Правило тройного произведения

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  ( обобщения ) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл обратных функций Интеграция по Части Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , тангенс половинного угла , Эйлера ) Формула Эйлера Простейшие дроби ( метод Хевисайда ) Изменение порядка Формулы редукции Дифференцируем под знаком интеграла алгоритм Риша
Ряд Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Переменный Власть Биномиальный Тейлор Тесты на сходимость Предел слагаемого (тест термина) Соотношение Корень Интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Переменный ряд Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Дивергенция Завиток Лапласиан Направленная производная Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Дивергенция обобщенный Стокса Разложение Гельмгольца
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Экстерьер Геометрический Определения Частичная производная Множественный интеграл Интеграл линии Поверхностный интеграл Интеграл объема якобианский Гессен
Передовой Исчисление в евклидовом пространстве Обобщенные функции Лимит распределений
Специализированный Дробный Маллиавен Стохастический Вариации
Разное Предварительное исчисление История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Математический анализ Нестандартный анализ
в т е

Правило тройного произведения , известное по-разному как правило циклической цепи , циклическое отношение , циклическое правило или правило цепи Эйлера , представляет собой формулу, которая связывает частные производные трех взаимозависимых переменных. Правило находит применение в термодинамике , где часто три переменные могут быть связаны функцией вида f ( x , y , z ) = 0, так что каждая переменная задается как неявная функция двух других переменных. Например, уравнение состояния для жидкости связывает температуру , давление и объем таким образом. Правило тройного произведения для таких взаимосвязанных переменных x , y и z происходит от использования соотношения взаимности в результате теоремы о неявной функции и задается как

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1,}$

где каждый фактор является частной производной переменной в числителе, считающейся функцией двух других.

Преимущество правила тройного произведения заключается в том, что путем перестановки членов можно вывести ряд тождеств подстановки, которые позволяют заменить частные производные, которые трудно аналитически оценить, экспериментально измерить или интегрировать, на частные производные, с которыми легче работать. Например,

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)=-{\frac {\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}}}$

В литературе представлены различные другие формы этого правила; их можно вывести путем перестановки переменных { x , y , z }.

Далее следует неформальный вывод. Предположим, что f ( x , y , z ) = 0. Запишем z как функцию x и y . Таким образом, полный дифференциал dz равен

${\displaystyle dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)dy}$

Предположим, что мы движемся вдоль кривой с dz = 0, где кривая параметризована x . Таким образом, y можно записать через x , так что на этой кривой

${\displaystyle dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx}$

Следовательно, уравнение для dz = 0 становится

${\displaystyle 0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)\,dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\,dx}$

Поскольку это должно быть верно для всех dx , перестановка членов дает

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}$

Деление на производные в правой части дает правило тройного произведения

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1}$

Обратите внимание, что это доказательство делает много неявных предположений относительно существования частных производных, существования точного дифференциала dz , возможности построения кривой в некоторой окрестности с dz  = 0 и ненулевого значения частных производных и их обратных величин. Формальное доказательство, основанное на математическом анализе, устранило бы эти потенциальные двусмысленности.

Предположим, что функция f ( x , y , z ) = 0 , где x , y и z являются функциями друг друга. Запишите полные дифференциалы переменных Подставьте dy в dx Используя цепное правило, можно показать, что коэффициент при dx в правой части равен единице, поэтому коэффициент при dz должен быть равен нулю Вычитание второго члена и умножение на его обратный член дает правило тройного произведения$${\displaystyle dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)dy+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz}$$$${\displaystyle dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz}$$$${\displaystyle dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left[\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz\right]+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz}$$$${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)=0}$$$${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1.}$$

Закон идеального газа связывает переменные состояния давления (P), объема (V) и температуры (T) посредством

${\displaystyle PV=nRT}$

что можно записать как

${\displaystyle f(P,V,T)=PV-nRT=0}$

поэтому каждая переменная состояния может быть записана как неявная функция других переменных состояния:

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=P(V,T)={\frac {nRT}{V}}\\[1em]V&=V(P,T)={\frac {nRT}{P}}\\[1em]T&=T(P,V)={\frac {PV}{nR}}\end{aligned}}}$

Из приведенных выше выражений имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}-1&=\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{V^{2}}}\right)\left({\frac {nR}{P}}\right)\left({\frac {V}{nR}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{PV}}\right)\\[1em]&=-{\frac {P}{P}}=-1\end{aligned}}}$

Геометрическую реализацию правила тройного произведения можно найти в его тесной связи со скоростью бегущей волны.

${\displaystyle \phi (x,t)=A\cos(kx-\omega t)}$

показано справа в момент времени t (сплошная синяя линия) и в короткий промежуток времени t +Δ t (пунктирная линия). Волна сохраняет свою форму по мере распространения, так что точка в позиции x в момент времени t будет соответствовать точке в позиции x +Δ x в момент времени t +Δ t ,

${\displaystyle A\cos(kx-\omega t)=A\cos(k(x+\Delta x)-\omega (t+\Delta t)).}$

Это уравнение может быть удовлетворено для всех x и t только если k  Δ x − ω  Δ t = 0 , что приводит к формуле для фазовой скорости

${\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\omega }{k}}.}$

Чтобы прояснить связь с правилом тройного произведения, рассмотрим точку p ₁ в момент времени t и соответствующую ей точку (с той же высотой) p̄ ₁ в момент времени t +Δ t . Определим p ₂ как точку в момент времени t, x-координата которой совпадает с x-координатой p̄ ₁ , и определим p̄ ₂ как соответствующую точку p _{2 ,} как показано на рисунке справа. Расстояние Δ x между p ₁ и p̄ ₁ такое же, как расстояние между p ₂ и p̄ ₂ (зеленые линии), и деление этого расстояния на Δ t дает скорость волны.

Чтобы вычислить Δ x , рассмотрим две частные производные, вычисленные в точке p ₂ ,

${\displaystyle \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t={\text{rise from }}p_{2}{\text{ to }}{\bar {p}}_{1}{\text{ in time }}\Delta t{\text{ (gold line)}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)={\text{slope of the wave (red line) at time }}t.}$

Разделив эти две частные производные и используя определение наклона (подъем, деленный на пробег), мы получаем искомую формулу для

${\displaystyle \Delta x=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}},}$

где отрицательный знак учитывает тот факт, что p ₁ находится позади p ₂ относительно движения волны. Таким образом, скорость волны определяется как

${\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.}$

Для бесконечно малых Δ t мы восстанавливаем правило тройного произведения${\displaystyle {\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)}$

${\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.}$

• Правила дифференцирования  – Правила вычисления производных функций
• Точный дифференциал  – Тип бесконечно малых в исчислении (имеет другой вывод правила тройного произведения)
• Правило произведения  – Формула производной произведения
• Полная производная  – Тип производной в математике
• Тройное произведение  – тернарная операция над векторами и скалярами.

• Эллиотт, Дж. Р.; Лира, КТ (1999). Введение в химическую инженерную термодинамику (1-е изд.). Prentice Hall. стр. 184. ISBN 0-13-011386-7.
• Картер, Эшли Х. (2001). Классическая и статистическая термодинамика . Prentice Hall. стр. 392. ISBN 0-13-779208-5.