куб Тихонова

В математике , а точнее в общей топологии , куб Тихонова является обобщением единичного куба с произведения конечного числа единичных интервалов на произведение бесконечного, даже несчетного числа единичных интервалов. Куб Тихонова назван в честь Андрея Тихонова , который первым рассмотрел произвольное произведение топологических пространств и доказал в 1930-х годах, что куб Тихонова компактен . Позднее Тихонов обобщил это на произведение наборов произвольных компактных пространств. Этот результат теперь известен как теорема Тихонова и считается одним из важнейших результатов в общей топологии. ^[1]

Пусть обозначает единичный интервал . При наличии кардинального числа мы определяем тихоновский куб веса как пространство с топологией произведения , то есть произведение , где — мощность и для всех , . ${\displaystyle Я}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \ каппа \geq \алеф _ {0}}$ ${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle I^{\каппа}}$${\displaystyle \prod _{s\in S}I_{s}}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle I_{s}=I}$

Куб Гильберта , является частным случаем куба Тихонова.${\displaystyle I^{\алеф _{0}}}$

Аксиома выбора предполагается повсюду.

• Куб Тихонова компактен.
• При наличии кардинального числа пространство вкладывается в .${\displaystyle \lambda \leq \ каппа}$${\displaystyle I^{\лямбда}}$${\displaystyle I^{\каппа}}$
• Куб Тихонова — универсальное пространство для любого компактного пространства веса .${\displaystyle I^{\каппа}}$ ${\displaystyle \ каппа \geq \алеф _ {0}}$
• Куб Тихонова является универсальным пространством для любого пространства Тихонова веса .${\displaystyle I^{\каппа}}$ ${\displaystyle \ каппа \geq \алеф _ {0}}$
• Характер — это .${\displaystyle x\in I^{\каппа}}$${\displaystyle \каппа}$

• Тихоновская планка – топологическое произведение двух ординальных пространств и , где – первый бесконечный ординал и первый несчетный ординал${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$${\displaystyle [0,\омега]}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle \омега _{1}}$
• Длинная линия (топология) – обобщение действительной линии от счётного числа отрезков [0, 1), положенных впритык, до несчетного числа таких отрезков.
• Теорема Махарама — утверждение о том, что полные пространства мер можно разложить на единичные интервалы и дискретные части.

• Рышард Энгелькинг , Общая топология , Хелдерманн Верлаг, Серия сигм в чистой математике, декабрь 1989 г., ISBN  3885380064 .