Talk:Каталонское число

Эта статья уровня 5 жизненно важна и имеет рейтинг C-класса по шкале оценки контента Википедии . Она представляет интерес для следующих WikiProjects :

Математика Средний приоритет Эта статья находится в рамках WikiProject Mathematics , совместных усилий по улучшению освещения математики в Википедии. Если вы хотите принять участие, посетите страницу проекта, где вы можете присоединиться к обсуждению и увидеть список открытых задач.Математика Википедия:WikiProject Mathematics Шаблон:WikiProject Mathematics математика Середина Данная статья имеет средний уровень приоритетности по шкале приоритетов проекта . Это избранная статья на Математическом портале . Числа Эта статья находится в рамках WikiProject Numbers , совместных усилий по улучшению освещения Numbers в Википедии. Если вы хотите принять участие, посетите страницу проекта, где вы можете присоединиться к обсуждению и увидеть список открытых задач.NumbersWikipedia:WikiProject NumbersTemplate:WikiProject NumbersNumbers ??? This article has not yet received a rating on the project's importance scale.

Нужно получить номер страницы, ISBN для ссылки на перечислительную комбинаторику, том 2, и, возможно, написать еще несколько примеров оттуда. Dmharvey 19:07, 31 мая 2005 (UTC) [ ответить ]

Первую формулу, сопровождающую обсуждение четверного факториала, можно сделать более понятной, если использовать скобки, например, (2n)!/n! вместо 2n!/n!. Я знаю, что при небольшом размышлении это становится очевидным, но поскольку факториал имеет приоритет над умножением, это зацепило меня на мгновение. Кстати, это очень хорошая статья. :)

• Производящая функция на самом деле довольно легко выводит формулу для C_n, используя биномиальную формулу для квадратного корня. Это действительно должно быть описано где-то как "производящая функция доказательства формулы"; тогда раздел "Доказательство формулы" должен быть переименован в "Биективные доказательства формулы".
• Необходимо где-то упомянуть проблему голосования , которая является обобщением многих идей в этой статье.
• Как звали Андре? Я не могу понять.
• Необходимо добавить эту ссылку:

Д. Андре, Примечание: Исчисление вероятностей. Решение прямой проблемы, решаемой М. Бертраном, Comptes Rendus de l'Academie des Sciences, Париж, том 105 (1887), с. 436., где впервые был использован принцип отражения (кажется?)

• Я помню, как давным-давно читал (не помню, где), что первое обсуждение «превосходства» было в вероятностной обстановке. Рассмотрим игру в подбрасывание монеты между A и B. Они подбрасывают монету 2n раз. Орел дает A очко, решка дает B очко. Теперь, учитывая , что каждый из них выигрывает n подбрасываний, какова вероятность того, что A не опережает B в любой момент игры? Вы также можете спросить, для любого k от 0 до n включительно, какова вероятность того, что A опережает B ровно на k ходов? (вам нужно быть немного осторожнее с тем, как именно вы определяете, когда A опережает.) Дело в том, что было показано, что ответ не зависит от k, и поэтому должен быть равен 1/(n+1), что априори является довольно неожиданным результатом. Было бы неплохо упомянуть об этом в разделе «История», но подробности нужно найти.
• Мои объяснения двух биективных доказательств немного многословны. Кто-нибудь, пожалуйста, напишите их лучше. Спасибо.
• Приведите примеры/изображения для некоторых других перечисленных комбинаторных интерпретаций.
• Добавьте больше комбинаторных интерпретаций; осталось еще много интересных и доступных. У меня нет под рукой копии EC vol 2.

Dmharvey 12:07, 1 июня 2005 (UTC)

Я удалил следующее из раздела «История».

Было показано, что число возможных интерпретаций предложения, зависящее от числа предложных групп («он увидел человека на холме с телескопом »), представляет собой каталонский числовой ряд.

Это не относится к Истории. Возможно, это относится к списку комбинаторных приложений. Но качество текста нужно улучшить, и я не совсем понимаю, о чем речь. Dmharvey Talk 17:11, 6 июня 2005 (UTC)

Это всего лишь число бинарных деревьев разбора. Не особенно интересно, учитывая, что равноразборные предложения с различными значениями в любом случае весьма искусственны. EdC 10:41, 21 июля 2006 (UTC) [ ответить ]

Мин Ань-ту открыл их раньше, но они были опубликованы в 1839 году. 24.203.251.69 03:27, 31 октября 2005 (UTC) [ ответить ]

Я создал изображение сетки 3x3 в SVG для статьи в испанской Википедии:

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Catalan_number_3x3_grid_example.svg

Я не знаю о лицензировании, но я хочу выпустить его в общественное достояние как тривиальную работу. Надеюсь, это будет полезно. Спасибо.

Как архитектор я пытаюсь понять вещи с помощью графики. Смотрите: http://home.versateladsl.be/vt649464/TrapVeelhNummering.PDF Если кто-то хочет использовать это, я могу дать версию без текста.--Bleuprint ( обсуждение ) 05:12, 8 февраля 2008 (UTC) [ ответить ]

В списке TODO выше Дмхарви написал:

Необходимо где-то упомянуть проблему голосования , которая является обобщением многих идей в этой статье.

Я добавил теорему Бертрана о голосовании в раздел «См. также», конечно, стоит включить еще некоторые подробности. -- Kompik 11:28, 11 марта 2006 (UTC) [ ответить ]

Есть ли у кого-нибудь ссылки на эту штуку с ганкелевскими матрицами? Спасибо. Dmharvey 11:15, 31 мая 2006 (UTC) [ ответить ]

Да. Во-первых, позвольте мне сказать, что я ничего не знаю об уникальности такой серии, только то, что эта серия имеет преобразование Ханкеля, состоящее из всех единиц. Я расскажу только о том, почему преобразование Ханкеля этой последовательности состоит из всех единиц.

