Дрожащая рука, идеальное равновесие

В теории игр идеальное равновесие дрожащей руки — это тип уточнения равновесия Нэша , впервые предложенного Райнхардом Сельтеном . ^[1] Идеальное равновесие дрожащей руки — это равновесие, которое учитывает возможность неравновесной игры, предполагая, что игроки из-за «оплошности руки» или дрожи могут выбирать непреднамеренные стратегии , хотя и с пренебрежимо малой вероятностью .

Сначала определим возмущенную игру . Возмущенная игра — это копия базовой игры с ограничением, что разрешено играть только в полностью смешанные стратегии. Полностью смешанная стратегия — это смешанная стратегия в стратегической игре с игроком, где каждая чистая стратегия разыгрывается с положительной вероятностью. Это «дрожащие руки» игроков; иногда они играют в другую стратегию, отличную от той, которую они намеревались играть. Затем определим профиль смешанной стратегии как идеальный для дрожащей руки, если существует последовательность профилей стратегий возмущенных игр , которая сходится к такой, что для каждого игрока стратегия является наилучшим ответом на .${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma =(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})}$${\displaystyle \{\sigma ^{k}\}_{k=1,2,\ldots }}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle \sigma _{-i}^{k}}$

Примечание: Все полностью смешанные равновесия Нэша являются идеальными.

Примечание 2: Расширение смешанной стратегии любой конечной нормальной игры имеет по крайней мере одно идеальное равновесие. ^[2]

Игра, представленная в следующей нормальной форме матрицы, имеет два равновесия Нэша в чистой стратегии , а именно и . Однако только дрожащая рука является идеальной.${\displaystyle \langle {\text{Up}},{\text{Left}}\rangle }$${\displaystyle \langle {\text{Down}},{\text{Right}}\rangle }$${\displaystyle \langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle }$

Предположим, что игрок 1 (игрок ряда) применяет смешанную стратегию , для . ${\displaystyle (1-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при игре L составляет:

${\displaystyle 1(1-\varepsilon )+2\varepsilon =1+\varepsilon }$

Ожидаемый выигрыш Игрока 2 от стратегии R составляет:

${\displaystyle 0(1-\varepsilon )+2\varepsilon =2\varepsilon }$

Для малых значений игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, размещая минимальный вес на R и максимальный вес на L. По симметрии игрок 1 должен разместить минимальный вес на D и максимальный вес на U, если игрок 2 играет смешанную стратегию . Следовательно , дрожащая рука идеальна.${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle (1-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle \langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle }$

Однако аналогичный анализ не применим к профилю стратегии .${\displaystyle \langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle }$

Предположим, что игрок 2 играет в смешанную стратегию . Ожидаемый выигрыш игрока 1 от игры U составляет:${\displaystyle (\varepsilon ,1-\varepsilon )}$

${\displaystyle 1\varepsilon +2(1-\varepsilon )=2-\varepsilon }$

Ожидаемый выигрыш Игрока 1 от хода D составляет:

${\displaystyle 0(\varepsilon )+2(1-\varepsilon )=2-2\varepsilon }$

Для всех положительных значений игрок 1 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, придавая минимальный вес D и максимальный вес U. Следовательно, это не идеальный вариант дрожащей руки, поскольку игрок 2 (и, по симметрии, игрок 1) максимизирует свой ожидаемый выигрыш, отклоняясь чаще всего к L, если существует небольшая вероятность ошибки в поведении игрока 1.${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle }$

Для игр 2x2 множество идеальных равновесий дрожащей руки совпадает с множеством равновесий, состоящих из двух недоминируемых стратегий. В примере выше мы видим, что равновесие <Вниз,Вправо> несовершенно, так как Лево (слабо) доминирует над Право для Игрока 2, а Вверх (слабо) доминирует над Вниз для Игрока 1. ^[3]

Существует два возможных способа распространить определение совершенства дрожащей руки на игры с развернутой формой .

• Можно интерпретировать расширенную форму как просто краткое описание игры в нормальной форме и применить концепции, описанные выше, к этой игре в нормальной форме. В полученных возмущенных играх каждая стратегия игры в расширенной форме должна быть сыграна с ненулевой вероятностью. Это приводит к понятию совершенного равновесия дрожащей руки в нормальной форме .
• В качестве альтернативы можно вспомнить, что дрожание следует интерпретировать как моделирование ошибок, допущенных игроками с некоторой пренебрежимо малой вероятностью во время игры. Такая ошибка, скорее всего, будет заключаться в том, что игрок сделает другой ход , чем предполагалось, в какой-то момент игры. Она вряд ли будет заключаться в выборе игроком другой стратегии , чем предполагалось, т. е. неправильного плана для игры в целом. Чтобы зафиксировать это, можно определить возмущенную игру, потребовав, чтобы каждый ход в каждом информационном наборе выполнялся с ненулевой вероятностью. Пределы равновесий таких возмущенных игр, когда вероятности дрожания стремятся к нулю, называются совершенными равновесиями дрожащей руки в экстенсивной форме .

Понятия нормальных и экстенсивных трясущихся рук совершенных равновесий несопоставимы, то есть равновесие экстенсивной игры может быть нормальным трясущимся рукой совершенным, но не экстенсивным трясущимся рукой совершенным и наоборот. В качестве крайнего примера этого Жан-Франсуа Мертенс привел пример игры в экстенсивной форме для двух игроков, где ни одно экстенсивное трясущееся равновесие недопустимо, то есть множества экстенсивных и нормальных трясущихся рук совершенных равновесий для этой игры не пересекаются. ^{[ требуется цитата ]}

Совершенное равновесие дрожащей руки в экстенсивной форме также является последовательным равновесием . Совершенное равновесие дрожащей руки в нормальной форме игры в экстенсивной форме может быть последовательным, но не обязательно. Фактически, совершенное равновесие дрожащей руки в нормальной форме даже не обязательно должно быть подигровым совершенным .

Майерсон (1978) ^[4] указал, что совершенство чувствительно к добавлению строго доминируемой стратегии, и вместо этого предложил другое уточнение, известное как правильное равновесие .

• Осборн, Мартин Дж.; Рубинштейн, Ариэль (1994). Курс теории игр. MIT Press. С.  246–254 . ISBN 9780262650403.