Определитель больших матриц Тёплица
В математическом анализе предельные теоремы Сегё описывают асимптотическое поведение определителей больших матриц Тёплица . [1] [2] [3] Они были впервые доказаны Габором Сегё .
Обозначение Пусть будет рядом Фурье с коэффициентами Фурье , связанными друг с другом соотношением ж {\displaystyle w} с к {\displaystyle c_{k}}
ж ( θ ) = ∑ к = − ∞ ∞ с к е я к θ , θ ∈ [ 0 , 2 π ] , {\displaystyle w(\theta)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{ik\theta},\qquad \theta \in [0,2\pi], } с к = 1 2 π ∫ 0 2 π ж ( θ ) е − я к θ г θ , {\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }w(\theta)e^{-ik\theta }\,d\theta ,} так что матрицы Теплица являются эрмитовыми , т.е. если то . Тогда и собственные значения являются действительными, а определитель задается выражением н × н {\displaystyle n\times n} Т н ( ж ) = ( с к − л ) 0 ≤ к , л ≤ н − 1 {\displaystyle T_{n}(w)=\left(c_{kl}\right)_{0\leq k,l\leq n-1}} Т н ( ж ) = Т н ( ж ) ∗ {\displaystyle T_{n}(w)=T_{n}(w)^{\ast }} с − к = с к ¯ {\displaystyle c_{-k}={\overline {c_{k}}}} w {\displaystyle w} ( λ m ( n ) ) 0 ≤ m ≤ n − 1 {\displaystyle (\lambda _{m}^{(n)})_{0\leq m\leq n-1}} T n ( w ) {\displaystyle T_{n}(w)}
det T n ( w ) = ∏ m = 1 n − 1 λ m ( n ) {\displaystyle \det T_{n}(w)=\prod _{m=1}^{n-1}\lambda _{m}^{(n)}}
При соответствующих предположениях теорема Сегё утверждает, что
lim n → ∞ 1 n ∑ m = 0 n − 1 F ( λ m ( n ) ) = 1 2 π ∫ 0 2 π F ( w ( θ ) ) d θ {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{m=0}^{n-1}F(\lambda _{m}^{(n)})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }F(w(\theta ))\,d\theta } для любой функции , которая непрерывна в области значений . В частности, F {\displaystyle F} w {\displaystyle w}
lim n → ∞ 1 n ∑ m = 0 n − 1 λ m ( n ) = 1 2 π ∫ 0 2 π w ( θ ) d θ < ∞ {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{m=0}^{n-1}\lambda _{m}^{(n)}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }w(\theta )\,d\theta <\infty } ( 1 )
таким образом, что среднее арифметическое сходится к интегралу . [4] λ ( n ) {\displaystyle \lambda ^{(n)}} w {\displaystyle w}
Первая теорема Сегё [1] [3] [5] утверждает, что если правая часть ( 1 ) верна и , то w ≥ 0 {\displaystyle w\geq 0}
lim n → ∞ ( det T n ( w ) ) 1 n = lim n → ∞ det T n ( w ) det T n − 1 ( w ) = exp ( 1 2 π ∫ 0 2 π log w ( θ ) d θ ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\det T_{n}(w)\right)^{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(w)}{\det T_{n-1}(w)}}=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log w(\theta )\,d\theta \right)} ( 2 )
справедливо для и . Правая часть ( 2 ) является геометрическим средним (хорошо определено неравенством арифметического и геометрического среднего ). w > 0 {\displaystyle w>0} w ∈ L 1 {\displaystyle w\in L_{1}} w {\displaystyle w}
Пусть будет коэффициентом Фурье , записанным как c ^ k {\displaystyle {\widehat {c}}_{k}} log w ∈ L 1 {\displaystyle \log w\in L^{1}}
c ^ k = 1 2 π ∫ 0 2 π log ( w ( θ ) ) e − i k θ d θ {\displaystyle {\widehat {c}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log(w(\theta ))e^{-ik\theta }\,d\theta } Вторая (или сильная) теорема Сегё [1] [6] утверждает, что если , то w ≥ 0 {\displaystyle w\geq 0}
lim n → ∞ det T n ( w ) e ( n + 1 ) c ^ 0 = exp ( ∑ k = 1 ∞ k | c ^ k | 2 ) . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(w)}{e^{(n+1){\widehat {c}}_{0}}}}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }k\left|{\widehat {c}}_{k}\right|^{2}\right).}
Смотрите также
Ссылки ^ abc Бетчер, Альбрехт; Зильберманн, Бернд (1990). «Определители Теплица». Анализ операторов Теплица . Берлин: Springer-Verlag. п. 525. ИСБН 3-540-52147-X МР 1071374. ^ Эрхардт, Т.; Зильберманн, Б. (2001) [1994], "Szegö_limit_theorems", Энциклопедия математики , EMS Press ^ ab Simon, Barry (2011). Теорема Сегё и ее потомки: спектральная теория для L 2 возмущений ортогональных многочленов . Принстон: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14704-8 ^ Грей, Роберт М. (2006). "Теплиц и циркулянтные матрицы: обзор" (PDF) . Основы и тенденции в обработке сигналов . ^ Сегё, Г. (1915). «Ein Grenzwertsatz über die Toeplitzschen Determinanten einer reellen позитивная функция». Математика. Энн . 76 (4): 490–503. дои : 10.1007/BF01458220. S2CID 123034653. ^ Szegő, G. (1952). «О некоторых эрмитовых формах, связанных с рядом Фурье положительной функции». Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] : 228–238. MR 0051961. 
![{\displaystyle w(\theta)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{ik\theta},\qquad \theta \in [0,2\pi], }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c810eeafda39e98041569e2e0e42d4a70ae3148)
