Теорема Теллегена

Теорема Теллегена — одна из самых мощных теорем в теории сетей . Большинство теорем о распределении энергии и экстремальных принципов в теории сетей могут быть выведены из нее. Она была опубликована в 1952 году Бернардом Теллегеном . [1] По сути, теорема Теллегена дает простое соотношение между величинами, которые удовлетворяют законам Кирхгофа теории электрических цепей .

Теорема Теллегена применима к множеству сетевых систем. Основными предположениями для систем являются сохранение потока экстенсивных величин ( закон токов Кирхгофа , KCL) и уникальность потенциалов в узлах сети ( закон напряжений Кирхгофа , KVL). Теорема Теллегена предоставляет полезный инструмент для анализа сложных сетевых систем, включая электрические цепи, биологические и метаболические сети , сети трубопроводного транспорта и сети химических процессов .

Теорема

Рассмотрим произвольную сосредоточенную сеть, которая имеет ветви и узлы. В электрической сети ветви являются двухполюсными компонентами, а узлы являются точками соединения. Предположим, что для каждой ветви мы произвольно назначаем разность потенциалов ветви и ток ветви для и предположим, что они измеряются относительно произвольно выбранных связанных опорных направлений. Если разности потенциалов ветви удовлетворяют всем ограничениям, налагаемым KVL, и если токи ветви удовлетворяют всем ограничениям, налагаемым KCL, то б {\displaystyle б} н {\displaystyle n} Вт к {\displaystyle W_{k}} Ф к {\displaystyle F_{k}} к = 1 , 2 , , б {\displaystyle k=1,2,\точки ,b} Вт 1 , Вт 2 , , Вт б {\displaystyle W_{1},W_{2},\dots,W_{b}} Ф 1 , Ф 2 , , Ф б {\displaystyle F_{1},F_{2},\точки ,F_{b}}

к = 1 б Вт к Ф к = 0. {\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.}

Теорема Теллегена чрезвычайно обща; она верна для любой сосредоточенной сети, которая содержит любые элементы, линейные или нелинейные , пассивные или активные , изменяющиеся во времени или неизменные во времени . Общность расширена, когда и являются линейными операциями на множестве разностей потенциалов и на множестве токов ветвей (соответственно), поскольку линейные операции не влияют на KVL и KCL. Например, линейной операцией может быть усреднение или преобразование Лапласа . В более общем смысле операторы, которые сохраняют KVL, называются операторами напряжения Кирхгофа, операторы, которые сохраняют KCL, называются операторами тока Кирхгофа, а операторы, которые сохраняют оба, называются просто операторами Кирхгофа. Эти операторы не обязательно должны быть линейными, чтобы теорема Теллегена была верна. [2] Вт к {\displaystyle W_{k}} Ф к {\displaystyle F_{k}}

Набор токов также может быть выбран в разное время из набора разностей потенциалов, поскольку KVL и KCL верны во все моменты времени. Другое расширение — когда набор разностей потенциалов из одной сети, а набор токов из совершенно другой сети, при условии, что две сети имеют одинаковую топологию (одинаковую матрицу инцидентности ). Теорема Теллегена остается верной. Это расширение теоремы Теллегена приводит ко многим теоремам, касающимся двухполюсников. [3] Вт к {\displaystyle W_{k}} Ф к {\displaystyle F_{k}}

Определения

Нам необходимо ввести несколько необходимых определений сетей, чтобы обеспечить компактное доказательство.

