Задача с тремя детекторами и метод Ньюэлла

The topic of this article may not meet Wikipedia's general notability guideline. Please help to demonstrate the notability of the topic by citing reliable secondary sources that are independent of the topic and provide significant coverage of it beyond a mere trivial mention. If notability cannot be shown, the article is likely to be merged, redirected, or deleted. Find sources: "Three-detector problem and Newell's method" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2010) (Learn how and when to remove this message)

Задача о трех детекторах ^[1] — это задача в теории транспортных потоков. Дана однородная автомагистраль и количество транспортных средств на двух станциях детекторов. Мы ищем количество транспортных средств в некотором промежуточном месте. Метод может быть применен к обнаружению и диагностике инцидентов путем сравнения наблюдаемых и прогнозируемых данных, поэтому реалистичное решение этой проблемы важно. Ньюэлл GF ^{[2] [3] [4]} предложил простой метод решения этой проблемы. В методе Ньюэлла можно получить кумулятивную кривую количества (N-кривую) любого промежуточного места, просто сдвинув N-кривые детекторов вверх и вниз по течению. Метод Ньюэлла был разработан до того, как была предложена вариационная теория транспортного потока для систематического рассмотрения количества транспортных средств. ^{[5] [6] [7]} В этой статье показано, как метод Ньюэлла вписывается в контекст вариационной теории.

Предположение. В этом особом случае мы используем треугольную фундаментальную диаграмму (TFD) с тремя параметрами: скорость свободного потока , скорость волны -w и максимальная плотность (см. Рисунок 1). Кроме того, мы рассмотрим длительный период исследования, когда движение мимо детектора вверх по течению (U) не ограничено, а движение мимо детектора вниз по течению (D) ограничено, так что волны от обеих границ указывают в пространство решений (t,x) (см. Рисунок 2).${\displaystyle v_{f}}$${\displaystyle k_{j}}$

Целью задачи с тремя детекторами является вычисление транспортного средства в общей точке (P) на «мировой линии» детектора M (см. рисунок 2). Вверх по течению. Поскольку состояние вверх по течению не перегружено, должна быть характеристика с наклоном , которая достигает P от детектора вверх по течению. Такая волна должна быть испущена на единицу времени раньше, в точке P' на рисунке. Поскольку номер транспортного средства не меняется вдоль этой характеристики, мы видим, что номер транспортного средства на детекторе M, вычисленный из условий вверх по течению, такой же, как и наблюдаемый на детекторе вверх по течению на единицы времени раньше. Поскольку не зависит от состояния трафика (это константа), этот результат эквивалентен сдвигу сглаженной N-кривой детектора вверх по течению (кривая U на рисунке 3) вправо на величину .${\displaystyle v_{f}}$${\displaystyle \tau _{1}=L_{U}/v_{f}}$${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{1}}$

Downstream. Аналогично, поскольку состояние над детектором downstream поставлено в очередь, будет волна, достигающая P из местоположения со скоростью волны . Изменение метки транспортного средства вдоль этой характеристики можно получить из конструкции движущегося наблюдателя на рисунке 4 для наблюдателя, движущегося вместе с волной. В нашем конкретном случае наклонная линия, соответствующая наблюдателю, параллельна перегруженной части TFD. Это означает, что поток наблюдателей не зависит от состояния трафика и принимает значение: . Следовательно, за время , необходимое волне для достижения среднего местоположения, , изменение количества равно ; т. е. изменение количества равно количеству транспортных средств, которые помещаются между M и D при плотности пробки. Этот результат эквивалентен смещению D-кривой на единицы вправо и на единицы вверх .${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle -w<0}$${\displaystyle k_{j}(-w)}$${\displaystyle \tau _{2}=L_{D}/(-w)}$${\displaystyle \delta =k_{j}(-w)\tau _{2}=k_{j}L_{D}}$${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle \delta }$

Фактический счет в точке M. Ввиду принципа минимума Ньюэлла-Люка мы видим, что фактический счет в точке M должен быть нижней огибающей кривых U' и D'. Это темные кривые, M(t). Пересечения кривых U' и D' обозначают прохождение ударной волны через детектор; т. е. время, когда переходы между состояниями в очереди и без очереди происходят по мере того, как очередь продвигается и отступает от среднего детектора. Область между кривыми U' и M представляет собой задержку, испытываемую выше по потоку от точки M, времена срабатывания представляют собой горизонтальное разделение между кривыми U(t), M(t) и D(t), накопление задается вертикальными разделениями и т. д.

Математическое выражение. В терминах функции N(t,x) и местоположения детектора ( , , ) следующим образом:${\displaystyle x_{u}}$${\displaystyle x_{m}}$${\displaystyle x_{d}}$

${\displaystyle N(t,x_{m})=\min\{\ N(t-L_{U}/v_{f},x_{u})\ ,\ N(t+L_{D}/w,x_{d})+k_{j}L_{D}\ \}\qquad (1)}$

где и .${\displaystyle L_{U}=x_{m}-x_{u}}$${\displaystyle L_{D}=x_{d}-x_{m}}$

Цель. Предположим, что мы знаем количество транспортных средств (N) вдоль границы в пространственно-временной области и ищем количество транспортных средств в общей точке P (обозначаемой как ) за пределами этой границы в направлении увеличения времени (см. Рисунок 5). ^[8]${\displaystyle N_{p}}$

