стран. [14] Поперечное сечение луни на самом деле является одиннадцатиугольником Рёло . Доллар США Сьюзан Б. Энтони имеет одиннадцатиугольный контур вдоль внутренних его краев. [15]

Гендекагон имеет тот же набор из 11 вершин, что и четыре правильных гендекаграмма :


{11/2}
{11/3}
{11/4}
{11/5}

Смотрите также

  • 10-симплекс - можно рассматривать как полный граф в правильной одиннадцатиугольной ортогональной проекции.

Ссылки

  1. ^ Холдеман, Сайрус Б. (1922), «Построение правильного ундекагона с помощью секстической кривой», Обсуждения, American Mathematical Monthly , 29 (10), doi :10.2307/2299029, JSTOR  2299029.
  2. ^ ab Loomis, Elias (1859), Элементы плоской и сферической тригонометрии: с их приложениями к измерениям, геодезии и навигации, Harper, стр. 65.
  3. ↑ Брюэр, Эбенезер Кобэм (1877), Ошибки речи и правописания, Лондон: W. Tegg and co., стр. iv.
  4. ^ Hendecagon - из Wolfram MathWorld
  5. ^ Макклейн, Кей (1998), Математика Гленко: приложения и связи, Glencoe/McGraw-Hill, стр. 357, ISBN 9780028330549.
  6. ^ Как доказал Гаусс , многоугольник с простым числом сторон p может быть построен тогда и только тогда, когда p  − 1 является степенью двойки , что неверно для 11. См. Kline, Morris (1990), Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, т. 2, Oxford University Press, стр.  753–754 , ISBN 9780199840427.
  7. ↑ Хит, сэр Томас Литтл (1921), История греческой математики, т. II: От Аристарха до Диофанта, The Clarendon Press, стр. 329.
  8. ^ Бенджамин, Эллиот; Снайдер, К. Математические труды Кембриджского философского общества 156.3 (май 2014 г.): 409-424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
  9. ^ Lucero, JC (2018). «Построение правильного одиннадцатиугольника с помощью двукратного оригами». Crux Mathematicorum . 44 : 207–213 . Архивировано из оригинала 20 июня 2018 г. Получено 20 июня 2018 г.
  10. ^ T. Drummond, (1800) The Young Ladies and Gentlemen's AUXILIARY, в Taking Heights and Distances ..., Описание конструкции, стр. 15–16 Рис. 40: прокрутите страницу 69 ... на страницу 76 Часть I. Второе издание, получено 26 марта 2016 г.
  11. ^ Джон Х. Конвей, Хайди Бергиль, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278) 
  12. ^ Моссингхофф, Майкл Дж. (2006), «Проблема на 1 доллар» (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (5): 385–402 , doi :10.2307/27641947, JSTOR  27641947
  13. ^ Кухай, Джордж С.; Майкл, Томас (2012), Стандартный каталог монет мира с 2001 г. по настоящее время, 2013 г., Krause Publications, стр. 402, ISBN 9781440229657.
  14. ^ Кухай, Джордж С.; Майкл, Томас (2011), Необычные монеты мира (6-е изд.), Krause Publications, стр. 23, 222, 233, 526, ISBN 9781440217128.
  15. ↑ Палата представителей США, 1978, стр. 7.

Цитируемые работы

  • Палата представителей США (1978). Предложенная меньшая однодолларовая монета . Вашингтон, округ Колумбия: Правительственная типография.
  • Свойства одиннадцатиугольника (одиннадцатиугольника) с интерактивной анимацией
  • Вайсштейн, Эрик В. "Hendecagon". MathWorld .
  • Правильные одиннадцатиугольники
  • Правильный одиннадцатиугольник, приблизительное построение
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hendecagon&oldid=1261578372"