Матрица инцидентности: Матрица называется матрицей инцидентности от узла к ветви, поскольку ее элементы н × б {\displaystyle n\times b} А а {\displaystyle \mathbf {A_{a}} } а я дж {\displaystyle a_{ij}}

а я дж = { 1 , если ток в ветви  дж  оставляет узел  я 1 , если ток в ветви  дж  входит в узел  я 0 , в противном случае {\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{если ток в ветви}}j{\text{ покидает узел}}i\\-1,&{\text{если ток в ветви}}j{\text{ входит в узел}}i\\0,&{\text{иначе}}\end{cases}}}

Узел отсчета или опорный узел вводится для представления среды и подключается ко всем динамическим узлам и терминалам. Матрица , в которой строка, содержащая элементы опорного узла, исключена, называется матрицей сокращенного инцидента. П 0 {\displaystyle P_{0}} ( н 1 ) × б {\displaystyle (n-1)\times b} А {\displaystyle \mathbf {A} } а 0 дж {\displaystyle a_{0j}} П 0 {\displaystyle P_{0}}

Законы сохранения (ЗС) в векторно-матричной форме:

А Ф = 0 {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0} }

Условие единственности потенциалов (КВЛ) в векторно-матричной форме:

Вт = А Т ж {\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w} }

где - абсолютные потенциалы в узлах относительно опорного узла . ж к {\displaystyle w_{k}} П 0 {\displaystyle P_{0}}

Доказательство

Использование КВЛ:

Вт Т Ф = ( А Т ж ) Т Ф = ( ж Т А ) Ф = ж Т А Ф = 0 {\displaystyle {\begin{align}\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{align}}}

потому что по KCL. Итак: А Ф = 0 {\displaystyle \mathbf {AF} =\mathbf {0} }

к = 1 б Вт к Ф к = Вт Т Ф = 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0}

Приложения

Аналоги сетей были построены для широкого спектра физических систем и оказались чрезвычайно полезными при анализе их динамического поведения. Классической областью применения теории сетей и теоремы Теллегена является теория электрических цепей. Она в основном используется для проектирования фильтров в приложениях обработки сигналов.

Более позднее применение теоремы Теллегена относится к области химических и биологических процессов. Предположения для электрических цепей (законы Кирхгофа) обобщены для динамических систем, подчиняющихся законам необратимой термодинамики. Топология и структура сетей реакций (механизмы реакций, метаболические сети) могут быть проанализированы с помощью теоремы Теллегена.

Другим применением теоремы Теллегена является определение стабильности и оптимальности сложных технологических систем, таких как химические заводы или системы добычи нефти. Теорема Теллегена может быть сформулирована для технологических систем, использующих узлы процесса, терминалы, потоковые соединения и допускающих стоки и источники для производства или уничтожения обширных количеств.

Формулировка теоремы Теллегена о системах процессов:

дж = 1 н П Вт дж г З дж г т = к = 1 б Вт к ф к + дж = 1 н П ж дж п дж + дж = 1 н т ж дж т дж , дж = 1 , , н п + н т {\displaystyle \sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{b}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}}

где — производственные термины, — терминальные соединения, а — динамические термины хранения для экстенсивных переменных. п дж {\displaystyle p_{j}} т дж {\displaystyle t_{j}} г З дж г т {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}}

Ссылки

Встроенные ссылки
  1. ^ Теллеген, BDH (1952). «Общая сетевая теорема с приложениями». Philips Research Reports . 7 : 259–269 .
  2. ^ Пенфилд, П. (1970). "Обобщенная форма теоремы Теллегена" (PDF) . IEEE Transactions on Circuit Theory . CT-17 (3): 302– 305. doi :10.1109/TCT.1970.1083145 . Получено 8 ноября 2016 г. .
  3. Теорема Теллегена и электрические сети Пола Пенфилда-младшего, Роберта Спенса и Саймона Дуинкера, The MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1970
Общие ссылки
  • Базовая теория цепей, автор CA Desoer и ES Kuh, McGraw-Hill, Нью-Йорк, 1969
  • «Теорема Теллегена и термодинамические неравенства», GF Oster и CA Desoer, J. Theor. Biol 32 (1971), 219–241
  • «Сетевые методы в моделях производства», Дональд Уотсон, Networks , 10 (1980), 1–15
  • Пример схемы для теоремы Теллегена
  • GF Oster и CA Desoer, Теорема Теллегена и термодинамические неравенства
  • Сетевая термодинамика
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tellegen%27s_theorem&oldid=1260319687"