Обсуждение:Ковариантность и контравариантность векторов

Эта статья имеет рейтинг B-класса по шкале оценки контента Википедии . Она представляет интерес для следующих WikiProjects :

Математика Высокий приоритет Эта статья находится в рамках WikiProject Mathematics , совместных усилий по улучшению освещения математики в Википедии. Если вы хотите принять участие, посетите страницу проекта, где вы можете присоединиться к обсуждению и увидеть список открытых задач.Математика Википедия:WikiProject Mathematics Шаблон:WikiProject Mathematics математика Высокий Данная статья имеет высокий приоритет по шкале приоритетов проекта .

Archives

1

This page has archives. Sections older than 365 days may be automatically archived by Lowercase sigmabot III when more than 10 sections are present.

Насколько я понимаю, вектор сам по себе (т. е. не его представление) не является ни ковариантным, ни контравариантным. Вместо этого ковариантность или контравариантность относятся к заданному представлению вектора в зависимости от используемого базиса. Например, можно записать один и тот же вектор любым способом, как, . Я думаю, что этот момент (в дополнение к теме дисперсии в целом) может быть как тонким, так и запутанным для людей, впервые изучающих эти темы, и поэтому терминологию следует использовать очень осторожно, последовательно и строго. Я попытался изменить часть терминологии в статье, чтобы сказать «векторы с ковариантными компонентами» вместо «ковариантных векторов» (например), но это было отменено как неточное. Поэтому я хотел открыть обсуждение на случай, если я ошибаюсь или другие не согласны. @JRSpriggs. Zhermes ( talk ) 16:45, 2 января 2020 (UTC) [ ответить ]${\displaystyle {\vec {A}}=a^{i}e_{i}=a_{i}e^{i}}$

У меня есть несколько учебников, описывающих ковариантность и контравариантность тензоров. Большинство из них ссылаются на сами тензоры как на имеющие эти свойства; однако некоторые из них указывают, что эти свойства применяются только к компонентам и что тензоры инвариантны . Я склонен согласиться с последним, то есть, что изменяются только компоненты, а не тензоры. Я думаю, что мы должны указать в статье две вещи: 1. то, что мы считаем правильным выражением, и 2. тот факт, что некоторые учебники говорят иначе. Я могу предоставить цитаты.— Anita5192 ( talk ) 17:54, 2 января 2020 (UTC) [ ответить ]

Главное, что нужно понять, — это то, что различие между «ковариантным» и «контравариантным» имеет смысл только для векторных полей в контексте предпочтительного касательного расслоения над базовым многообразием.

В противном случае все структуры можно было бы назвать просто «векторами», а выбор того или иного базиса был бы совершенно произвольным.

Итак, ограничиваясь структурами, построенными из касательного расслоения, векторы в самом касательном расслоении называются «контравариантными», а векторы в дуальном или кокасательном расслоении называются «ковариантными». Тензорные произведения касательных и кокасательных расслоений могут иметь как ковариантные, так и контравариантные свойства (в зависимости от рассматриваемого индекса). JRSpriggs ( talk ) 02:13, 3 января 2020 (UTC) [ reply ]

Боюсь, что в строгом смысле здесь задействованы два различных значения, и если мы их не различим, возникнет путаница. Одно из них — это описание компонентов, упомянутое выше, а значение, используемое JRSpriggs, по сути означает «является элементом (ко)касательного расслоения». Первое имеет смысл в контексте векторного пространства и его дуального пространства, независимо от того, связаны ли они с многообразием. К сожалению, тексты часто смешивают тензор с его компонентами относительно базиса. Я ожидаю, что интерпретация «контравариантного вектора» как «элемента касательного расслоения» возникает именно из этого смешения и ее следует избегать (есть лучший термин: «векторное поле») в пользу ограничения его использования описанием поведения компонентов относительно изменений базиса. Если вы сомневаетесь в путанице, подразумеваемой в смешанном использовании терминов, рассмотрите эту головоломку: набор компонентов вектора контравариантен (преобразуется как обратное преобразование базиса), тогда как базис (кортеж векторов) ковариантен (преобразуется как преобразование базиса по определению, в первом смысле), однако мы бы описали элементы базиса как контравариантные (в смысле принадлежности к касательному пространству), сделав их одновременно «ковариантными» и «контравариантными». Давайте не будем вносить такую ​​путаницу в статью и ограничим ее значение (несомненно, исходным) смыслом. — Quondum 18:06, 31 марта 2020 (UTC) [ ответить ]

