глубина Тьюки
Концепция вычислительной геометрии

В статистике и вычислительной геометрии глубина Тьюки [1] является мерой глубины точки в фиксированном наборе точек. Концепция названа в честь ее изобретателя Джона Тьюки . При наличии набора из n точек в d -мерном пространстве глубина Тьюки точки x является наименьшей долей (или числом) точек в любом замкнутом полупространстве , содержащем  x . Х н = { Х 1 , … , Х н } {\displaystyle {\mathcal {X}}_{n}=\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}

Глубина Тьюки измеряет, насколько экстремальна точка по отношению к облаку точек. Она используется для определения bagplot , двумерного обобщения boxplot .

Например, для любой крайней точки выпуклой оболочки всегда существует (замкнутое) полупространство, содержащее только эту точку, и, следовательно, его глубина Тьюки как дробь равна 1/n.

Определения

Глубина Тьюки точки x относительно облака точек. Синяя область иллюстрирует полупространство, содержащее x на границе. Полупространство также является самым экстремальным, так что оно содержит x, но как можно меньше наблюдений в облаке точек. Таким образом, доля точек, содержащихся в этом полупространстве, становится значением глубины Тьюки для x.

Образец глубины Тьюки точки x или глубины Тьюки x относительно облака точек определяется как Х н {\displaystyle {\mathcal {X}}_{n}}

Д ( х ; Х н ) = инф в ∈ Р г , ‖ в ‖ = 1 1 н ∑ я = 1 н 1 { в Т ( Х я − х ) ≥ 0 } , {\displaystyle D(x;{\mathcal {X}}_{n})=\inf _{v\in \mathbb {R} ^{d},\|v\|=1}{\frac {1 }{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \{v^{T}(X_{i}-x)\geq 0\},}

где — индикаторная функция , которая равна 1, если ее аргумент истинен, и 0 в противном случае. 1 { ⋅ } {\displaystyle \mathbf {1} \{\cdot \}}

Глубина популяции Тьюки x относительно распределения равна П Х {\displaystyle P_{X}}

Д ( х ; П Х ) = инф в ∈ Р г , ‖ в ‖ = 1 П ( в Т ( Х − х ) ≥ 0 ) , {\displaystyle D(x;P_{X})=\inf _{v\in \mathbb {R} ^{d},\|v\|=1}P(v^{T}(Xx)\geq 0),}

где X — случайная величина, следующая распределению . П Х {\displaystyle P_{X}}


Среднее значение Тьюки и отношение к центральной точке

Центральная точка c множества точек размера n — это не что иное, как точка глубины Тьюки не менее n /( d  + 1).

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Тьюки, Джон В. (1975). Математика и изображение данных . Труды Международного конгресса математиков. стр. 523-531.


Значок заглушки

Эта статья, связанная с математикой, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tukey_depth&oldid=1223573179"