Торическая подалгебра

Алгебра Ли, все элементы которой полупросты

В математике торическая подалгебра — это подалгебра Ли общей линейной алгебры Ли, все элементы которой полупросты (или диагонализируемы над алгебраически замкнутым полем). ^[1] Эквивалентно, алгебра Ли является торической, если она не содержит ненулевых нильпотентных элементов. Над алгебраически замкнутым полем каждая торическая алгебра Ли является абелевой ; ^[1]^[2] таким образом, ее элементы одновременно диагонализируемы .

В полупростых и редуктивных алгебрах Ли

Подалгебра полупростой алгебры Ли называется торической, если присоединенное представление на является торической подалгеброй. Максимальная торическая подалгебра Ли конечномерной полупростой алгебры Ли или, в более общем случае, конечномерной редуктивной алгебры Ли ^[^{требуется ссылка}^] над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 является подалгеброй Картана и наоборот. ^[3] В частности, максимальная торическая подалгебра Ли в этом случае является самонормализующейся , совпадает со своим централизатором, а форма Киллинга для ограничена на невырождена. ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}$ $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$

Для более общих алгебр Ли подалгебра Картана может отличаться от максимальной торической подалгебры.

В конечномерной полупростой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики существует торическая подалгебра. ^[1] Фактически, если имеет только нильпотентные элементы, то она нильпотентна ( теорема Энгеля ), но тогда ее форма Киллинга тождественно равна нулю, что противоречит полупростоте. Следовательно, должна иметь ненулевой полупростой элемент, скажем x ; тогда линейная оболочка x является торической подалгеброй. ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

Смотрите также

Максимальный тор в теории групп Ли

Ссылки

^ abc Humphreys 1972, Гл. II, § 8.1.
^ Доказательство (от Хамфриса): Пусть . Так как диагонализуемо, достаточно показать, что все собственные значения равны нулю. Пусть будет собственным вектором с собственным значением . Тогда является суммой собственных векторов , а затем является линейной комбинацией собственных векторов с ненулевыми собственными значениями. Но, если только , то есть является собственным вектором с собственным значением ноль, противоречие. Таким образом, . $x\in {\mathfrak {h}}$ $\operatorname {ad} (x)$ $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)$ $y\in {\mathfrak {h}}$ $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)$ $\лямбда$ $x$ $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ $-\lambda y=\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)x$ $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ $\лямбда =0$ $-\лямбда у$ $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ $\лямбда =0$ $\квадрат$
^ Хамфрис 1972, Гл. IV, § 15.3. Следствие

Борель, Арманд (1991), Линейные алгебраические группы , Graduate Texts in Mathematics, т. 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8, МР 1102012
Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7

[Hum-1] Humphreys 1972, Гл. II, § 8.1.

[2] Доказательство (от Хамфриса): Пусть . Так как диагонализуемо, достаточно показать, что все собственные значения равны нулю. Пусть будет собственным вектором с собственным значением . Тогда является суммой собственных векторов , а затем является линейной комбинацией собственных векторов с ненулевыми собственными значениями. Но, если только , то есть является собственным вектором с собственным значением ноль, противоречие. Таким образом, . $x\in {\mathfrak {h}}$ $\operatorname {ad} (x)$ $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)$ $y\in {\mathfrak {h}}$ $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)$ $\лямбда$ $x$ $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ $-\lambda y=\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)x$ $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ $\лямбда =0$ $-\лямбда у$ $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ $\лямбда =0$ $\квадрат$

[3] Хамфрис 1972, Гл. IV, § 15.3. Следствие