Бикомплексное число
Коммутативная, ассоциативная алгебра двух комплексных измерений

В абстрактной алгебре бикомплексное число — это пара ( w , z ) комплексных чисел, построенная с помощью процесса Кэли–Диксона , который определяет бикомплексное сопряжение и произведение двух бикомплексных чисел как ( ж , з ) ∗ = ( ж , − з ) {\displaystyle (w,z)^{*}=(w,-z)}

( u , v ) ( w , z ) = ( u w − v z , u z + v w ) . {\displaystyle (u,v)(w,z)=(uw-vz,uz+vw).}

Тогда бикомплексная норма определяется выражением

( w , z ) ∗ ( w , z ) = ( w , − z ) ( w , z ) = ( w 2 + z 2 , 0 ) , {\displaystyle (w,z)^{*}(w,z)=(w,-z)(w,z)=(w^{2}+z^{2},0),} квадратичная форма в первом компоненте.

Бикомплексные числа образуют коммутативную алгебру над C размерности два, которая изоморфна прямой сумме алгебр C ⊕ C .

Произведение двух бикомплексных чисел даёт квадратичное значение формы, которое является произведением отдельных квадратичных форм чисел: проверка этого свойства квадратичной формы произведения ссылается на тождество Брахмагупты–Фибоначчи . Это свойство квадратичной формы бикомплексного числа указывает на то, что эти числа образуют алгебру композиции . Фактически, бикомплексные числа возникают на бинарионном уровне конструкции Кэли–Диксона, основанной на с нормой z 2 . C {\displaystyle \mathbb {C} }

Общее бикомплексное число можно представить матрицей , которая имеет определитель . Таким образом, составное свойство квадратичной формы совпадает со составным свойством определителя. ( w i z i z w ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}w&iz\\iz&w\end{pmatrix}}} w 2 + z 2 {\displaystyle w^{2}+z^{2}}

Бикомплексные числа имеют две различные мнимые единицы . Умножение, будучи ассоциативным и коммутативным, произведение этих мнимых единиц должно иметь положительный квадрат. Такой элемент, как это произведение, был назван гиперболической единицей . [1]

Как настоящая алгебра

Тессариновое умножение
×1яджк
11яджк
яя−1к− дж
джджк-1-я
кк− дж-я1

Бикомплексные числа образуют алгебру над C размерности два, а поскольку C имеет размерность два над R , бикомплексные числа являются алгеброй над R размерности четыре. Фактически, действительная алгебра старше комплексной; она была названа тессарином в 1848 году, в то время как комплексная алгебра была введена только в 1892 году.

Базис для тессарина 4-алгебры над R определяет z = 1 и z = − i , давая матрицы , которые умножаются в соответствии с приведенной таблицей. Когда единичная матрица отождествляется с 1, то тессарин t = w + zj . k = ( 0 i i 0 ) ,   j = ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle k={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \ j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}

История

Тема множественных мнимых единиц была рассмотрена в 1840-х годах. В длинной серии «О кватернионах, или о новой системе мнимых в алгебре», начавшейся в 1844 году в Philosophical Magazine , Уильям Роуэн Гамильтон сообщил о системе умножения в соответствии с группой кватернионов . В 1848 году Томас Киркман сообщил о своей переписке с Артуром Кэли относительно уравнений относительно единиц, определяющих систему гиперкомплексных чисел. [2]

Тессарины

В 1848 году Джеймс Кокл представил тессарины в серии статей в журнале Philosophical Magazine . [3]

Тессарин — это гиперкомплексное число вида

t = w + x i + y j + z k , w , x , y , z ∈ R {\displaystyle t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in \mathbb {R} }

где Кокл использовал тессарины для выделения ряда гиперболических косинусов и ряда гиперболических синусов в ряду экспонент. Он также показал, как делители нуля возникают в тессаринах, что вдохновило его использовать термин «невозможное». Тессарины сейчас наиболее известны своей подалгеброй действительных тессаринов , также называемых расщепленно-комплексными числами , которые выражают параметризацию единичной гиперболы . i j = j i = k , i 2 = − 1 , j 2 = + 1. {\displaystyle ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.} t = w + y j   {\displaystyle t=w+yj\ }

Бикомплексные числа

В статье журнала Mathematische Annalen 1892 года Коррадо Сегре ввел бикомплексные числа , [4] которые образуют алгебру, изоморфную тессаринам. [5]

