Усеченная шестиугольная мозаика порядка 8

Усеченная шестиугольная мозаика порядка 8
Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости
Тип	Гиперболическая однородная мозаика
Конфигурация вершины	8.12.12
Символ Шлефли	т{6,8}
Символ Витхоффа	2 8 | 6
Диаграмма Коксетера
Группа симметрии	[8,6], (*862)
Двойной	Заказ-6 октагональная мозаика октакис
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В геометрии усеченная шестиугольная мозаика порядка 8 является полуправильной мозаикой гиперболической плоскости. Она имеет символ Шлефли t{6,8}.

Эту мозаику также можно построить с помощью симметрии *664, как t{(6,6,4)}.

Согласно построению Витхоффа, существует четырнадцать гиперболических однородных мозаик , которые могут быть основаны на обычной восьмиугольной мозаике порядка 6.

Рисуя плитки, окрашенные в красный цвет на исходных гранях, в желтый цвет на исходных вершинах и в синий цвет вдоль исходных ребер, получаем 7 форм с полной [8,6] симметрией и 7 с субсимметрией.

Однородные восьмиугольные/шестиугольные мозаики в т е
Симметрия : [8,6], (*862)
{8,6}	т{8,6}	г{8,6}	2т{8,6}=т{6,8}	2r{8,6}={6,8}	рр{8,6}	тр{8,6}
Равномерные дуалы
В8 6	В6.16.16	В(6,8) 2	В8.12.12	В6 8	В4.6.4.8	В4.12.16
Чередования
[1 + ,8,6] (*466)	[8 + ,6] (8*3)	[8,1 + ,6] (*4232)	[8,6 + ] (6*4)	[8,6,1 + ] (*883)	[(8,6,2 + )] (2*43)	[8,6] + (862)
ч{8,6}	с{8,6}	ч{8,6}	с{6,8}	ч{6,8}	хрр{8,6}	ср{8,6}
Двойные чередования
В(4,6) 6	В3.3.8.3.8.3	В(3.4.4.4) 2	В3.4.3.4.3.6	В(3,8) 8	В3.4 5	В3.3.6.3.8

Двойственное к мозаике изображение представляет фундаментальные домены симметрии орбифолда (*664) . Из симметрии [(6,6,4)] (*664) существует 15 малых подгрупп индекса (11 уникальных) с помощью операторов удаления зеркал и чередования. Зеркала можно удалить, если все их порядки ветвей четные, и они разрезают соседние порядки ветвей пополам. Удаление двух зеркал оставляет точку инерции половинного порядка, где встретились удаленные зеркала. На этих изображениях фундаментальные домены попеременно окрашены в черный и белый цвета, а зеркала существуют на границах между цветами. Симметрию можно удвоить до симметрии 862 , добавив биссекторное зеркало через фундаментальные домены. Группа индекса подгруппы -8, [(1 ⁺ ,6,1 ⁺ ,6,1 ⁺ ,4)] (332332) является коммутаторной подгруппой [(6,6,4)].

Строится большая подгруппа [(6,6,4 ^* )], индекс 8, как (4*33) с удаленными точками инерции, становится (*3 ⁸ ), а строится другая большая подгруппа [(6,6 ^* ,4)], индекс 12, как (6*32) с удаленными точками инерции, становится (*(32) ⁶ ).

Малые индексные подгруппы [(6,6,4)] (*664)

Фундаментальные домены
Индекс подгруппы	1	2			4
Коксетер	[(6,6,4)]	[(1 + ,6,6,4)]	[(6,6,1 + ,4)]	[(6,1 + ,6,4)]	[(1 + ,6,6,1 + ,4)]	[(6 + ,6 + ,4)]
Орбифолд	*664	*6362		*4343	2*3333	332×
Коксетер		[(6,6 + ,4)]	[(6 + ,6,4)]	[(6,6,4 + )]	[(6,1 + ,6,1 + ,4)]	[(1 + ,6,1 + ,6,4)]
Орбифолд		6*32		4*33	3*3232
Прямые подгруппы
Индекс подгруппы	2	4			8
Коксетер	[(6,6,4)] +	[(1 + ,6,6 + ,4)]	[(6 + ,6,1 + ,4)]	[(6,1 + ,6,4 + )]	[(6 + ,6 + ,4 + )] = [(1 + ,6,1 + ,6,1 + ,4)] =
Орбифолд	664	6362		4343	332332

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Единая мозаика 8-12-12» .

• Мозаики правильных многоугольников
• Список однородных плоских мозаик

• Джон Х. Конвей , Хайди Бергиел, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
• "Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве". Красота геометрии: Двенадцать эссе . Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN  99035678.

• Вайсштейн, Эрик В. "Гиперболическая мозаика". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Гиперболический диск Пуанкаре". MathWorld .
• Галерея гиперболических и сферических мозаик
• KaleidoTile 3: Образовательное программное обеспечение для создания сферических, плоских и гиперболических мозаик
• Гиперболические плоские мозаики, Дон Хэтч