Точка пересечения третьего порядка

В телекоммуникациях точка пересечения третьего порядка ( IP ₃ или TOI ) — это определённый показатель качества, связанный с более общим искажением интермодуляции третьего порядка (IMD3), которое является мерой для слабонелинейных систем и устройств, например приёмников , линейных усилителей и смесителей . Он основан на идее, что нелинейность устройства может быть смоделирована с использованием полинома низкого порядка, полученного с помощью разложения в ряд Тейлора . Точка пересечения третьего порядка связывает нелинейные продукты, вызванные нелинейным членом третьего порядка, с линейно усиленным сигналом, в отличие от точки пересечения второго порядка , которая использует члены второго порядка.

Точка пересечения — чисто математическое понятие, не соответствующее практически реализуемому физическому уровню мощности. Во многих случаях она лежит далеко за пределами порога повреждения устройства.

Используются два различных определения точек перехвата:

• На основе гармоник : Устройство тестируется с использованием одного входного тона. Нелинейные продукты, вызванные нелинейностью n -го порядка, появляются в n раз чаще частоты входного тона.
• На основе продуктов интермодуляции : Устройство питается двумя синусоидальными тонами, один на и один на . Если вы возведете сумму этих синусоидальных волн в куб, вы получите синусоиды на различных частотах, включая и . Если и большие, но очень близки друг к другу, то и будут очень близки к и . Этот двухтональный подход имеет то преимущество, что он не ограничивается широкополосными устройствами и обычно используется для радиоприемников.${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle (2f_{2}-f_{1})}$${\displaystyle (2f_{1}-f_{2})}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle (2f_{2}-f_{1})}$${\displaystyle (2f_{1}-f_{2})}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

Точка пересечения получается графически путем построения графика выходной мощности в зависимости от входной мощности в логарифмическом масштабе (например, децибелы ). Рисуются две кривые: одна для линейно усиленного сигнала на частоте входного тона, другая для нелинейного продукта. В логарифмическом масштабе функция x ⁿ преобразуется в прямую линию с наклоном n . Следовательно, линейно усиленный сигнал будет иметь наклон 1. Нелинейный продукт третьего порядка увеличится на 3 дБ по мощности, если входная мощность увеличится на 1 дБ.

Обе кривые продолжены прямыми линиями с наклоном 1 и n (3 для точки пересечения третьего порядка). Точка пересечения кривых является точкой пересечения. Ее можно считать с оси входной или выходной мощности, что приведет к точке пересечения входа (IIP3) или выхода (OIP3) соответственно.

Входная и выходная точки пересечения различаются коэффициентом усиления слабого сигнала устройства.

Концепция точки пересечения основана на предположении о слабонелинейной системе, что означает, что нелинейные члены более высокого порядка достаточно малы, чтобы ими можно было пренебречь. На практике слабонелинейное предположение может не выполняться для верхнего предела диапазона входной мощности, будь то во время измерения или во время использования усилителя. Как следствие, измеренные или смоделированные данные будут отклоняться от идеального наклона n . Точка пересечения в соответствии с ее основным определением должна быть определена путем проведения прямых линий с наклоном 1 и n через измеренные данные на минимально возможном уровне мощности (возможно, ограниченном в сторону более низких уровней мощности шумом прибора или устройства). Частой ошибкой является получение точек пересечения либо путем изменения наклона прямых линий, либо путем подгонки их к точкам, измеренным на слишком высоких уровнях мощности. В определенных ситуациях такая мера может быть полезна, но она не является точкой пересечения согласно определению. Ее значение зависит от условий измерения, которые необходимо задокументировать, тогда как IP согласно определению в основном однозначен; хотя существует некоторая зависимость от частоты и интервала между тонами в зависимости от физики тестируемого устройства.

Одно из полезных применений точки пересечения третьего порядка — это как правило оценки нелинейных продуктов. При сравнении систем или устройств на линейность, более высокая точка пересечения лучше. Можно увидеть, что расстояние между двумя прямыми линиями с наклонами 3 и 1 закрывается с наклоном 2.

Например, предположим, что устройство с точкой пересечения третьего порядка, отнесенной к входу, 10 дБм, управляется тестовым сигналом −5 дБм. Эта мощность на 15 дБ ниже точки пересечения, поэтому нелинейные продукты появятся примерно на 2×15 дБ ниже мощности тестового сигнала на выходе устройства (другими словами, на 3×15 дБ ниже точки пересечения третьего порядка, отнесенной к выходу).

Эмпирическое правило, применимое ко многим линейным радиочастотным усилителям, заключается в том, что точка компрессии 1 дБ находится примерно на 10 дБ ниже точки пересечения третьего порядка.