Я прочитал об этом свойстве в статье OEIS о числах Каталонии. Мне стало любопытно, и я начал искать доказательство. Эта статья ссылается на статью JW Layman, The Hankel Transform and Some of its Properties, J. Integer Sequences, 4 (2001), #01.1.5. В той статье также говорится, что последовательность Каталонии обладает этим свойством, и хотя она не дает полного доказательства, она дает ценную подсказку, как его найти.

Я дал это свойство как задачу на курсе, поэтому мне пришлось вывести полное доказательство, но я никогда не записывал доказательство полностью, поэтому мне потребовалось некоторое время, чтобы восстановить доказательство из моей старой тетради и памяти. Поскольку я считаю, что это примечательное свойство и доказательство, я рад, что вы спросили об этом, поэтому я, наконец, запишу доказательство. Кстати, списки задач для этого курса доступны на моей домашней странице: эта задача номер 5 в серии 7 семестра 4 (осенний семестр 2005/2006).

Сейчас я набросаю доказательство. Основная идея (из статьи) в том, что мы найдем LU-разложение матрицы Ганкеля, поскольку по ним легко вычислить определитель. Если провести разложение на компьютере для некоторых матриц, то легко угадать общее утверждение.

Пусть будет матрицей Ганкеля, образованной числами Каталана: (обратите внимание, что мы нумеруем строки и столбцы здесь с 0). Эта матрица выглядит следующим образом:${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle h_{k,l}=C_{k+l}}$

 1 1 2 5 14 42 132 1 2 5 14 42 132 429 2 5 14 42 132 429 1430 5 14 42 132 429 1430 4862 14 42 132 429 1430 4862 16796 42 132 429 1430 4862 16796 58786 132 429 1430 4862 16796 58786 208012

Теперь давайте определим каталонский треугольник следующим образом: — это число путей прямых и восходящих сегментов, которые всегда остаются ниже диагонали от начальной точки (т.е. ни один префикс пути не имеет больше восходящих сегментов, чем правых). Тогда, очевидно, . Каталонский треугольник обладает некоторыми интересными свойствами, об одном из которых я напишу позже. Треугольник выглядит так:${\displaystyle c_{k,l}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle C_{n}=c_{n,n}}$

 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 3 5 5 0 0 0 0 0 0 1 4 9 14 14 0 0 0 0 0 1 5 14 28 42 42 0 0 0 0 1 6 20 48 90 132 132 0 0 0 1 7 27 75 165 297 429 429 0 0 1 8 35 110 275 572 1001 1430 1430 0 1 9 44 154 429 1001 2002 3432 4862 4862

Теперь пусть будет матрица, которую мы получим из половины элементов из треугольника Каталана, например, такая: . выглядит так:${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle s_{u,w}=c_{u+w,u-w}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$

 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2 3 1 0 0 0 0 5 9 5 1 0 0 0 14 28 20 7 1 0 0 42 90 75 35 9 1 0 132 297 275 154 54 11 1

Я утверждаю, что . Для этого нам нужно доказать, что . Теперь — это, по определению, число путей правых и восходящих сегментов, которые находятся под главной диагональю, что означает, что ни один из его префиксов не имеет больше восходящих, чем правых сегментов, и также что ни один из его суффиксов не имеет больше правых, чем верхних сегментов. Давайте разделим этот путь на первую часть, которая длинная, и вторую, которая длинная. Пусть — число правых сегментов в первой части пути. Тогда, очевидно, положительно, потому что эта часть является префиксом, и эта часть имеет восходящие сегменты. Кроме того, вторая часть пути имеет правые сегменты и восходящие сегменты, и все суффиксы этой части имеют не более одного и того же числа восходящих сегментов, чем указывающих направо. Также легко увидеть, что если первая часть пути не имеет больше сегментов вверх, чем вправо в любом из своих префиксов, а вторая часть пути не имеет больше сегментов вправо, чем вверх в любом из своих суффиксов, мы можем объединить эти две части в допустимый путь, который остается под диагональю. Таким образом, мы можем вычислить, умножив количество допустимых первых частей и количество допустимых вторых частей, и суммируя это произведение для каждого . Количество допустимых первых частей по определению равно . Чтобы вычислить количество вторых частей, мы должны отразить их, поэтому поменять порядок путей в нем на обратный и заменить пути вверх на правые и наоборот. Тогда у нас есть путь, который имеет сегменты, указывающие вправо, и сегменты, указывающие вверх, и каждый из префиксов которого имеет не меньше правых сегментов, чем верхних. Количество таких путей равно , поэтому матричное уравнение действительно верно.${\displaystyle \mathbf {S} \mathbf {S} ^{\textrm {T}}=\mathbf {H} }$${\displaystyle C_{u+v}=\sum _{w}s_{u,w}s_{v,w}=\sum _{0\leq w\leq \max(u,v)}c_{u+w,u-w}c_{v+w,v-w}}$${\displaystyle C_{u+v}}$${\displaystyle u+v}$${\displaystyle u+v}$${\displaystyle 2u}$${\displaystyle 2v}$${\displaystyle u+w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle u-w}$${\displaystyle v-w}$${\displaystyle v+w}$${\displaystyle C_{u+v}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle c_{u+w,u-w}}$${\displaystyle v+w}$${\displaystyle v-w}$${\displaystyle c_{v+w,v-w}}$

