Тета-соответствие

В математике тета -соответствие или соответствие Хау — это математическое отношение между представлениями двух групп редуктивной дуальной пары . Локальное тета-соответствие связывает неприводимые допустимые представления над локальным полем , тогда как глобальное тета-соответствие связывает неприводимые автоморфные представления над глобальным полем .

Тета-соответствие было введено Роджером Хоу в Howe (1979). Его название возникло из-за его происхождения из теоретической формулировки Андре Вейля теории тета-рядов в Weil (1964). Соответствие Шимуры , построенное Жаном-Лу Вальдспургером в Waldspurger (1980) и Waldspurger (1991), можно рассматривать как пример тета-соответствия.

Заявление

Настраивать

Пусть будет локальным или глобальным полем, не имеющим характеристики . Пусть будет симплектическим векторным пространством над , а симплектическая группа . Ф {\displaystyle F} 2 {\displaystyle 2} Вт {\displaystyle W} Ф {\displaystyle F} С п ( Вт ) {\displaystyle Sp(W)}

Зафиксируйте редуктивную двойственную пару в . Существует классификация редуктивных двойственных пар. [1] [2] ( Г , ЧАС ) {\displaystyle (Г,Н)} С п ( Вт ) {\displaystyle Sp(W)}

Локальная тета-корреспонденция

Ф {\displaystyle F} теперь является локальным полем. Зафиксируем нетривиальный аддитивный характер . Существует представление Вейля метаплектической группы , связанной с , которое мы записываем как . ψ {\displaystyle \пси} Ф {\displaystyle F} М п ( Вт ) {\displaystyle Мп(Вт)} ψ {\displaystyle \пси} ω ψ {\displaystyle \omega _ {\psi }}

Учитывая редуктивную двойственную пару в , можно получить пару коммутирующих подгрупп в , вытянув проекционное отображение из в . ( Г , ЧАС ) {\displaystyle (Г,Н)} С п ( Вт ) {\displaystyle Sp(W)} ( Г ~ , ЧАС ~ ) {\displaystyle ({\widetilde {G}}, {\widetilde {H}})} М п ( Вт ) {\displaystyle Мп(Вт)} М п ( Вт ) {\displaystyle Мп(Вт)} С п ( Вт ) {\displaystyle Sp(W)}

Локальное тета-соответствие — это соответствие 1-1 между некоторыми неприводимыми допустимыми представлениями и некоторыми неприводимыми допустимыми представлениями , полученное ограничением представления Вейля подгруппой . Соответствие было определено Роджером Хау в работе Хау (1979). Утверждение о том, что это соответствие 1-1, называется гипотезой двойственности Хау . Г ~ {\displaystyle {\widetilde {G}}} ЧАС ~ {\displaystyle {\widetilde {H}}} ω ψ {\displaystyle \omega _ {\psi }} М п ( Вт ) {\displaystyle Мп(Вт)} Г ~ ⋅ ЧАС ~ {\displaystyle {\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}}}

Ключевые свойства локального тета-соответствия включают его совместимость с индукцией Бернштейна-Зелевинского [3] и соотношениями сохранения, касающимися индексов первого появления вдоль башен Витта. [4]

Глобальная тета-корреспонденция

Стивен Раллис продемонстрировал версию глобальной гипотезы двойственности Хау для каспидальных автоморфных представлений над глобальным полем, предполагая справедливость гипотезы двойственности Хау для всех локальных мест. [5]

гипотеза двойственности Хау

Определим множество неприводимых допустимых представлений , которые можно реализовать как частные . Определим и аналогично. Р ( Г ~ , ω ψ ) {\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}},\omega _ {\psi })} Г ~ {\displaystyle {\widetilde {G}}} ω ψ {\displaystyle \omega _ {\psi }} Р ( ЧАС ~ , ω ψ ) {\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {H}},\omega _ {\psi })} Р ( Г ~ ⋅ ЧАС ~ , ω ψ ) {\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}} \cdot {\widetilde {H}},\omega _ {\psi })}

Гипотеза двойственности Хау утверждает, что является графиком биекции между и . Р ( Г ~ ⋅ ЧАС ~ , ω ψ ) {\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}} \cdot {\widetilde {H}},\omega _ {\psi })} Р ( Г ~ , ω ψ ) {\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}},\omega _ {\psi })} Р ( ЧАС ~ , ω ψ ) {\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {H}},\omega _ {\psi })}

