Топологическая сложность

В математике топологическая сложность топологического пространства X (также обозначается TC( X )) — это топологический инвариант, тесно связанный с задачей планирования движения ^{[ необходимы дополнительные пояснения ]} , введенной Майклом Фарбером в 2003 году.

Пусть X — топологическое пространство, а — пространство всех непрерывных путей в X. Определим проекцию как . Топологическая сложность — это минимальное число k , такое что${\displaystyle PX=\{\гамма :[0,1]\,\to \,X\}}$${\displaystyle \pi :PX\to \,X\times X}$${\displaystyle \pi (\gamma) = (\gamma (0),\gamma (1))}$

• существует открытая обложка ,${\displaystyle \{U_{i}\}_{i=1}^{k}}$${\displaystyle X\times X}$
• для каждого существует локальный раздел${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$ ${\displaystyle s_{i}:\,U_{i}\to \,PX.}$

• Топологическая сложность: TC( X ) = 1 тогда и только тогда, когда X является стягиваемым .
• Топологическая сложность сферы равна 2 для нечетного n и 3 для четного n . Например, в случае окружности мы можем определить путь между двумя точками как геодезическую линию между точками, если она уникальна. Любую пару антиподальных точек можно соединить путем против часовой стрелки.${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• Если — конфигурационное пространство n различных точек в евклидовом m -пространстве, то${\displaystyle F(\mathbb {R} ^{m},n)}$

${\displaystyle TC(F(\mathbb {R} ^{m},n))={\begin{cases}2n-1&\mathrm {для\,\,{\it {m}}\,\,нечетного} \\2n-2&\mathrm {для\,\,{\it {m}}\,\,четного.} \end{cases}}}$

• Топологическая сложность бутылки Клейна равна 5. ^[1]

• Фарбер, М. (2003). «Топологическая сложность планирования движения». Дискретная и вычислительная геометрия . Т. 29, № 2. С.  211–221 .
• Арминдо Коста: Топологическая сложность конфигурационных пространств , докторская диссертация, Университет Дарема (2010), онлайн

• Топологическая сложность на nLab

Эта статья , связанная с топологией, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е