Теперь заметьте, что если и , то это треугольная матрица со всеми единицами на диагонали. Таким образом, , таким образом, действительно , что мы и хотели доказать.${\displaystyle s_{u,v}=0}$${\displaystyle u<v}$${\displaystyle s_{u,u}=1}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \det(\mathbf {S} )=1}$${\displaystyle \det(\mathbf {H} )=\det(\mathbf {S} )\det(\mathbf {S} ^{\textrm {T}})=1}$

Доказательство того, что определитель матрицы Ганкеля, начинающийся с ,${\displaystyle C_{1}}$

 1 2 5 14 42 2 5 14 42 132 5 14 42 132 429 14 42 132 429 1430 42 132 429 1430 4862

также один почти такой же, как и выше. Разница в том, что вместо мы используем матрицу, определенную . Эта матрица содержит другую половину элементов, как это.${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle t_{u,w}=c_{u+w+1,u-w}}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 5 4 1 0 0 0 0 14 14 6 1 0 0 0 42 48 27 8 1 0 0 132 165 110 44 10 1 0 429 572 429 208 65 12 1

Наконец, позвольте мне попросить вас или любого другого, кто это читает, не стесняться исправлять ошибки или что-либо, что вам не нравится в этом встроенном доказательстве (в отличие от обычных сообщений на страницах обсуждения). Спасибо. – b_jonas 23:03, 31 июля 2006 (UTC) [ ответить ]

Я реагирую на это предложение: «Числа Каталана образуют уникальную последовательность с этим свойством». Это не может быть правдой, так как преобразование Ганкеля инвариантно относительно биномиального преобразования (см. статью о биномиальном преобразовании). —Предыдущий комментарий без знака , добавленный 84.215.177.45 (обсуждение) 15:46, 26 января 2011 (UTC)[ отвечать ]

Каталонское повторение

C(x)=СИГМА C(i) C(n-1)

не было решено должным образом. Квадратное уравнение появляется из ниоткуда. Может кто-нибудь объяснить, откуда оно взялось?

Это не "из ниоткуда", хотя объяснение не очень явное. Это происходит из понимания того, что сумма определяет произведение Коши . Я посмотрю, смогу ли я что-то добавить по этому поводу. Майкл Харди 20:43, 20 августа 2006 (UTC) [ ответить ]

Хорошо, я расширил этот раздел, добавив более неторопливый вывод квадратного уравнения. Майкл Харди 21:07, 20 августа 2006 (UTC) [ ответить ]

Можно ли объяснить, почему используется определенный корень квадратного уравнения вместо другого? В расширенной презентации это не является оправданием. —Предыдущий комментарий без знака , добавленный 207.46.55.31 ( обсуждение • вклад )

Я добавил подробное объяснение этого. Майкл Харди 02:07, 22 июня 2007 (UTC) [ ответить ]

Acortis (обс.) 18:45, 30 мая 2021 (UTC) Рекуррентное соотношение: не похоже на правильное!! [ ответить ]${\displaystyle C_{0}=1\quad {\text{and}}\quad C_{n+1}={\frac {2(2n+1)}{n+2}}C_{n}.}$

# питон С = {} С[0] = 1 для n в диапазоне (5): С[n+1] = 2*(2*n+1)//(n+2)*С[n] печать(С)

{0:1, 1:1, 2:2, 3:4, 4:8, 5:24}

Darcourse ( обсуждение ) 06:45, 20 июня 2021 (UTC) [ ответить ]${\displaystyle C_{n+1}={\frac {1}{n+2}}{\binom {2n+2}{n+1}}={\frac {(2n+2)(2n+1)}{(n+2)(n+1)^{2}}}{\binom {2n}{n}}={\frac {2(2n+1)}{(n+2)(n+1)}}{\binom {2n}{n}}={\frac {2(2n+1)}{n+2}}C_{n}}$

Возможно, эти две проблемы с каталонскими решениями уже есть в более сложных вещах в статье. Если нет, то относятся ли они к этому?

1. Сколькими способами можно расположить 2n упорядоченных объектов в матрице 2 x n так, чтобы элементы строго возрастали слева направо и сверху вниз? (иногда изображают фотографа, расставляющего 2n людей в 2 ряда так, чтобы высоты увеличивались слева направо и спереди назад)

2. Сколькими способами можно провести n непересекающихся диагоналей в 2n-угольнике? (Сколькими способами 2n человек, сидящих за круглым столом, могут пожать друг другу руки, не скрещивая их) Jd2718 18:00, 5 ноября 2006 (UTC) [ ответить ]

Они были добавлены.-- RDBury ( обсуждение ) 17:53, 8 февраля 2009 (UTC) [ ответ ]

${\displaystyle a\,}$

${\displaystyle a(a+b)=\,}$

${\displaystyle a(a+b)(a+b+c)=\,}$

${\displaystyle a(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d)=\,}$

${\displaystyle a\,}$

${\displaystyle ab+a^{2}\,}$

${\displaystyle abc+ab^{2}+ca^{2}+2ba^{2}+a^{3}\,}$

${\displaystyle a^{2}c^{2}+abcd+abc^{2}+adb^{2}+cda^{2}+ab^{3}+da^{3}+2acb^{2}+2bda^{2}+4bca^{2}+3a^{2}b^{2}+2ca^{3}+3ba^{3}+a^{4}\,}$

Сумма записей в каждой строке составляет Двадцать три тысячи ( обсуждение ) 16:36, 31 мая 2008 (UTC) [ ответ ]${\displaystyle n!\,}$