У меня был точно такой же вопрос, который я открыл в math stackexchange. Пока я не получил удовлетворительного ответа. Надеюсь, кто-нибудь поднимет эту ветку и продолжит обсуждение. https://math.stackexchange.com/questions/4297246/conceptual-difference-between-covariant-and-contravariant-tensors — Предыдущий неподписанный комментарий добавлен 99.62.6.96 (обсуждение) 05:24, 29 декабря 2021 (UTC) [ ответить ]

Я немного запутался: в этой статье градиент рассматривается как яркий пример «ковариантного вектора», но в статье Gradient утверждается, что это контравариантный вектор. Что правильно? (Извините, если это не то место, где я спрашиваю) -- 93.25.93.82 (обсуждение) 19:56, 7 июля 2020 (UTC) [ ответить ]

Немного подумав, я, кажется, понял, откуда взялось мое замешательство: градиент функции ковариантен относительно входного базиса, но контравариантен относительно выходного базиса. Является ли это допустимой интерпретацией? Если да, то, возможно, это можно было бы прояснить в начале статьи. -- 93.25.93.82 (обсуждение) 20:08, 7 июля 2020 (UTC) [ ответить ]

Я не понимаю ваш второй комментарий. Статья о градиенте неверна, потому что она выбирает первичное значение как то, которое включает метрику (т.е. скалярное произведение), а не то, которое является просто производной. JRSpriggs ( talk ) 07:31, 9 июля 2020 (UTC) [ ответить ]

Я подкрепляю свою позицию ссылкой на книгу «Гравитация», стр. 59. JRSpriggs ( обсуждение ) 05:12, 15 июля 2020 (UTC) [ ответить ]

Я имел в виду, что если градиент рассматривается как линейная форма, скажем, например, от до , и (соответственно ) является обратимой матрицей, соответствующей изменению базиса в (соответственно изменению в ), то будет выражен в базисах и как (предполагая, конечно, что изначально была выражена как матрица-строка в базисах и ). — Предыдущий комментарий без знака добавлен 93.25.93.82 (обсуждение) 13:03, 10 июля 2020 (UTC)${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle M\in GL_{3}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle N\in GL_{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle B\rightarrow B'}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle C\rightarrow C'}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle B'}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle N^{-1}gM}$${\displaystyle g}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$[ отвечать ]

Я считаю, что 1) маловероятно, что автор этой части прав, а все остальные, кто пишет по этой теме, ошибаются, и 2) совершенно очевидно, что градиент ковариантен. Если температура жидкости падает на 1 градус на метр (градиент температуры), то она упадет на десять градусов на десять метров, поэтому, если вы измените единицу измерения с одного метра на 10 метров, градиент температуры (изменение в градусах на единицу расстояния) также умножится на 10. Если автор части «на самом деле градиент контравариантен» потрудится включить этот простой пример в свою и объяснить, почему они получают другой результат, возможно, это будет полезно. 203.13.3.93 ( talk ) 03:38, 29 января 2024 (UTC) [ ответить ]$${\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{i}(\nabla f)^{i}=\mathbf {e} _{i}\delta _{j}^{i}(\nabla f)^{j}=\mathbf {e} _{i}(T)_{k}^{i}(T^{-1})_{j}^{k}(\nabla f)^{j}\ ,}$$

Существует два различных соглашения для cpвариантности и контравариантности; одно отдает приоритет ковекторам (дифференциальным формам), а другое отдает приоритет векторам. Градиент скалярного поля является ковекторным полем; если vctors ковариантны, то он контравариантен, а если векторы контравариантны, то он коватиантен. Я не помню, какое соглашение использует "Texas Telephone Directory" (MTW). -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( talk ) 15:15, 29 января 2024 (UTC) [ ответить ]

