Компактная сходимость

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Compact convergence" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Компактная сходимость (или равномерная сходимость на компактных множествах ) — тип сходимости , обобщающий идею равномерной сходимости . Она связана с компактно-открытой топологией .

Пусть будет топологическое пространство и будет метрическое пространство . Последовательность функций${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$,${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

Говорят, что сходится компактно как к некоторой функции , если для каждого компактного множества ,${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle f_{n}|_{K}\to f|_{K}}$

равномерно на как . Это означает, что для всех компактных ,${\displaystyle К}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}\sup _{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0.}$

• Если и с их обычными топологиями, при , то компактно сходится к постоянной функции со значением 0, но не равномерно.${\displaystyle X=(0,1)\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}}$${\displaystyle f_{n}}$
• Если и , то поточечно сходится к функции, которая равна нулю на и единице при , но последовательность не сходится компактно.${\displaystyle X=(0,1]}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle 1}$
• Очень мощным инструментом для демонстрации компактной сходимости является теорема Арцела–Асколи . Существует несколько версий этой теоремы, грубо говоря, она утверждает, что каждая последовательность равностепенно непрерывных и равномерно ограниченных отображений имеет подпоследовательность, которая компактно сходится к некоторому непрерывному отображению.

• Если равномерно, то компактно.${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$
• Если — компактное пространство и компактно, то равномерно.${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$
• Если — локально компактное пространство , то компактно тогда и только тогда, когда локально равномерно.${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$
• Если — компактно порожденное пространство , компактно, и каждое — непрерывно , то — непрерывно.${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

• Режимы конвергенции (аннотированный индекс)
• Теорема Монтеля

• Рейнхольд Реммерт Теория комплексных функций (1991 Springer) стр. 95