Точка пересечения третьего порядка (TOI) является свойством передаточной функции устройства O (см. диаграмму). Эта передаточная функция связывает уровень напряжения выходного сигнала с уровнем напряжения входного сигнала. Мы предполагаем, что «линейное» устройство имеет передаточную функцию, форма малого сигнала которой может быть выражена в терминах степенного ряда , содержащего только нечетные члены, что делает передаточную функцию нечетной функцией напряжения входного сигнала, т. е. O (− s ) = − O ( s ). Если сигналы, проходящие через фактическое устройство, представляют собой модулированные синусоидальные формы напряжения (например, усилитель ВЧ), нелинейности устройства могут быть выражены в терминах того, как они влияют на отдельные компоненты синусоидального сигнала. Например, скажем, что сигнал входного напряжения представляет собой синусоидальную волну

${\displaystyle s(t)=V\cos(\omega t),}$

и передаточная функция устройства выдает выходной сигнал в форме

${\displaystyle O(s)=Gs-D_{3}s^{3}+\ldots ,}$

где G — коэффициент усиления усилителя, а D ₃ — кубическое искажение. Мы можем подставить первое уравнение во второе и, используя тригонометрическое тождество

${\displaystyle \cos ^{3}(x)={\frac {3}{4}}\cos(x)+{\frac {1}{4}}\cos(3x),}$

мы получаем форму выходного напряжения устройства как

${\displaystyle O(s(t))=\left(GV-{\frac {3}{4}}D_{3}V^{3}\right)\cos(\omega t)-{\frac {1}{4}}D_{3}V^{3}\cos(3\omega t).}$

Выходная форма волны содержит исходную форму волны, cos( ωt ), плюс новый гармонический член, cos(3 ωt ), член третьего порядка . Коэффициент гармоники cos( ωt ) имеет два члена, один из которых линейно зависит от V , а другой зависит от куба V . Фактически, коэффициент cos( ωt ) имеет почти такую ​​же форму, как и передаточная функция, за исключением множителя ⁠3/4⁠ на кубическом члене. Другими словами, по мере увеличения уровня сигнала V уровень члена cos( ωt ) на выходе в конечном итоге выравнивается, подобно тому, как выравнивается передаточная функция. Конечно, коэффициенты гармоник более высокого порядка будут увеличиваться (с увеличением V ), поскольку коэффициент члена cos( ωt ) выравнивается (мощность должна куда-то идти).

Если теперь мы ограничим наше внимание той частью коэффициента cos( ωt ), которая изменяется линейно с V , а затем спросим себя, при каком уровне входного напряжения V коэффициенты членов первого и третьего порядка будут иметь равные величины (т. е. где величины пересекаются), мы обнаружим, что это происходит, когда

${\displaystyle V^{2}={\frac {4G}{3D_{3}}},}$

что является точкой пересечения третьего порядка (TOI). Итак, мы видим, что уровень входной мощности TOI просто в 4/3 раза больше отношения коэффициента усиления и кубического искажения в передаточной функции устройства. Чем меньше кубический член по отношению к коэффициенту усиления, тем более линейным является устройство и тем выше TOI. TOI, будучи связанным с квадратом амплитуды формы входного напряжения, является величиной мощности, обычно измеряемой в милливаттах (мВт). TOI всегда выходит за пределы рабочих уровней мощности, поскольку выходная мощность насыщается до достижения этого уровня.

TOI тесно связан с "точкой компрессии 1 дБ" усилителя , которая определяется как точка, в которой общий коэффициент члена cos( ωt ) на 1 дБ ниже линейной части этого коэффициента. Мы можем связать точку компрессии 1 дБ с TOI следующим образом. Поскольку 1 дБ = 20 log ₁₀ 1,122, мы можем сказать, в смысле напряжения, что точка компрессии 1 дБ возникает, когда

${\displaystyle 1.122\left(GV-{\frac {3}{4}}D_{3}V^{3}\right)=GV,}$

или

${\displaystyle V^{2}=0,10875\times {\frac {4G}{3D_{3}}},}$

или

${\displaystyle V^{2}=0,10875\times \mathrm {TOI} .}$

В смысле мощности ( V ² — величина мощности) коэффициент 0,10875 соответствует −9,636 дБ, поэтому согласно этому приблизительному анализу точка компрессии в 1 дБ находится примерно на 9,6 дБ ниже TOI.

Напомним: число децибел = 10 дБ × log ₁₀ (коэффициент мощности) = 20 дБ × log ₁₀ (коэффициент напряжения).

• Точка пересечения интермодуляции
• Точка пересечения второго порядка

• Точка пересечения третьего порядка представляет собой экстраполированную сходимость (неизмеримую напрямую) продуктов интермодуляционных искажений в желаемом выходном сигнале.
• Он показывает, насколько хорошо устройство (например, усилитель) или система (например, приемник) работают при наличии сильных сигналов.
• Иногда его используют (взаимозаменяемо с точкой компрессии 1 дБ ) для определения верхнего предела динамического диапазона усилителя.
• Определение точки пересечения третьего порядка супергетеродинного приемника осуществляется с помощью двух тестовых частот, которые попадают в полосу пропускания первого промежуточного смесителя частот . Обычно тестовые частоты находятся на расстоянии около 20–30 кГц друг от друга.
• Концепция точки пересечения не имеет смысла для сильно нелинейных систем, например, когда выходной сигнал ограничен из-за ограниченного напряжения питания.

•  В этой статье использованы материалы из общедоступного федерального стандарта 1037C. Администрация общих служб . Архивировано из оригинала 2022-01-22. (в поддержку MIL-STD-188 ).

• Боуик, Кристофер (21.01.2008). "Глава 7: Усилители класса А и линейность". Проектирование радиочастотных цепей: понимание усилителей мощности радиочастот (2-е изд.). Архивировано из оригинала 02.07.2010. {{cite book}}: |work=проигнорировано ( помощь )
• «Взаимосвязь точек пересечения и композитных искажений». Миддлсекс, Нью-Джерси, США: Matrix Test Equipment, Inc. 2018-02-18 [2005-10-10]. MTN-109. Архивировано из оригинала 2012-08-16.[1] (9 страниц)
• Дансмор, Джоэл П. (2012). Справочник по измерениям микроволновых компонентов . Wiley .