Что еще более важно, число членов равно C _n . Аналогично, число членов в разложении (a ₁ +a ₂ +...+a _k ) ⁿ равно . Оба эти утверждения можно доказать, сопоставив члены с решеточными путями.-- RDBury ( talk ) 18:28, 8 февраля 2009 (UTC) [ reply ]${\displaystyle {n+k-1 \choose n}}$

Куда нам следует направить читателя, который ввел «каталонские цифры» в строку поиска, чтобы узнать, как считать до десяти на каталонском ? -- Дэмиан Йеррик ( обсуждение | stalk ) 21:31, 23 августа 2008 (UTC) [ ответить ]

Вероятно, это каталонский язык#Числа , но его пока не существует.-- RDBury ( обсуждение ) 06:25, 4 января 2012 (UTC) [ ответить ]

На самом деле это шуточное упражнение в книге Стэнли, в котором ученику предлагается «Объяснить значение следующей последовательности: un, dos, tres, quatre, cinc, sis, set, vuit, nou, deu...» Miclugo ( обс. ) 20:21, 23 сентября 2022 (UTC) [ ответить ]

Метод отражения описан и здесь, и в теореме Бертрана о баллотировании . Я добавил более очевидную ссылку в статью; должна ли быть попытка объединения? Кроме того, не совсем неправильно называть это методом отражения Андре, у него была основная идея, но без части отражения. Отражения по сути являются лишь способом дать однозначное доказательство того, что .-- RDBury ( talk ) 17:11, 8 февраля 2009 (UTC) [ reply ]${\displaystyle {2n \choose n-1}={2n \choose n+1}}$

В статье говорится, что "Слово Dyck — это строка... такая, что ни один начальный сегмент строки не имеет больше Y, чем X", затем приводится несколько примеров, включая XXXYYY. Но: X, XX, XXX, XXXY — все начальные сегменты XXXYYY, и каждый из них имеет больше X, чем Y. — Jirka6 ( обсуждение ) 00:25, 10 апреля 2009 (UTC) [ ответ ]

Моя ошибка, извините. Конечно, это правильно. Я поменял местами X и Y.-- Jirka6 ( talk ) 22:18, 13 апреля 2009 (UTC) [ ответить ]

Красивая картинка с зелеными деревьями верна, описание — нет. Существует бесконечное количество бинарных деревьев (не обязательно полных) с n листьями. Кроме того, «упорядоченный» уже подразумевается под «бинарным». Картинка на самом деле принадлежит (тому, что раньше было) следующему пункту, я это исправил. -- Ikska (обсуждение)

Как вы думаете, стоит ли включать в статью то, что каталонское число можно записать через обобщенный биномиальный коэффициент ?:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{n}&={\frac {2n!}{n!(n+1)!}}={\frac {(1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2n-1))(2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n)}{n!(n+1)!}}=2^{2n}{\frac {({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n-1}{2}})({\frac {2}{2}}\cdot {\frac {4}{2}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n}{2}})}{n!(n+1)!}}\\&=2^{2n}{\frac {\left({\frac {\Gamma (n+1/2)}{\Gamma (1/2)}}\right)(n!)}{n!(n+1)!}}=2^{2n}{\frac {\left({\frac {\Gamma (n+1/2)}{(-1/2)\Gamma (-1/2)}}\right)}{(n+1)!}}=-2^{2n+1}{\frac {\left({\frac {\Gamma (n+1/2)}{\Gamma (-1/2)}}\right)}{(n+1)!}}=-2^{2n+1}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{-{\frac {3}{2}}}}\,,\end{aligned}}}$

с помощью функции Гамма . Спасибо -- Quantling ( обсуждение ) 17:01, 21 апреля 2010 (UTC) [ ответить ]

Я добавил новое биективное доказательство, направленное на прямое выведение увлекательного фактора в формуле. Я думаю, что оно станет хорошим дополнением к существующим биективным доказательствам, поскольку оно не основано на геометрической интерпретации, а вместо этого использует слова Дайка и вычисляет фактор алгебраически, сравнивая коэффициенты.${\displaystyle {\tfrac {1}{n+1}}}$

Я попробовал несколько подходов и обнаружил, что это наиболее экономично. Я составил это доказательство сам, так как не смог найти похожее с такими же характеристиками в сети. Тем не менее, оно должно быть достаточно простым и понятным, чтобы быть очевидным и проверяемым любым человеком с базовыми математическими навыками, чтобы оправдать его включение в Википедию. Если это уже было сделано ранее (что кажется вероятным), пожалуйста, не стесняйтесь добавлять ссылку.

Бернхард Эмер (обс.) 16:02, 10 января 2011 (UTC) [ ответить ]

На что, черт возьми, ссылается этот раздел? Откуда взялось название «четверной факториал»? Он вообще примечателен? Сейчас я склонен его удалить, потому что не могу понять, о чем он, но если кто-нибудь объяснит мне, что он означает, я буду рад изменить свою позицию. (Может быть, лучше выделить его в отдельный подраздел?) -- JBL ( обсуждение ) 13:32, 17 сентября 2012 (UTC) [ ответить ]

Не услышав ничего в течение года, я удалил упоминания о «четверном факториале». -- JBL ( обсуждение ) 03:10, 16 сентября 2013 (UTC) [ ответ ]

Я только что закончил редактирование второго доказательства, чтобы улучшить английский язык и поток доказательства. Я старался сохранить как можно больше раздела, но это потребовало некоторых существенных изменений для повышения ясности и решения некоторых сложных частей доказательства. В этот раз я не вернул историческое предложение относительно метода отражения Андре, поскольку есть редактор, который возражает против этого, и поэтому его следует обсудить здесь. Я считаю, что его следует вернуть, поскольку оно имеет энциклопедическую ценность, а мы пишем энциклопедию, а не учебник. Это утверждение представляет интерес, и я должен указать на комментарий относительно него, сделанный выше на этой странице обсуждения. Билл Черовицо ( обсуждение ) 06:41, 8 января 2015 (UTC) [ ответить ]

