Теорема Тейта–Кнезера

В дифференциальной геометрии теорема Тейта –Кнезера утверждает, что если гладкая плоская кривая имеет монотонную кривизну, то соприкасающиеся окружности кривой не пересекаются и вложены друг в друга. ^[1] Логарифмическая спираль или изображенная архимедова спираль дают примеры кривых, кривизна которых монотонна для всей кривой. Такая монотонность не может иметь место для простой замкнутой кривой (по теореме о четырех вершинах существует по крайней мере четыре вершины , где кривизна достигает крайней точки) ^[1], но для таких кривых теорема может быть применена к дугам кривых между ее вершинами.

Теорема названа в честь Питера Тейта , который опубликовал ее в 1896 году, и Адольфа Кнезера , который переоткрыл ее и опубликовал в 1912 году. ^{[1] [2] [3]} Доказательство Тейта просто следует из свойств эволюты , кривой, вычерченной центрами соприкасающихся окружностей. Для кривых с монотонной кривизной длина дуги вдоль эволюты между двумя центрами равна разнице радиусов соответствующих окружностей. Эта длина дуги должна быть больше, чем расстояние по прямой между теми же двумя центрами, поэтому две окружности имеют центры ближе друг к другу, чем разность их радиусов, из чего следует теорема. ^{[1] [2]}

Аналогичные теоремы о дизъюнктности могут быть доказаны для семейства полиномов Тейлора заданной гладкой функции и для соприкасающихся коник к заданной гладкой кривой. ^{[1] [4]}