Сегре прочитал «Лекции по кватернионам » У. Р. Гамильтона (1853) и работы У. К. Клиффорда . Сегре использовал некоторые обозначения Гамильтона для разработки своей системы бикомплексных чисел : пусть h и i — элементы, квадрат которых равен −1 и которые коммутируют. Тогда, предполагая ассоциативность умножения, произведение hi должно быть равно +1. Алгебра, построенная на основе {1, h , i , hi }, тогда совпадает с тессаринами Джеймса Кокла, представленными с использованием другого базиса. Сегре отметил, что элементы

g = ( 1 − h i ) / 2 , g ′ = ( 1 + h i ) / 2 {\displaystyle g=(1-hi)/2,\quad g'=(1+hi)/2}   являются идемпотентами .

Когда бикомплексные числа выражаются в терминах базиса { 1, h , i , − hi } , их эквивалентность тессаринам очевидна, особенно если векторы в этом базисе переупорядочены как { 1, i , − hi , h } . Рассмотрение линейного представления этих изоморфных алгебр показывает согласие в четвертом измерении, когда используется отрицательный знак; рассмотрим пример произведения, приведенный выше в линейном представлении.

Бибинарионы

Современная теория композиционных алгебр позиционирует алгебру как конструкцию бинариона, основанную на другой конструкции бинариона, отсюда и бибинарионы . [6] Уровень унариона в процессе Кэли-Диксона должен быть полем, и, начиная с действительного поля, обычные комплексные числа возникают как бинарионы деления, другое поле. Таким образом, процесс может начаться снова, чтобы сформировать бибинарионы. Кевин Маккриммон отметил упрощение номенклатуры, предоставляемое термином бинарион в своем тексте A Taste of Jordan Algebras (2004).

Корни полинома

Запишем 2 C = C ⊕ C и представим его элементы упорядоченными парами ( u , v ) комплексных чисел. Поскольку алгебра тессаринов T изоморфна 2 C , кольца многочленов T [X] и 2 C [ X ] также изоморфны, однако многочлены в последней алгебре расщепляются:

∑ k = 1 n ( a k , b k ) ( u , v ) k = ( ∑ k = 1 n a i u k , ∑ k = 1 n b k v k ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k},b_{k})(u,v)^{k}\quad =\quad \left({\sum _{k=1}^{n}a_{i}u^{k}},\quad \sum _{k=1}^{n}b_{k}v^{k}\right).}

В результате, когда задано полиномиальное уравнение в этой алгебре, оно сводится к двум полиномиальным уравнениям на C. Если степень равна n , то для каждого уравнения имеется n корней : Любая упорядоченная пара из этого набора корней будет удовлетворять исходному уравнению в 2 C [ X ], поэтому оно имеет n 2 корней. [7] f ( u , v ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle f(u,v)=(0,0)} u 1 , u 2 , … , u n ,   v 1 , v 2 , … , v n . {\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n},\ v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}.} ( u i , v j ) {\displaystyle (u_{i},v_{j})\!}

В силу изоморфизма с T [ X ], существует соответствие многочленов и соответствие их корней. Следовательно, тессарины многочлены степени n также имеют n 2 корней, учитывая кратность корней .

Приложения

Бикомплексное число появляется как центр CAPS (комплексифицированной алгебры физического пространства ), которая является алгеброй Клиффорда . [8] Поскольку линейное пространство CAPS можно рассматривать как четырехмерное пространство, охватывающее { } над { }. C l ( 3 , C ) {\displaystyle Cl(3,\mathbb {C} )} 1 , e 1 , e 2 , e 3 {\displaystyle 1,e_{1},e_{2},e_{3}} 1 , i , k , j {\displaystyle 1,i,k,j}

Тессарины нашли применение в цифровой обработке сигналов . [9] [10] [11]

Бикомплексные числа используются в механике жидкости. Использование бикомплексной алгебры примиряет два различных применения комплексных чисел: представление двумерных потенциальных потоков в комплексной плоскости и комплексную экспоненциальную функцию . [12]