Я бы принял одно предложение об авторе, если бы оно предоставило какую-то новую информацию в дополнение к статье-размышлению. Смысл обсуждения авторства метода размышления, когда бы вы его ни применяли, — это глупое многословие, и как любое многословие, оно сбивало с толку: я даже не мог понять, кто является автором чего. «Энциклопедия» не означает, что вы копируете-вставляете ссылочный материал под каждой ссылкой. Какой энциклопедический стандарт говорит вам, что вы должны копировать только исторические разделы, но не целые ссылочные статьи каждый раз, когда вы используете/ссылаетесь на них? Наконец, здравомыслящие люди могут отличить размышление Андреаса от размышления Шварца без уведомления. Только тупые перейдут по гиперссылке и перепутают его с размышлением Шварца. Для них вы должны заметить, что принцип размышления Андре отличается и от электричества, и от экономики, и от компьютерного производства, и от психологии, и от всего, что есть в мире (есть как минимум 20 принципов размышления , которые вы должны были перечислить в своей статье). Кажется, вашей целью было привлечь доказательство к глупому многословию. Я не понимаю, о каком слиянии вы говорите. -- Джаваленок ( обсуждение ) 13:09, 11 января 2015 г. (UTC) [ ответ ]

— Предыдущий неподписанный комментарий добавлен Agold1982 (обсуждение • вклад )

(3+2)/2 * (3+3)/3 = 5. (5+2)/2 * (5+3)/3 * (5+4)/4 * (5+5)/5 = 42. Также легко проверить, что эта формула согласуется с формулой факториала. -- JBL ( talk ) 14:55, 27 ноября 2015 (UTC) [ ответить ]

Вы совершенно правы, это была моя ошибка. (Agold1982)

https://en.wikipedia.org/wiki/Мингату

«Mingantu» показалось мне фальшивкой, поэтому я погуглил и нашел более правдоподобную запись «Minggatu» выше. Мне кажется, что эта штука с «Mingantu» и связанное с ней переименование его родного города в «Ming Antu», по-видимому, каким-то китайским бюрократом, являются делом рук, возможно, благонамеренных, но полуграмотных функционеров. Правительство Хань в Пекине сталкивается со всевозможными этническими трениями, и они суетятся, пытаясь их разрешить, но очевидно, что некоторые из вовлеченных людей действуют, не понимая, что они делают. (У нас на Западе есть то же самое, со всеми недоумками, которые произносят китайскую столицу как французское «bay-zhhing». Это фуррин, но если я заставлю это звучать по-французски, это покажет людям, какой я космополитичный и утонченный, верно? Фу!)

На мой взгляд, нам следует следовать тому, как произносит это слово сам парень, а латиницей это будет «Минггату», с минимальными искажениями.

Исправление этого потребует вставки ссылки на Википедию как #14 и перенумерации более высоких номеров сносок, что, боюсь, выходит за рамки моих навыков в Вики. Может ли кто-то другой сделать это?

Дэвид Ллойд-Джонс ( обсуждение ) 12:31, 6 ноября 2017 (UTC) [ ответить ]

Эм, ваши чувства по этому поводу не имеют значения. Ни один из перечисленных источников не использует это написание, и если что, то биографическую статью следует переместить, чтобы она отражала написание, которое мы имеем в источниках. -- Дьякон Ворбис ( обсуждение ) 13:10, 6 ноября 2017 (UTC) [ ответить ]

Стоит ли упоминать об инверсии степенных рядов? Один из способов определить каталонские числа — сказать, что они являются коэффициентами в обратном ряду x(1-x), рассматриваемом как степенной ряд по x. Другими словами, если вы установите y=x(1-x) и решите для x как ряд по y, вы получите их как коэффициенты. Возможно, это довольно легко следует из одного из других описаний, приведенных здесь. Я не чувствую себя достаточно уверенным, чтобы вмешаться и внести изменения в статью. Ishboyfay ( talk ) 23:22, 16 ноября 2017 (UTC) [ ответить ]

Ishboyfay , кажется, уже есть аннотация об этом на Lagrange inversion Theorem#Binary trees . Вы всегда можете просто написать одно или два предложения, в которых что-то упоминается об этом, и дать ссылку на него. -- Дьякон Ворбис ( обсуждение ) 00:25, 17 ноября 2017 (UTC) [ ответить ]

Если подумать, это настолько похоже на то, что появляется в Доказательстве 1, что это не является полезным дополнением. Ishboyfay ( обсуждение ) 03:50, 18 ноября 2017 (UTC) [ ответ ]

Знание того, что некоторое каталонское число подсчитывает количество триангуляций многоугольника, является частью волнения математики. Знание того, какое каталонское число это, через мнемонику, что "n-ое каталонское число подсчитывает случай n треугольников", должно быть глазурью на торте. Я бы хотел ввести количество треугольников без возврата к исходному значению. Спасибо, 64.132.59.226 ( talk ) 13:32, 30 января 2018 (UTC) [ ответить ]

Цветистый язык о волнении математики на самом деле не нужен. Когда я вернулся, меня беспокоило то, что новая формулировка звучит так, будто возможны триангуляции в другие числа триангуляций, но они просто не учитываются здесь, что не соответствует действительности. – Дьякон Ворбис  ( carbon  •  videos ) 13:51, 30 января 2018 (UTC) [ ответить ]