Я думаю, что некоторые комментарии здесь путают, основанные на том факте, что градиент функции на R3 можно интерпретировать одинаково хорошо как ковариантный или контравариантный вектор, потому что R3 имеет каноническую риманову метрику. На более общем пространстве производная функции является ковариантной (т. е. 1-формой), и если есть метрика, ее можно преобразовать, в зависимости от конкретной метрики, в контравариантную (т. е. касательный вектор). В общем использовании первый называется дифференциалом функции, а второй — градиентом. Gumshoe2 ( talk ) 15:55, 29 января 2024 (UTC) [ reply ]

В настоящее время: «С другой стороны, например, тройка, состоящая из длины, ширины и высоты прямоугольного блока, может составлять три компонента абстрактного вектора, но этот вектор не будет контравариантным, поскольку изменение координат в пространстве не меняет длину, ширину и высоту блока: вместо этого это скаляры». Я думаю, что это бесполезно, поскольку нет очевидного смысла для векторного пространства блока [длина, ширина, высота]. Чему соответствуют масштабирование векторов и сложение векторов? Предлагаю удалить этот пример. Intellec7 ( обсуждение ) 05:19, 28 августа 2020 (UTC) [ ответ ]

Хорошо. Продолжайте и удалите это предложение. JRSpriggs ( обсуждение ) 14:47, 28 августа 2020 (UTC) [ ответить ]

Если у вас есть базис в трехмерном евклидовом пространстве, вы можете построить координаты данной точки, проведя линии через точку параллельно каждому базисному вектору. Эти линии будут пересекаться друг с другом, и расстояние точки пересечения от начала координат, деленное на длину соответствующего базисного вектора, дает вам ковариантные компоненты . Но как построить координаты относительно дуального базиса  ???? 2003:E7:2F3B:B0D8:11C:4108:841E:BA24 (обсуждение) 07:00, 17 апреля 2021 г. (UTC) [ ответить ]${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Слово «скаляр» используется на странице для обозначения чего-то, что умножает единичный вектор. Но скаляр должен быть свободным от координат или калибровочно-инвариантным или инвариантным к изменениям координат. Величины, которые умножают единичные векторы, не обладают этим свойством, поскольку единичные векторы изменяются (и, следовательно, компоненты векторов изменяются) при изменении координат. -- Дэвид В. Хогг ( обсуждение ) 12:58, 16 мая 2021 (UTC) [ ответ ]

Я пытался это исправить. Дайте мне знать, если проблема все еще есть. JRSpriggs ( talk ) 18:26, 16 мая 2021 (UTC) [ ответить ]

А как насчет скалярных плотностей (или, если ссылаться на работу из конкретного примера, «плотности» как в кг/м^3)? Это тензоры нулевого ранга (или тензорные поля), но тем не менее они ковариантны. Не могу вспомнить название, но один текст, который я читал, предполагает, что у вас также может быть «скалярная емкость», которая также может быть полем, которое является контравариантным скаляром. — Предыдущий комментарий без знака добавлен 203.13.3.89 ( обсуждение ) 03:26, 29 января 2024 (UTC)[ отвечать ]

У меня есть некоторые «проблемы» с основным жаргоном, используемым в этой статье. Я хотел бы помочь улучшить ее; но я не хочу начинать войну редактирования. Поэтому позвольте мне прощупать почву несколькими комментариями:

Векторы и ковекторы — это не одно и то же. И они оба инвариантны относительно (собственного, обратимого) линейного преобразования. (Примечание: это пассивная/псевдонимная точка зрения преобразований). Семантическая ошибка — говорить, что вектор контравариантен (или что ковектор ковариантен). Ко/векторы и тензоры в целом инвариантны относительно линейных преобразований. Если пространство имеет метрику, то можно «преобразовать» вектор в ковектор и наоборот . Но существование метрики не обязательно и, по сути, сбивает людей с толку, заставляя думать, что векторы и ковекторы взаимозаменяемы. Это не так. Векторы — это линейные приближения кривых, определяемых пересечением координатных функций; ковекторы — это линейные функциональные приближения к (гипер)поверхностям уровня одной координатной функции. Рисунок в верхней части статьи как бы намекает на это, но затем искажает сообщение, накладывая стрелочные величины на величины уровня поверхности с правой стороны. Жаль. Уберите эти синие стрелки, и у вас будет правильное гордое представление ковекторов в кобазисе.${\displaystyle n-1}$

