Вихрь Тейлора–Грина

В гидродинамике вихрь Тейлора–Грина — это нестационарный поток затухающего вихря , который имеет точное замкнутое решение несжимаемых уравнений Навье–Стокса в декартовых координатах . Он назван в честь британского физика и математика Джеффри Ингрэма Тейлора и его коллеги А. Э. Грина . ^[1]

В оригинальной работе Тейлора и Грина ^[1] конкретный поток анализируется в трех пространственных измерениях, причем три компонента скорости во времени задаются формулой${\displaystyle \mathbf {v} = (u,v,w)}$${\displaystyle т=0}$

${\displaystyle u=A\cos ax\sin by\sin cz,}$

${\displaystyle v=B\sin ax\cos by\sin cz,}$

${\displaystyle w=C\sin ax\sin by\cos cz.}$

Уравнение непрерывности определяет, что . Затем поведение потока в малых временных интервалах находится путем упрощения несжимаемых уравнений Навье–Стокса с использованием начального потока для получения пошагового решения с течением времени.${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$${\displaystyle Аа+Бб+Сс=0}$

Точное решение в двух пространственных измерениях известно и представлено ниже.

Уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости при отсутствии объемной силы и в двух пространственных измерениях имеют вид

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right).}$

Первое из приведенных выше уравнений представляет собой уравнение непрерывности , а два других — уравнения импульса.

В области решение дается выражением${\displaystyle 0\leq x,y\leq 2\pi }$

${\ displaystyle u = \ sin x \ cos y \, F (t), \ qquad \ qquad v = - \ cos x \ sin y \, F (t),}$

где , являясь кинематической вязкостью жидкости. Следуя анализу Тейлора и Грина ^[1] для двумерной ситуации, и для , дает согласие с этим точным решением, если экспонента разложена в ряд Тейлора , т.е. .${\displaystyle F(t)=e^{-2\nu t}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle А=а=б=1}$${\displaystyle F(t)=1-2\nu t+O(t^{2})}$

Поле давления можно получить, подставив решение скорости в уравнения импульса, и оно определяется как${\displaystyle p}$

${\displaystyle p={\frac {\rho}{4}}\left(\cos 2x+\cos 2y\right)F^{2}(t).}$

Функция тока решения вихря Тейлора–Грина, т.е. которая удовлетворяет для скорости потока , равна${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\sin x\sin yF(t)\,{\hat {\mathbf {z} }}.}$

Аналогично, завихренность , которая удовлетворяет , определяется выражением${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {\omega } }}=\nabla \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {\omega } }}=2\sin x\sin y\,F (t) {\hat {\mathbf {z} }}.}$

Решение вихря Тейлора–Грина может быть использовано для тестирования и проверки временной точности алгоритмов Навье–Стокса. ^{[2] [3]}

Обобщение решения вихря Тейлора–Грина в трех измерениях описано в ^{[4] .}