Предположим, снова, что наблюдатель начинает движение от границы до точки P по пути L. Мы знаем номер транспортного средства, которое видит наблюдатель, . Затем мы разбиваем путь наблюдателя на небольшие участки (например, показанный между A и B) и отмечаем, что мы также знаем максимальное количество транспортных средств, которые могут проехать мимо наблюдателя по этому небольшому участку, . Формула относительной пропускной способности говорит нам, что она равна: . Для TFD и использования для наклона сегмента AB, можно записать как:${\displaystyle N_{L}}$${\displaystyle C_{AB}}$${\displaystyle C_{AB}=r(v^{0})\Delta {t}}$${\displaystyle v_{AB}}$${\displaystyle C_{AB}}$

${\displaystyle C_{AB}=r(v_{AB})\Delta {t}=q_{0}\Delta {t}-k_{0}\Delta {x}=q_{0}(t_{B}-t_{A})-k_{0}(x_{B}-x_{A});for\ v_{AB}\in [-w,v_{f}]\qquad (2)}$

Итак, если мы теперь добавим номер транспортного средства на границе к сумме всего пути L, мы получим верхнюю границу для . Эта верхняя граница применима к любому наблюдателю, который движется со скоростью в диапазоне . Таким образом, мы можем записать: ${\displaystyle C_{AB}}$${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle [-w,v_{f}]}$

${\displaystyle N_{P}\leq N_{L}+\sum _{L}(C_{AB}),\ v_{AB}\in [-w,v_{f}]\qquad (3)}$

Уравнения (1) и (2) основаны на относительном ограничении емкости, которое само по себе следует из закона сохранения.

Максимальный принцип. Он гласит, что это максимально возможное значение, с учетом ограничений по мощности. Таким образом, рецепт VT: ${\displaystyle N_{P}}$

${\displaystyle N_{P}=\min _{L}\{N_{L}+\sum _{L}(C_{AB})\}\qquad (4)}$

Уравнение (4) — это задача кратчайшего пути (т.е. вариационного исчисления) с функцией стоимости. Оказывается, она дает то же решение, что и кинематическая волновая теория.${\displaystyle C_{AB}=r(v_{AB})}$

 Три шага: 1. Найдите минимальное количество восходящих потоков, 2. Найдите минимальное количество нисходящих потоков, 3. Выберите меньшее из двух,${\displaystyle N_{U}}$${\displaystyle N_{D}}$${\displaystyle N_{P}=\min\{N_{U}\ ,\ N_{D}\}}$

Все возможные прямые линии наблюдателя между верхней границей потока и точкой P должны быть построены со скоростями наблюдателя, меньшими скорости свободного потока:

${\displaystyle C_{QP}=q_{0}\Delta {t}-k_{0}\Delta {x}=q_{0}(t_{P}-t_{Q})-k_{0}(x_{P}-x_{Q})\qquad (5)}$

где для и${\displaystyle \Delta {t}=t_{P}-t_{Q}={\frac {(x_{M}-x_{U})}{v_{QP}}}}$${\displaystyle v_{QP}\in [0,v_{f}]}$${\displaystyle \Delta {x}=x_{M}-x_{U}}$

Таким образом, нам необходимо минимизировать ; т.е.,${\displaystyle {N_{Q}+q_{0}(t_{P}-t_{Q})-k_{0}(x_{M}-x_{U})}}$

${\displaystyle N_{U}=\min _{t_{Q}}\{N_{Q}+q_{0}(t_{P}-t_{Q})-k_{0}(x_{M}-x_{U})\}\qquad (6)}$

Так как , то мы видим, что целевая функция не возрастает и, следовательно , . Поэтому Q следует поместить в и мы имеем:${\displaystyle dN_{Q}/dt\leq q_{0}}$${\displaystyle t_{Q}^{*}=t_{P_{1}}}$${\displaystyle P_{1}}$

${\displaystyle C_{QP}=C_{P_{1}P}=q_{0}\left({\frac {x_{M}-x_{U}}{v_{f}}}\right)-k_{0}(x_{M}-x_{U})=0\qquad (7)}$

Таким образом,${\displaystyle N_{U}=N_{P_{1}}}$

Имеем: Итак, повторяем те же шаги, находим, что минимизируется при . И в точке получаем:${\displaystyle N_{D}=\min _{Q^{'}}\{N_{Q^{'}}+C_{Q^{'}P}\}=\min _{Q^{'}}\{N_{Q^{'}}+q_{0}\Delta {t}-k_{0}\Delta {x}\}}$${\displaystyle N_{D}}$${\displaystyle Q^{'}=P_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle N_{D}=N_{P_{2}}+q_{0}({\frac {x_{D}-x_{M}}{w}})-k_{0}(x_{D}-x_{M})\qquad (8)}$

Поскольку FD треугольный, . Следовательно, (8) сводится к:${\displaystyle {\frac {q_{0}}{w}}+k_{0}=k_{j}}$

${\displaystyle N_{D}=N_{P_{2}}+(x_{D}-x_{M})k_{j}\qquad (9)}$

Чтобы получить решение, теперь выберем меньшее из и .${\displaystyle N_{U}}$${\displaystyle N_{D}}$

${\displaystyle N_{P}=\min\{N_{U}\ ,\ N_{D}\}=\min\{N_{P_{1}}\ ,\ N_{P_{2}}+(x_{D}-x_{M})k_{j}\}\qquad (10)}$

Это рецепт Ньюэлла для задачи с тремя детекторами.

• Принципиальная схема транспортного потока
• Микроскопическая модель транспортного потока
• Микросимуляция
• Модель автомобиля Ньюэлла
• Контроль дорожного движения
• Правило 184
• Узкое место на дороге
• Счетчик трафика
• Поток транспорта
• Трафик волна