Спасибо Deacon Vorbis за подробный отзыв. Да, я согласен, что триангуляции, образованные "соединением вершин непересекающимися отрезками прямых", всегда будут иметь ровно n треугольников и что простая вставка " n " в текст статьи может быть интерпретирована так, как указано Deacon Vorbis . Напротив, произвольные триангуляции выпуклого ( n +2)-угольника могут иметь более n треугольников, например, потому что сами треугольники могут быть дополнительно триангулированы. Какие изменения вы бы внесли в следующий предлагаемый язык?:

C _n — это число различных способов, которыми выпуклый многоугольник с n  + 2 сторонами может быть триангулирован ровно на n треугольников . Следующие шестиугольники иллюстрируют случай n = 4:

64.132.59.226 ( обсуждение ) 14:54, 30 января 2018 (UTC) [ ответ ]

Мне больше нравится следующее. Какие правки вы бы внесли в следующий предложенный текст? Пожалуйста, говорите «да» или «нет», чтобы ваше молчание не было расценено как согласие.

Выпуклый многоугольник с n  + 2 сторонами можно разрезать на треугольники , соединив вершины непересекающимися отрезками (форма триангуляции многоугольника ). Количество образованных треугольников равно n , а количество различных способов, которыми это можно сделать, равно C _n . Следующие шестиугольники иллюстрируют случай n = 4:

64.132.59.226 ( обсуждение ) 12:57, 31 января 2018 (UTC) [ ответ ]

Обсуждение зашло в тупик, поэтому давайте попробуем цикл BOLD, revert, discussion . Поскольку правка, которую я делаю, пытается ответить на предыдущую критику, если вы считаете себя вынужденным отменить редактирование, то также прокомментируйте здесь свои причины. Сделайте свои комментарии конструктивными; «было бы лучше, если бы мы ...» помогает гораздо больше, чем «это хуже, потому что ...», потому что первое помогает найти правильное направление движения, но последнее перечисляет только одно из многих возможных направлений, которых следует избегать. 64.132.59.226 ( talk ) 13:36, 2 февраля 2018 (UTC) [ ответить ]

Эта версия мне кажется подходящей. -- JBL ( обсуждение ) 13:56, 2 февраля 2018 (UTC) [ ответить ]

В списке заявок заявки 2, 3 и 13 утверждают одно и то же. Также заявки 4 и 12 избыточны. Я собираюсь удалить заявки 3, 12 и 13 по общему согласию.

Plaba123 ( обсуждение ) 16:23, 15 октября 2018 (UTC) [ ответить ]

Прежде всего, многие из них будут довольно похожи, и я думаю, что небольшая избыточность для перечисления того, что подсчитывается, на самом деле допустима. При этом я думаю, что 12 (корневые двоичные деревья) определенно просто повторяют 4 (одно и то же), поэтому его можно смело удалить. Я думаю, что № 13 (горные хребты) тоже, вероятно, можно удалить, но тем более, что он на самом деле такой же, как № 6 (решетчатые пути), хотя этот не такой уж и очевидный. Но 2 и 3, вероятно, достаточно отличаются, чтобы иметь свои собственные записи. Если уж на то пошло, № 2 слишком похож на № 1, но связь с № 3 не так очевидна. – Дьякон Ворбис  ( carbon  •  videos ) 17:22, 15 октября 2018 (UTC) [ ответить ]

@ Deacon Vorbis : Спасибо за ваш вклад. Я начну с удаления #12 (корневые двоичные деревья). Plaba123 ( обсуждение ) 01:25, 16 октября 2018 (UTC) [ ответить ]

Вторая рекурсивная формула была сдвинута на одну единицу вправо, она вернула 1 для C_0, 2 для C_1, 5 для C_2 и т. д. OEIS дает такое же рекурсивное определение (https://oeis.org/A000108):

2*(2*n-1)*a(n-1) = (n+1)*a(n)

Я вижу, что мое изменение было отменено, можно ли его включить? Pranomostro ( обсуждение ) 21:06, 18 февраля 2019 (UTC) комментарий добавлен Pranomostro ( обсуждение • вклад ) 20:51, 18 февраля 2019 (UTC) [ ответить ]

Примечание: конечно, нет ничего плохого в том, чтобы уведомлять кого-то на его странице обсуждения об обсуждении на странице обсуждения статьи, но если вы хотите привлечь чье-то внимание к посту на странице обсуждения статьи напрямую, вы можете просто WP:PING им (я обычно использую шаблон или , в зависимости от). В любом случае, что касается рекуррентного отношения, вы можете дважды проверить, что вы используете правильное значение для n . Формула, которая уже здесь, верна и согласуется с тем, что указано в OEIS. – Дьякон Ворбис  ( carbon  •  videos ) 02:11, 19 февраля 2019 (UTC) [ ответить ]{{re}}{{u}}

@ Deacon Vorbis : Извините, если я нарушил некоторые правила Википедии, уведомив вас на вашей странице обсуждения, спасибо за указания :D

Теперь, что касается рекуррентного соотношения, то мой ход мыслей был следующим:

При подстановке индексов [0;13]:

Данными значениями для каталонских чисел были:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012

S1: дает следующие значения для C_0, C_1, C_2 и т. д.:${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}}$

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012

OEIS перечисляет каталонские номера таким же образом:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012

S2: дает следующие числа (и используется в текущей статье):${\displaystyle C_{0}=1\quad {\text{and}}\quad C_{n+1}={\frac {2(2n+1)}{n+2}}C_{n}}$