Ссылки

  1. ^ ME Luna-Elizarrarás, M. Shapiro, DC Struppa (2013) Бикомплексные голоморфные функции: алгебра, геометрия и анализ бикомплексных чисел , стр. 6, Birkhauser ISBN  978-3-319-24868-4
  2. ^ Томас Киркман (1848) «О плюкватернионах и гомоидных произведениях n квадратов», London and Edinburgh Philosophical Magazine 1848, стр. 447 Ссылка на Google Books
  3. ↑ Джеймс Кокл в журнале London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine , серия 3
    • 1848 О некоторых функциях, напоминающих кватернионы, и о новой мнимой в алгебре, 33:435–9.
    • 1849 О новой мнимой в алгебре 34:37–47.
    • 1849 О символах алгебры и о теории тессаринов 34:406–410.
    • 1850 Об истинной амплитуде тессарина 36:290-2.
    • 1850 О невозможных уравнениях, о невозможных величинах и о тессаринах 37:281–3.
    Ссылки из Библиотеки наследия биоразнообразия .
  4. ^ Сегре, Коррадо (1892), «Le rappresentazioni reali delle formé complesse e gli enti iperalgebrici» [Реальное представление сложных элементов и гипералгебраических сущностей], Mathematische Annalen , 40 (3): 413–467 , doi : 10.1007/bf01443559, S2CID  121807474, заархивировано из оригинала 12 сентября 2013 г. , получено 12 сентября 2013 г.(см. особенно страницы 455–67)
  5. ^ Абстрактная алгебра/полиномиальные кольца в Wikibooks
  6. ^ Алгебра ассоциативной композиции/бибинарионы в Wikibooks
  7. ^ Пудиак, Роберт Д. и Кевин Дж. Леклер (2009) «Основные теоремы алгебры для перплексий», The College Mathematics Journal 40(5):322–35.
  8. ^ Бейлис, У. Э.; Киселица, Дж. Д. (2012). Комплексная алгебра физического пространства: основа теории относительности . Adv. Appl. Clifford Algebras . Том 22. SpringerLink. С.  537–561 .
  9. ^ Пей, Су-Чан; Чан, Джа-Хан; Дин, Цзянь-Цзюнь (21 июня 2004 г.). «Коммутативные редуцированные бикватернионы и их преобразование Фурье для обработки сигналов и изображений» (PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 52 (7). IEEE: 2012– 2031. doi :10.1109/TSP.2004.828901. ISSN  1941-0476. S2CID  13907861.
  10. ^ Альфсманн, Даниэль (4–8 сентября 2006 г.). О семействах 2N-мерных гиперкомплексных алгебр, подходящих для цифровой обработки сигналов (PDF) . 14-я Европейская конференция по обработке сигналов, Флоренция, Италия: EURASIP. Архивировано из оригинала (PDF) 16 июля 2011 г. . Получено 18 февраля 2010 г. .{{cite conference}}: CS1 maint: location (link)
  11. ^ Альфсманн, Даниэль; Гёклер, Хайнц Г. (2007). О гиперболических комплексных цифровых системах LTI (PDF) . EURASIP.
  12. ^ Кляйн, Витор Г.; Ханифи, Ардешир; Хеннингсон, Дэн С. (2022). «Устойчивость двумерных потенциальных потоков с использованием бикомплексных чисел». Proc. R. Soc. A. 478 ( 20220165). arXiv : 2203.05857 . Bibcode :2022RSPSA.47820165K. doi :10.1098/rspa.2022.0165. PMC 9185835 . PMID  35702595. 

Дальнейшее чтение

  • G. Baley Price (1991) Введение в мультикомплексные пространства и функции Марсель Деккер ISBN 0-8247-8345-X 
  • Ф. Катони, Д. Боккалетти, Р. Канната, В. Катони, Э. Никелатти, П. Зампетти. (2008) Математика пространства-времени Минковского с введением в коммутативные гиперкомплексные числа , Birkhäuser Verlag , Basel ISBN 978-3-7643-8613-9 
  • Alpay D, Luna-Elizarrarás ME, Shapiro M, Struppa DC. (2014) Основы функционального анализа с бикомплексными скалярами и бикомплексный анализ Шура , Хам, Швейцария: Springer Science & BusinessMedia
  • Луна-Элисаррарас М.Э., Шапиро М., Струппа Д.К., Вайяк А. (2015) Бикомплексные голоморфные функции: алгебра, геометрия и анализ бикомплексных чисел , Хам, Швейцария: Birkhäuser
  • Рошон, Доминик и Майкл Шапиро (2004). «Об алгебраических свойствах бикомплексных и гиперболических чисел». Anal. Univ. Oradea, fasc. math 11, no. 71: 110.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bicomplex_number&oldid=1260117698#Tessarines"