Ко/контравариантность — это свойство компонентов и базисных элементов. Для вектора компоненты контравариантны, а базисные векторы ковариантны; для ковектора компоненты ковариантны, а базисные ковекторы контравариантны. В любом случае, когда вы сворачиваете компоненты с базисом — один из которых ковариантен, а другой контравариантен — вы получаете инвариантную величину, как и требуется от тензора.${\displaystyle (\mathbf {v} )}$${\displaystyle (v^{i})}$${\displaystyle (\mathbf {e} _{i})}$${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }})}$${\displaystyle (\omega _{i})}$${\displaystyle (\mathbf {e} ^{i})}$

Я не буду пытаться определить/защищать здесь (пока ;-) то, что означает ко/контра-вариант. (Внимание, спойлер: контра -вариантные величины преобразуются как якобиан преобразования координат; ко- вариантные величины преобразуются как обратный якобиан; это кажется обратным тому, чего я, например, ожидал бы от концепций ко- и контра- ; но это то, что есть!)

Всем, кто имеет право на эту статью: если эти комментарии имеют смысл и кажутся стоящими того, чтобы тратить время на редактирование статьи, пожалуйста, дайте мне знать, и я постараюсь сотрудничать. С другой стороны, если вы считаете, что эти различия не имеют значения — или, что еще хуже, ошибочны — то я отступлю.--ScriboErgoSum ( talk ) 08:25, 15 ноября 2021 (UTC) [ ответить ]

Статья описывает ковариацию и контравариацию в терминах координат и компонентов, перспектива, которая довольно устарела. Термины имеют значение, независимое от выбора базиса или координат, и статья должна это отражать. В литературе много вариаций, но по сути есть три стиля:

1. Определите касательное и кокасательное расслоения независимо, затем докажите двойственность.
   1. Авторы часто определяют касательные векторы как классы эквивалентности кривых, проходящих через точку.
   2. Авторы часто определяют котангенсивные векторы на языке микробов .
2. Определим касательное расслоение, определим кокасательное пространство в точке как двойственное к касательному пространству в этой точке, а затем определим кокасательное расслоение.
3. Определим кокасательное расслоение, определим касательное пространство в точке как двойственное к кокасательному пространству в этой точке, а затем определим касательное расслоение.

Затем тензоры можно определить как тензорные произведения или как мультилинейные отображения. Обычно тензоры просто классифицируют по ковариантным и контравариантным рангам, но если задействована (псевдо)метрика, то порядок имеет значение из-за повышения и понижения индексов. -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 11:32, 1 марта 2022 (UTC) [ ответ ]

В этой статье в основном описываются тензоры; то, что вы описываете, — это тензорное поле . Но, если принять вашу точку зрения, на этой странице должен быть раздел для языка тензорного произведения. Тем не менее, нет необходимости выбирать один путь вместо другого. (Я возражаю против идеи, что базы и координаты датируются.) Gumshoe2 ( talk ) 07:26, 13 марта 2022 (UTC) [ ответить ]

В статье Tensors содержится большой объем материала , который не относится к ней, а должен быть в Tensor fields . Различие между ковариантным и контравариантным действительно актуально только для тензорных полей на многообразии, но пока оно есть в этой статье, текст должен отражать ее характер.

Я не говорил, что координаты и базы датированы, а скорее то, что определение, например, тензора, коварианта, в терминах координат и баз, а не внутренне датировано. -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 12:51, 13 марта 2022 (UTC) [ ответ ]

Я согласен, что определение тензорного произведения должно быть приведено здесь, но я думаю, что его следует привести вместе с настоящим. Почему вы говорите, что ко(/нтра)вариантность имеет значение только для тензорных полей? Конечно, существует различие между элементом векторного пространства и элементом дуального векторного пространства, например. Gumshoe2 ( talk ) 17:37, 13 марта 2022 (UTC) [ ответить ]

Упс! Да, конечно, есть разница между V и V* для абстрактного векторного пространства V , а не только для касательных пространств. -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 19:21, 13 марта 2022 (UTC) [ ответ ]

