Интегральное преобразование

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Для проверки данной статьи необходимы дополнительные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Интегральное преобразование" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2024 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Некоторые из перечисленных в статье источников могут быть ненадежными .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, найдя лучшие, более надежные источники. Ненадежные цитаты могут быть оспорены и удалены. ( октябрь 2024 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  ( обобщения ) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл обратных функций Интеграция по Части Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , тангенс половинного угла , Эйлера ) Формула Эйлера Простейшие дроби ( метод Хевисайда ) Изменение порядка Формулы редукции Дифференцируем под знаком интеграла алгоритм Риша
Ряд Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Переменный Власть Биномиальный Тейлор Тесты на сходимость Предел слагаемого (тест термина) Соотношение Корень Интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Переменный ряд Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

В математике интегральное преобразование — это тип преобразования , которое отображает функцию из ее исходного функционального пространства в другое функциональное пространство посредством интегрирования , где некоторые свойства исходной функции могут быть более легко охарактеризованы и обработаны, чем в исходном функциональном пространстве. Преобразованная функция, как правило, может быть отображена обратно в исходное функциональное пространство с помощью обратного преобразования .

Интегральным преобразованием является любое преобразование следующего вида:${\displaystyle T}$

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt}$

Вход этого преобразования — функция , а выход — другая функция . Интегральное преобразование — это особый вид математического оператора .${\displaystyle f}$${\displaystyle Tf}$

Существует множество полезных интегральных преобразований. Каждое из них определяется выбором функции двух переменных , которая называется ядром или ядром преобразования.${\displaystyle K}$

Некоторые ядра имеют связанное с ними обратное ядро, которое (грубо говоря) дает обратное преобразование:${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du}$

Симметричное ядро ​​— это ядро, которое остается неизменным при перестановке двух переменных; это функция ядра, такая что . В теории интегральных уравнений симметричные ядра соответствуют самосопряженным операторам . ^[1]${\displaystyle K}$${\displaystyle K(t,u)=K(u,t)}$

Существует множество классов задач, которые трудно решить — или, по крайней мере, довольно громоздко алгебраически — в их исходных представлениях. Интегральное преобразование «отображает» уравнение из его исходной «области» в другую область, в которой манипулирование и решение уравнения могут быть намного проще, чем в исходной области. Затем решение может быть отображено обратно в исходную область с помощью обратного интегрального преобразования.

Существует много приложений вероятности, которые опираются на интегральные преобразования, такие как «ядро ценообразования» или стохастический коэффициент дисконтирования , или сглаживание данных, восстановленных из надежных статистик; см. ядро ​​(статистика) .

Предшественником преобразований были ряды Фурье для выражения функций в конечных интервалах. Позднее преобразование Фурье было разработано для устранения требования конечных интервалов.

Используя ряд Фурье, практически любую практическую функцию времени ( например, напряжение на клеммах электронного устройства ) можно представить в виде суммы синусов и косинусов , каждый из которых соответствующим образом масштабирован (умножен на постоянный коэффициент), смещен (опережен или замедлен во времени) и «сжат» или «растянут» (увеличивая или уменьшая частоту). Синусы и косинусы в ряду Фурье являются примером ортонормированного базиса .

В качестве примера применения интегральных преобразований рассмотрим преобразование Лапласа . Это метод, который отображает дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения в области «времени» в полиномиальные уравнения в так называемой области «комплексной частоты» . (Комплексная частота похожа на фактическую, физическую частоту, но является более общей. В частности, мнимая составляющая ω комплексной частоты s = − σ + iω соответствует обычному понятию частоты, а именно , скорости, с которой циклирует синусоида, тогда как действительная составляющая σ комплексной частоты соответствует степени «затухания», т. е. экспоненциальному уменьшению амплитуды.) Уравнение, представленное в терминах комплексной частоты, легко решается в комплексной частотной области (корни полиномиальных уравнений в комплексной частотной области соответствуют собственным значениям во временной области), что приводит к «решению», сформулированному в частотной области. Используя обратное преобразование , т. е . обратную процедуру исходного преобразования Лапласа, получаем решение во временной области. В этом примере полиномы в комплексной частотной области (обычно встречающиеся в знаменателе) соответствуют степенным рядам во временной области, тогда как аксиальные сдвиги в комплексной частотной области соответствуют затуханию затухающими экспонентами во временной области.