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900

Обратите внимание, что одного не хватает.${\displaystyle 1}$

S3: . Это эквивалентно 2*(2*n-1)*a(n-1) = (n+1)*a(n) из OEIS и возвращает следующую последовательность:${\displaystyle C_{0}=1\quad {\text{and}}\quad C_{n+1}={\frac {2(2n-1)}{n+1}}C_{n}}$

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012

Вот код, который я использовал на Python3:

из  математики  импортировать  факториал  как  фактdef  binomial ( x ,  y ): try : binom  =  fac ( x )  //  fac ( y )  //  fac ( x  -  y ) except  ValueError : binom  =  0 return  binomdef  s1 ( x ): возвращает  биномиальное ( 2 * x ,  x ) / ( 1 + x )def  s2 ( x ): если  x == 0 : вернуть  1 иначе : вернуть  ( 2 * ( 2 * x + 1 )) / ( x + 2 ) * s2 ( x - 1 )def  s3 ( x ):  если  x == 0 :  вернуть  1  иначе :  вернуть  (( 2 * ( 2 * x - 1 )) / ( x + 1 )) * s3 ( x - 1 )arg = список ( диапазон ( 0 , 13 )) печать ( список ( карта ( s1 , arg ))) печать ( список ( карта ( s2 , arg ))) печать ( список ( карта ( s3 , arg )))

Возможно, все еще есть веские причины сохранить текущую версию. Во-первых, в этой статье есть доказательство, а во-вторых, она гораздо более распространена. С другой стороны, она может вводить в заблуждение (меня она тоже сначала ввела в заблуждение). Надеюсь, я ясно изложил свою позицию и теперь перестану вас донимать.

Хорошего дня.

Праномостро ( обсуждение ) 21:16, 19 февраля 2019 (UTC) [ ответить ]

@ Pranomostro : Вы ошибаетесь, а версия в статье правильная. Ваша ошибка возникает из-за замены n+1 и n на n и n-1 в нижних индексах, но вы не делаете ту же замену для других копий n. Самый простой способ проверить, что вы ошибаетесь, — это подставить n=0 в версию в статье.— JBL ( talk ) 23:42, 19 февраля 2019 (UTC) [ ответить ]

Используя WA, можно использовать следующий запрос: (5*4^(n-3) * (Поххаммер 7/2,n-3)) / (Поххаммер 5,n-3) для n=3,10

поочередно, Таблица [ CatalanNumber@ n, {n, 0, 100}] -- Billymac00 ( обсуждение ) 18:44, 3 сентября 2020 (UTC) [ ответ ]

И? -- JBL ( обсуждение ) 19:34, 3 сентября 2020 (UTC) [ ответить ]

Спасибо @JayBeeEll за недавнюю обеспокоенность моим редактированием этой статьи. Не могли бы вы дать больше информации о вашем комментарии «это не пример того, что обсуждается»? В абзаце речь идет о количестве ассоциативных способов умножения упорядоченного набора из n +1 объектов. Для задачи умножения цепочки матриц n +1 объектов являются матрицами. Для меня это главный пример, когда людей волнует порядок ассоциации для умножений. Спасибо — Q uantling  ( talk  |  contribs ) 17:38, 8 февраля 2021 (UTC) [ ответить ]

Абзац посвящен количеству способов ассоциации, тогда как mcm — это контекст, в котором люди заботятся о различных ассоциациях. Последнее не является примером первого. На самом деле, связь между каталонскими числами (тема этой статьи и общая нить, которая связывает все различные примеры в этом разделе вместе) и проблемой mcm довольно слабая: не нужно знать априори, сколько скобок есть, чтобы решить mcm, и нет ничего в mcm более каталонского, чем общее наблюдение о возможных ассоциациях любой бинарной операции. Я не удалял ссылку из статьи — теперь она в разделе «см. также» — но если вы действительно думаете, что это было бы лучше в пункте списка, мы могли бы обсудить другую формулировку. Одной из возможностей может быть расширение скобок в предыдущем предложении: «(или количество способов ассоциации n применений бинарного оператора , как в задаче умножения цепочек матриц )». -- JBL ( обсуждение ) 17:54, 8 февраля 2021 (UTC) [ ответить ]

Это в скобках работает для меня. Спасибо — Q uantling  ( обсуждение  |  вклад ) 19:53, 8 февраля 2021 (UTC) [ ответить ]

Если кто-либо из наблюдателей за страницей обсуждения заинтересован в том, чтобы вынести это на GA или улучшить общее качество, я буду признателен за их сотрудничество. Начну составлять черновик в User:TrangaBellam/Catalan Number . Спасибо, TrangaBellam ( обсуждение ) 18:00, 21 апреля 2022 (UTC) [ ответить ]

Это требует много работы, но я определенно заинтересован. Хотя занятость в конце семестра может стать для меня проблемой в течение следующих нескольких недель. -- JBL ( обсуждение ) 18:02, 21 апреля 2022 (UTC) [ ответить ]

Я думаю, что использование «мы» в доказательствах немного странно и должно быть удалено — Предыдущий неподписанный комментарий добавлен 2604:3D09:1580:9600:C884:4058:E2C4:3F13 (обсуждение) 03:19, 17 мая 2022 (UTC) [ ответить ]

@ Darcourse et al. Во втором доказательстве формулы каталонских чисел используется метод изображений . Хотя метод изображений используется для непрерывных случаев, таких как энергетические потенциалы при наличии граничных условий, он также используется для дискретных случаев. Случайное блуждание, которое начинается в начале координат на действительной прямой, которое делает шаги ±1 и которому запрещено доходить до −1 — в нашем случае число '(' минус число ')' не может быть −1 — можно смоделировать, добавив случайное блуждание к «отрицательному» случайному блужданию, которое начинается с −2. Для любого заданного числа шагов как случайное блуждание из начала координат, так и случайное блуждание из точки −2 имеют равные шансы закончиться в точке −1, и, таким образом, добавление этого «отрицательного» «изображения», которое начинается в точке −2, к исходному случайному блужданию из начала координат приводит к обнулению всех значений в точке −1, что как раз и нужно при перечислении каталонских чисел.