Я добавляю это (26.03.2022), не читая нижеследующее, потому что у меня есть комментарий к разделу определений. У нас есть f = ( X ₁ , ..., X _n ), где каждый из X является базисным вектором. Я собирался добавить замечание, в котором говорилось, что это делает f матрицей, и действительно, она используется как матрица в ненумерованном уравнении v = f v [ f ]. Я решил не добавлять этот комментарий, поскольку он противоречит примечанию 1. В примечании, предшествующем уравнению 1, говорится «рассматривая f как вектор-строку, элементы которой являются элементами базиса». Возможно, я наивен, но я нахожу это довольно запутанным, поскольку я всегда считал матрицы и векторы разными объектами. Если f следует рассматривать как вектор-строку, но с каждым элементом — базисным вектором, а не просто числом (как обычно думают о векторах), это нужно объяснить. Если примечание неверно, то его следует удалить. — Предыдущий неподписанный комментарий добавлен 76.113.29.12 (обсуждение • вклад ) 14:45, 26 марта 2022 (UTC) [ ответить ]

Я удалил шаблон. Иногда при работе с матрицами полезно рассматривать матрицу как вектор-столбец векторов-строк или вектор-строку векторов-столбцов. В этом смысле вектор — это просто список некоторого объекта, хотя его записи не являются строго из поля. Я склонен согласиться с вашим уровнем критического анализа, который, если его применить, потребовал бы, чтобы мы не использовали слово вектор (см. здесь). Формулировку вектора можно было бы изменить на список, но я не думаю, что это было бы полезным изменением и на самом деле могло бы быть немного вредным, поэтому я оставляю ее. 69.166.46.156 ( talk ) 19:35, 25 апреля 2022 (UTC) [ ответить ]

Следует ли в статье обсуждать относительные векторы, преобразование которых включает в себя степень определителя преобразования как фактор? На более современном языке это тензорные произведения векторов с тензорными плотностями или для ориентируемых многообразий — поднятия линейных расслоений . — Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя:Chatul ( обсуждение ) 14:31, 13 ноября 2023 (UTC) [ ответить ]

Кажется, это хорошее место для этого. Обратите внимание, что в тензоре есть некоторый контент о тензорных плотностях, который использует обозначения, совместимые с этой статьей. Тито Омбуро ( обсуждение ) 22:31, 15 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

@ JRSpriggs : В permalink/1233199815 я изменил 3 -мерные общие криволинейные координаты ( q ¹ , q ² , q ³ ) , кортеж чисел, чтобы определить точку в позиционном пространстве . Обратите внимание, что базис и кобазис совпадают только тогда, когда базис ортогонален 3 - мерным общим криволинейным координатам ( q ¹ , q ² , q ³ ) , кортежу чисел, чтобы определить точку в позиционном пространстве . Обратите внимание, что базис и кобазис совпадают только тогда, когда базис ортонормален . В permalink /1233348907 JRSpriggs вернулся к последней версии Дерека Фарна, отменив правки 76.116.252.35, меня и Антони Пареллады. Ортогональность не является достаточно сильным условием для совпадения базиса и кобазиса; они должны быть как ортогональны, так и иметь норму 1, т. е. ортонормальны . -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 14:33, 12 июля 2024 (UTC) [ ответ ]

Согласен, что это должно быть ортонормально. Кажется, ошибочное утверждение было там без возражений с 09:11, 3 сентября 2012 года, со ссылкой на надежный источник (но без номера страницы). У меня нет копии этой книги, поэтому я не могу сказать, было ли оно неправильно истолковано, и мне не нужно предоставлять надежный источник из моего собственного. @ Chatul , у вас есть надежный источник для этого? Кстати, ортонормальность уже упоминается в статье, в последнем предложении подраздела « Трехмерное евклидово пространство ».  Dr Greg  talk   17:52, 12 июля 2024 (UTC) [ ответить ]

Я исправил его и добавил {{ specify }} . MTW — безупречный источник, но быстрый поиск в моей версии dead tree не дал ничего подходящего; я проверю индекс на предмет dual base и Tetrad .

Мне хотелось добавить {{ cn }} в § Трехмерное евклидово пространство , но я подумал, что BLUESKY может подойти. -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 06:53, 14 июля 2024 (UTC) [ ответить ]