Бикасательные квартики

В теории алгебраических плоских кривых общая кривая четвертой степени имеет 28 бикасательных прямых, которые касаются кривой в двух местах. Эти прямые существуют в комплексной проективной плоскости , но можно определить кривые четвертой степени, для которых все 28 этих прямых имеют действительные числа в качестве своих координат и, следовательно, принадлежат евклидовой плоскости .

Явная квартика с двадцатью восемью действительными касательными к двум точкам была впервые дана Плюккером  (1839) ^[1] Как показал Плюккер, число действительных касательных к двум точкам любой квартики должно быть равно 28, 16 или числу меньше 9. Другая квартика с 28 действительными касательными к двум точкам может быть образована геометрическим местом центров эллипсов с фиксированными длинами осей, касательными к двум непараллельным прямым. ^[2] Сиода (1995) дал другую конструкцию квартики с двадцатью восемью касательными к двум точкам, образованной путем проецирования кубической поверхности ; двадцать семь касательных к кривой Сиоды являются действительными, а двадцать восьмая является прямой на бесконечности в проективной плоскости.

Кривая Тротта , еще одна кривая с 28 действительными бикасательными, представляет собой множество точек ( x , y ), удовлетворяющих полиномиальному уравнению четвертой степени

${\displaystyle \displaystyle 144(x^{4}+y^{4})-225(x^{2}+y^{2})+350x^{2}y^{2}+81=0. }$

Эти точки образуют неособую кривую четвертого порядка, которая имеет род три и двадцать восемь действительных касательных к двум точкам . ^[3]

Как и в примерах Плюккера и Блюма и Гинанда, кривая Тротта имеет четыре разделенных овала, максимальное число для кривой степени четыре, и, следовательно, является М-кривой . Четыре овала можно сгруппировать в шесть различных пар овалов; для каждой пары овалов есть четыре касательных, касающихся обоих овалов в паре, две, которые разделяют два овала, и две, которые этого не делают. Кроме того, каждый овал ограничивает невыпуклую область плоскости и имеет одну касательную, охватывающую невыпуклую часть его границы.

Двойственная кривая к кривой четвертого порядка имеет 28 действительных обыкновенных двойных точек, двойственных 28 бикасательным прямой кривой.

28 бикасательных квартики также можно поставить в соответствие с символами вида

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\\end{bmatrix}}}$

где a, b, c, d, e, f — все это ноль или единица и где

${\displaystyle ad+be+cf=1\ (\operatorname {mod} \ 2).}$^[4]

Существует 64 варианта выбора для a, b, c, d, e, f , но только 28 из этих вариантов дают нечетную сумму. Можно также интерпретировать a, b, c как однородные координаты точки плоскости Фано , а d, e, f как координаты прямой в той же конечной проективной плоскости; условие нечетности суммы эквивалентно требованию, чтобы точка и прямая не касались друг друга, и существует 28 различных пар точки и прямой, которые не касаются друг друга.

Точки и линии плоскости Фано, которые не пересекаются с неинцидентной парой точка-линия, образуют треугольник, а бикасательные квартики рассматриваются как соответствующие 28 треугольникам плоскости Фано. ^[5] Граф Леви плоскости Фано — это граф Хивуда , в котором треугольники плоскости Фано представлены 6-циклами. 28 6-циклов графа Хивуда, в свою очередь, соответствуют 28 вершинам графа Коксетера . [ ^6]

28 бикасательных квартики также соответствуют парам из 56 прямых на поверхности дель Пеццо степени 2 [ 5 ^] и 28 нечетным тета-характеристикам .

27 прямых на кубической кривой и 28 бикасательных на квартике вместе со 120 трикасательными плоскостями канонической секстической кривой рода 4 образуют « троицу » в смысле Владимира Арнольда , в частности, форму соответствия Маккея ^{[7] [8] [9],} и могут быть связаны со многими другими объектами, включая E7 _и E8 _, как обсуждалось в троицах .

• Блюм, Р.; Гуинанд, А.П. (1964). «Квартика с 28 действительными касательными к двум». Канадский математический вестник . 7 (3): 399–404. doi :10.4153/cmb-1964-038-6.
• Кейли, Артур (1879), «О касательных к двум четвертого порядка», Salmon's Higher Plane Curves , стр. 387–389, В сборнике математических работ Артура Кейли , под ред. Эндрю Рассела Форсайта, The University Press, 1896, т. 11, стр. 221–223.
• Грей, Джереми (1982), «Из истории простой группы», The Mathematical Intelligencer , 4 (2): 59–67, CiteSeerX  10.1.1.163.2944 , doi :10.1007/BF03023483, MR  0672918, S2CID  14602496. Перепечатано в Levy, Silvio, ed. (1999), The Eightfold Way , MSRI Publications, т. 35, Cambridge University Press, стр. 115–131, ISBN 0-521-66066-1, г-н  1722415.
• Манивел, Л. (2006), «Конфигурации линий и модели алгебр Ли», Журнал алгебры , 304 (1): 457–486, arXiv : math/0507118 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 , S2CID  17374533.
• Маккей, Джон; Себбар, Абделла (2007). «Повторяемые функции: Введение». Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II . стр. 373–386. doi :10.1007/978-3-540-30308-4_10. ISBN 978-3-540-30307-7.
• Плюкер, Дж. (1839), Теория алгебраической кривой: gegrundet auf eine neue Behandlungsweise der analytischen Geometrie , Берлин: Адольф Маркус.
• Риман, GFB (1876), "Zur Theorie der Abel'schen Funktionen für den Fall p  = 3", Ges. Верке , Лейпциг, стр. 456–472.{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ). Как цитирует Кейли.
• Сиода, Тецудзи (1995), «Преобразования Вейерштрасса и кубические поверхности» (PDF) , Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli , 44 (1): 109–128, MR  1336422
• Тротт, Майкл (1997), «Применение базиса Грёбнера к трём задачам геометрии», Mathematica в образовании и исследованиях , 6 (1): 15–28.