Удаядивакара

Удаядивакара (ок. 1073 г. н. э.) был индийским астрономом и математиком, который написал влиятельный и подробный комментарий, называемый Сундари , к Laghu-bhāskarīya Бхаскары I. Личные данные об Удаядивакаре неизвестны. Поскольку комментарий Сундари датируется 1073 г. н. э., вероятно, комментарий был завершен около этого года. Сундари еще не был опубликован и доступен только в рукописной форме. Некоторые из этих рукописей хранятся в хранилищах рукописей в Тируванантапураме. По словам К. В. Сармы , историка астрономии и математики школы Кералы, Удаядивакара, вероятно, был родом из Кералы , Индия . ^{[1] [2]}

Помимо того, что Сундари является подробным комментарием, он имеет некоторое историческое значение. Он широко цитирует ныне утерянную работу малоизвестного математика Джаядевы . Цитаты относятся к методу чакравала для решения неопределенных интегральных уравнений вида . Это показывает, что метод предшествует Бхаскаре II вопреки общепринятым убеждениям. Еще одной важной ссылкой на работу Джаядевы является решение неопределенного уравнения вида , будучи положительным или отрицательным. ^[2]${\displaystyle Nx^{2}+1=y^{2}}$${\displaystyle Nx^{2}+C=y^{2}}$${\displaystyle С}$

Удаядивакара использовал свой метод решения уравнения , чтобы получить некоторые частные решения определенной алгебраической задачи. Задача и решение задачи Удаядивакарой представлены ниже только для иллюстрации методов, используемых индийскими астрономами для решения алгебраических уравнений. ^[2]${\displaystyle Nx^{2}+C=y^{2}}$

Найдите положительные целые числа и , удовлетворяющие следующим условиям:${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&={\text{идеальный квадрат}},\\xy&={\text{идеальный квадрат}},\\xy+1&={\text{идеальный квадрат}}.\end{aligned}}}$

Чтобы решить эту проблему, Удаядивакара делает ряд, по-видимому, произвольных предположений, все из которых направлены на сведение проблемы к решению неопределенного уравнения вида .${\displaystyle Nx^{2}+C=y^{2}}$

Удаядивакара начинает с предположения, что можно записать в форме . Затем он предполагает , что вместе с предыдущим уравнением получается ${\displaystyle xy+1=(2y+1)^{2}}$${\displaystyle xy=3y+4}$${\displaystyle 3y+4=(3z+2)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{align}x&=12z^{2}+16z+4,\\y&=3z^{2}+4z,\\x+y&=15z^{2}+20z+4.\end{align}}}$

Теперь Удаядивакара ставит

${\displaystyle 15z^{2}+20z+4=u^{2}}$

которое затем преобразуется в уравнение

${\displaystyle (30z+20)^{2}=60u^{2}+160.}$

Это уравнение имеет вид с , и . Используя метод решения уравнения , Удаядивакара находит следующие решения , и из которых значения и получаются обратной подстановкой.${\displaystyle Nx^{2}+C=\lambda ^{2}}$${\displaystyle N=60}$${\displaystyle С=160}$${\displaystyle \lambda =30z+20}$${\displaystyle Nx^{2}+C=y^{2}}$${\displaystyle (u=2,\lambda =20)}$${\displaystyle (u=18,\lambda =140)}$${\displaystyle (u=8802,\lambda =68180)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

• Список астрономов и математиков керальской школы