Гипотеза двойственности Хау для архимедовых локальных полей была доказана Роджером Хау . [6] Для -адических локальных полей с нечетными ее доказал Жан-Лу Вальдспургер . [7] Альберто Мингес позже дал доказательство для дуальных пар общих линейных групп , которое работает для произвольной характеристики вычета. [8] Для ортогонально-симплектических или унитарных дуальных пар ее доказали Ви Тек Ган и Шуичиро Такеда. [9] Последний случай кватернионных дуальных пар был завершен Ви Тек Ган и Биньонг Сан . [10] п {\displaystyle p} п {\displaystyle p}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Хоу 1979.
  2. ^ Мёглин, Виньерас и Вальдспургер 1987.
  3. ^ Кудла 1986.
  4. ^ Сан и Чжу 2015.
  5. ^ Раллис 1984.
  6. ^ Хоу 1989.
  7. ^ Вальдспургер 1990.
  8. ^ Мингес 2008.
  9. ^ Ган и Такеда 2016.
  10. ^ Ган и Сан 2017.

Библиография

  • Ган, Ви Тек ; Такеда, Шуичиро (2016), «Доказательство гипотезы двойственности Хоу», J. Amer. Math. Soc. , 29 (2): 473–493, arXiv : 1407.1995 , doi : 10.1090/jams/839, S2CID  942882
  • Gan, Wee Teck ; Sun, Binyong (2017), «Гипотеза двойственности Хау: кватернионный случай», в Cogdell, J.; Kim, J.-L.; Zhu, C.-B. (ред.), Теория представлений, теория чисел и теория инвариантов , Progr. Math., 323, Birkhäuser/Springer, стр. 175–192
  • Howe, Roger E. (1979), "θ-ряды и теория инвариантов", в Borel, A. ; Casselman, W. (ред.), Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Часть 1 , Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Providence, RI: American Mathematical Society , стр. 275–285, ISBN 978-0-8218-1435-2, МР  0546602
  • Хоу, Роджер Э. (1989), «Трансцендирование классической теории инвариантов», J. Amer. Math. Soc. , 2 (3): 535–552, doi : 10.2307/1990942 , JSTOR  1990942
  • Кудла, Стивен С. (1986), «О локальном тета-соответствии», Invent. Math. , 83 (2): 229–255, Bibcode : 1986InMat..83..229K, doi : 10.1007/BF01388961, S2CID  122106772
  • Мингес, Альберто (2008), «Явная переписка Хоу: двойственные пары типа II», Ann. наук. Эк. Норм. Супер. , 4, 41 (5): 717–741, doi : 10.24033/asens.2080
  • Мёглин, Колетт ; Виньерас, Мари-Франс ; Вальдспургер, Жан-Лу (1987), Correspondances de Howe sur un corps p-adique , Конспекты лекций по математике, том. 1291, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/BFb0082712, ISBN. 978-3-540-18699-1, МР  1041060
  • Раллис, Стивен (1984), «О гипотезе двойственности Хоу», Compositio Math. , 51 (3): 333–399
  • Сан, Биньонг ; Чжу, Чэнь-Бо (2015), «Соотношения сохранения для локального тета-соответствия», J. Amer. Math. Soc. , 28 (4): 939–983, arXiv : 1204.2969 , doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00817-1, S2CID  5936119
  • Вальдспургер, Жан-Лу (1980), «Переписка Шимуры», J. Math. Приложение Pures. , 59 (9): 1–132
  • Вальдспургер, Жан-Лу (1990), «Демонстрация гипотезы дуалита де Хоу в cas p-adique, p ≠ 2», Праздничный сборник в честь II Пятецкого-Шапиро по случаю его шестидесятилетия, Часть I , Израильская математика. Конф. Учеб., 2 : 267–324.
  • Вальдспургер, Жан-Лу (1991), «Соответствия Шимуры и кватернионов», Forum Math. , 3 (3): 219–307, doi :10.1515/form.1991.3.219, S2CID  123512840
  • Вейль, Андре (1964), «Определенные группы унитарных операторов», Acta Math. , 111 : 143–211, doi : 10.1007/BF02391012
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Theta_correspondence&oldid=1210687340"