Преобразование Лапласа находит широкое применение в физике и, в частности, в электротехнике, где характеристические уравнения , описывающие поведение электрической цепи в комплексной частотной области, соответствуют линейным комбинациям экспоненциально масштабированных и сдвинутых во времени затухающих синусоид во временной области. Другие интегральные преобразования находят особое применение в других научных и математических дисциплинах.

Другим примером использования является ядро ​​в интеграле по траектории :

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.}$

Это означает, что полная амплитуда, к которой нужно прийти, является суммой (интегралом) по всем возможным значениям полной амплитуды , чтобы прийти в точку, умноженной на амплитуду, чтобы перейти от к [ т.е. ] . ^[2] Его часто называют пропагатором для данной системы. Это (физическое) ядро ​​является ядром интегрального преобразования. Однако для каждой квантовой системы существует свое ядро. ^[3]${\displaystyle \psi (x,t)}$${\displaystyle (x,t)}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \psi (x',t')}$${\displaystyle (x',t')}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K(x,t;x',t')}$

Таблица интегральных преобразований

Трансформировать	Символ	К	ф ( т )	т 1	т 2	К −1	у 1	у 2
преобразование Абеля	Ф, ф	${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$		${\displaystyle u}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}}$ [4]	т	${\displaystyle \infty }$
Связанное преобразование Лежандра	${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n,m}}$	${\displaystyle (1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle e^{-2\pi iut}}$	${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle e^{2\pi iut}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Синусоидальное преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	на , реальное значение${\displaystyle [0,\infty )}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Косинусное преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	на , реальное значение${\displaystyle [0,\infty )}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
преобразование Ганкеля		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle u\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
преобразование Хартли	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Эрмита	${\displaystyle H}$	${\displaystyle e^{-x^{2}}H_{n}(x)}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Гильберта	${\displaystyle {\mathcal {H}}il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
преобразование Якоби	${\displaystyle J}$	${\displaystyle (1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
преобразование Лагерра	${\displaystyle L}$	${\displaystyle e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Лапласа	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
преобразование Лежандра	${\displaystyle {\mathcal {J}}}$	${\displaystyle P_{n}(x)\,}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Меллина	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle t^{u-1}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,}$[5]	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Двустороннее преобразование Лапласа	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
ядро Пуассона		${\displaystyle {\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\pi }$
Радоновое преобразование	Рƒ	${\displaystyle \delta (x\cos \theta +y\sin \theta -t)}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
преобразование Вейерштрасса	${\displaystyle {\mathcal {W}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
рентгеновское преобразование	Xƒ			${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$

В пределах интегрирования для обратного преобразования c является константой, которая зависит от природы функции преобразования. Например, для одностороннего и двустороннего преобразования Лапласа c должно быть больше наибольшей действительной части нулей функции преобразования.

Обратите внимание, что существуют альтернативные обозначения и соглашения для преобразования Фурье.

Здесь интегральные преобразования определены для функций действительных чисел, но их можно определить в более общем виде для функций группы.

• Если вместо этого использовать функции на окружности (периодические функции), то ядра интегрирования будут бипериодическими функциями; свертка с функциями на окружности даёт круговую свертку .
• Если использовать функции на циклической группе порядка n ( C _n или Z / n Z ), то в качестве ядер интегрирования получатся матрицы n × n ; свертка соответствует циркулянтным матрицам .

Хотя свойства интегральных преобразований сильно различаются, у них есть некоторые общие свойства. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором , поскольку интеграл является линейным оператором, и фактически, если ядро ​​может быть обобщенной функцией , то все линейные операторы являются интегральными преобразованиями (правильно сформулированная версия этого утверждения — теорема о ядре Шварца ).

Общая теория таких интегральных уравнений известна как теория Фредгольма . В этой теории ядро ​​понимается как компактный оператор, действующий на банаховом пространстве функций. В зависимости от ситуации ядро ​​тогда по-разному называют оператором Фредгольма , ядерным оператором или ядром Фредгольма .

• А.Д. Полянин и А.В. Манжиров, Справочник по интегральным уравнениям , CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN  0-8493-2876-4
• RKM Thambynayagam, Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров , McGraw-Hill, Нью-Йорк, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1 
• «Интегральное преобразование», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: Мир математических уравнений.