Коэффициент Тьёстхайма

Коэффициент Тьёсхайма ^[1] — это мера пространственной ассоциации , которая пытается количественно оценить степень, в которой связаны два пространственных набора данных. Разработан норвежским статистиком Дагом Тьёсхаймом . Он похож на коэффициенты ранговой корреляции, такие как коэффициент ранговой корреляции Спирмена и коэффициент ранговой корреляции Кендалла , но также явно учитывает пространственную связь между переменными.

Рассмотрим две переменные и , наблюдаемые в одном и том же наборе пространственных местоположений с координатами и . Ранг при равен${\displaystyle F(x,y)}$${\displaystyle G(x,y)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

${\displaystyle R_{F}(x_{i},y_{i})=\sum _{i}^{N}\theta (F(x_{i},y_{i})-F(x_{j},y_{j}))}$

с аналогичным определением для . Вот ступенчатая функция , и эта формула подсчитывает, сколько значений меньше или равны значению в целевой точке .${\displaystyle G}$${\displaystyle \тета}$${\displaystyle F(x_{j},y_{j})}$${\displaystyle F(x_{i},y_{i})}$

Теперь определим

${\displaystyle X_{F}(i)=\sum _{j}^{N}x_{j}\delta (i,R_{F}(x_{j},y_{j}))}$

где — дельта Кронекера . Это координата ранжированного значения. Величины и могут быть определены аналогично.${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i^{\text{й}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y_{F}(i),X_{G}(i)}$${\displaystyle Y_{G}(i)}$

Коэффициент Тьёстхейма определяется как ^[2]

${\displaystyle A={\frac {\sum _{i}^{N}(X_{F}(i)-{\bar {X}}_{F})(X_{G}(i)-{\bar {X}}_{G})+(Y_{F}(i)-{\bar {Y}}_{F})(Y_{G}(i)-{\bar {Y}}_{G})}{\left(\sum _{i}^{N}\left[(X_{F}(i)-{\bar {X}}_{F})^{2}+(Y_{F}(i)-{\bar {Y}}_{F})^{2}\right]\sum _{i}^{N}\left[(X_{G}(i)-{\bar {X}}_{G})^{2}+(Y_{G}(i)-{\bar {Y}}_{G})^{2}\right]\right)^{1/2}}}}$

При предположениях, что и являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами и независимы друг от друга, можно показать, что и${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E[A]=0}$

${\displaystyle var(A)={\frac {\left(\sum _{i}^{N}x_{i}^2}\right)^{2}+2\left(\sum _{i}^{N}x_{i}y_{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i}^{N}y_{i}^2}\right)^{2}}{(N-1)\left(\sum _{i}^{N}x_{i}^2}+\sum _{i}^{N}y_{i}^2}\right)^{2}}}}$

Максимальная дисперсия имеет место, когда все точки находятся на прямой линии, а минимальная дисперсия имеет место для симметричной перекрестной схемы, где и . ^[3]${\displaystyle 1/(N-1)}$${\displaystyle 1/(2(N-1))}$${\displaystyle x_{i}y_{i}=0}$${\displaystyle \sum _{i}^{N}x_{i}^{2}=\sum _{i}^{N}y_{i}^{2}}$

Коэффициент Тьёстхайма реализован как корпространственный в пакете R SpatialPack. ^[4] Численное моделирование показывает, что является эффективной мерой корреляции между переменными, но чувствителен к степени автокорреляции в и . ^[3]${\displaystyle А}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

• Коэффициент Вартенберга