Я предлагаю упомянуть об этом в разделе, посвященном второму доказательству, с помощью чего-то вроде

но я открыт для альтернатив. Спасибо — Q uantling  ( обсуждение  |  вклад ) 14:57, 16 октября 2023 (UTC) [ ответить ]

Статья MoI слишком техническая для уровня, на который нацелена статья о каталонских числах, и связь совершенно неочевидна. Вы можете добавить ее к «see also», но я не вижу, как это вообще связано. Darcourse ( talk ) 03:55, 17 октября 2023 (UTC) [ ответить ]

В статье «Метод изображений» отсутствует пример, который является дискретным случаем. Я планирую внести правки там, а затем вернуться к текущему обсуждению. — Q uantling  ( обсуждение  |  вклад ) 12:58, 17 октября 2023 (UTC) [ ответить ]

Если взять переменную c и пропустить ее через функцию для множества Мандельброта, бесконечное число раз, то получится бесконечный ряд, обозначаемый как:${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }C_{n}c^{n}}$

где — n -е каталонское число. А кривая в комплексной плоскости, для которой этот бесконечный ряд равен двум, — это как раз граница множества Мандельброта. Denelson 83 02:17, 19 января 2024 (UTC) [ ответить ]${\displaystyle C_{n}}$  

С обозначениями этой статьи формула ошибается на единицу, да? Я считаю, что предельное значение f ( f (... f ( f (0)) ...)) = f ( f (... f ( f ( c )) ...)) равно . Получаем абсолютную сходимость ряда при | c | < 1/4 , поэтому нам придется объяснить, что мы подразумеваем под «вы получаете бесконечный ряд» для других значений c .${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}c^{n+1}}$

Я не могу проверить за несколько минут, что граница множества Мандельброта — это когда значение ряда , особенно если это должно быть осмысленно, когда у нас нет абсолютной сходимости. Если это должно войти в статью, нам понадобится быстрое доказательство ( WP:CALC ) или цитата. Спасибо — Q uantling  ( talk  |  contribs ) 14:13, 19 января 2024 (UTC) [ ответить ]${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}c^{n+1}=2}$

Он минимально цитируется в записи OEIS для каталонских чисел, A000108, Дональда Д. Кросса. Это не доказательство, но оно дает вам краткое представление о связи. Кросс рассматривает это немного подробнее здесь, иллюстрируя медленную скорость сходимости. -- Denelson 83 20:05, 19 января 2024 (UTC) [ ответить ]  

Это мило, но я хотел бы увидеть гораздо лучший источник (с точки зрения WP:RS ), прежде чем добавлять что-либо об этом в любую статью. -- JBL ( обсуждение ) 20:38, 19 января 2024 (UTC) [ ответ ]

Я попытался связаться с Дональдом Кроссом, чтобы узнать, смог ли он найти доказательство этой связи. Жаль, что мы не можем отметить это как неразрешенную гипотезу, несмотря на то, что поверхностные наблюдения подтверждают ее.

И мне следовало бы сказать «абсолютное значение», как в . -- Denelson 83 19:45, 2 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]${\displaystyle \left\vert \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}c^{n+1}\right\vert =2}$  

Википедия не является частью исследовательской литературы, это третичный источник. Если другие люди, пишущие надежные вторичные источники, прокомментируют это как нерешенную проблему, то мы можем последовать их примеру. -- JBL ( обсуждение ) 20:28, 2 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Надев шляпу WP:CALC , давайте определим здесь «сходимость». Давайте запишем f ₀ ( c ) = 0 и, для положительного целого числа n , давайте запишем f _n ( c ) = ( f _{n −1} ( c )) ² + c . Для любого конкретного значения n значение f _n ( c ) является полиномиальной функцией c с целыми коэффициентами. Мы запишем [ c ^m ] f _n ( c ) для целого коэффициента c ^m в полиноме f _n ( c ) . Для положительного целого числа m мы имеем сходимость, которая

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }[c^{m}]f_{n}(c)=C_{m-1}\,,}$$

( m −1) -е каталонское число.

Эта конвергенция не то же самое, что

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(c)\,,}$$

который сходится только для тех элементов множества Мандельброта, которые сходятся к точке при итерации z ² + c , а не циклически вращаются внутри множества Мандельброта или убегают в бесконечность.

Эта сходимость также не та же самая, что и для бесконечного ряда

$${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }C_{m-1}c^{m}\,,}$$

который сходится абсолютно только при | c | < 1/4 . (Ну, может быть при | c | ≤ 1/4 .)

Я не знаю, какая из этих форм конвергенции, если таковая имеется, используется при сравнении с 2.

Даже если мы устраним все эти математические детали, нам все равно понадобится надежный источник , подтверждающий значимость этого результата .

Это мои 2 цента. — Q uantling  ( обсуждение  |  вклад ) 20:32, 2 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

И я надеюсь, что однажды найду такой надежный источник. -- Denelson 83 21:42, 2 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]  

@ Quantling : Может ли эта статья помочь? https://www.mdpi.com/2504-3110/5/3/92 -_ Denelson 83 06:45, 4 декабря 2024 (UTC) [ ответить ]