Закон трихотомии

В математике закон трихотомии гласит, что каждое действительное число либо положительно, либо отрицательно, либо равно нулю. ^[1]

В более общем смысле бинарное отношение R на множестве X является трихотомическим , если для всех x и y в X выполняется ровно одно из xRy , yRx и x  =  y . Записывая R как <, в формальной логике это выражается как:

${\displaystyle \forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y])\,.}$

• Отношение является трихотомическим тогда и только тогда, когда оно асимметрично и связно .
• Если трихотомическое отношение также транзитивно, то это строгий полный порядок ; это частный случай строгого слабого порядка . ^{[2] [3]}

• На множестве X = { a , b , c } отношение R = {( a , b ), ( a , c ), ( b , c )} является транзитивным и трихотомическим, а следовательно, строгим полным порядком .
• На том же множестве циклическое отношение R = {( a , b ), ( b , c ), ( c , a )} является трихотомическим, но не транзитивным; оно даже антитранзитивно .

Закон трихотомии на некотором множестве X чисел обычно выражает, что некоторое неявно заданное отношение порядка на X является трихотомическим. Примером может служить закон «Для произвольных действительных чисел x и y применяется ровно одно из x < y , y < x , или x  =  y »; некоторые авторы даже фиксируют y равным нулю, ^[1] полагаясь на аддитивную линейно упорядоченную групповую структуру действительного числа. Последняя представляет собой группу, снабженную трихотомическим порядком.

В классической логике эта аксиома трихотомии справедлива для обычного сравнения действительных чисел, а следовательно, и для сравнения целых чисел и рациональных чисел . ^{[ необходимо разъяснение ]} В общем случае этот закон не выполняется в интуиционистской логике . ^{[ необходима ссылка ]}

В теории множеств Цермело–Френкеля и теории множеств Бернайса закон трихотомии выполняется между кардинальными числами вполне упорядочиваемых множеств даже без аксиомы выбора . Если аксиома выбора выполняется, то трихотомия выполняется между произвольными кардинальными числами (потому что в этом случае они все вполне упорядочиваемы ). ^[4]

• Begriffsschrift содержит раннюю формулировку закона трихотомии.
• Дихотомия
• Закон непротиворечия
• Закон исключенного третьего
• Трехстороннее сравнение