Подпрямо неприводимая алгебра

В разделе математики, известном как универсальная алгебра (и в ее приложениях), подпрямо неприводимая алгебра — это алгебра , которая не может быть разложена как подпрямое произведение «более простых» алгебр. Подпрямо неприводимые алгебры играют в алгебре роль, несколько аналогичную простым числам в теории чисел .

Универсальная алгебра A называется подпрямо неприводимой, если A имеет более одного элемента и если любое подпрямое представление A включает (в качестве фактора) алгебру, изоморфную A , причем изоморфизм задается отображением проекции.

• Двухэлементная цепь , как булева алгебра , алгебра Гейтинга , решетка ^{[1] : 56} или полурешетка , является подпрямо неприводимой. Фактически, двухэлементная цепь является единственной подпрямо неприводимой дистрибутивной решеткой . ^{[1] : 56}
• Любая конечная цепь с двумя или более элементами, как алгебра Гейтинга , является подпрямо неприводимой. (Это не относится к цепям из трех или более элементов, как решеткам или полурешеткам, которые подпрямо неприводимы к двухэлементной цепи. Разница с алгебрами Гейтинга заключается в том, что a → b не обязательно должно быть сравнимо с a по порядку решетки, даже если b сравнимо.)
• Любая конечная циклическая группа порядка степени простого числа (т. е. любая циклическая p -группа ) является подпрямо неразложимой. ^{[1] : 56} (Одним из недостатков аналогии между подпрямо неразложимыми и простыми числами является то, что целые числа подпрямо представимы любым бесконечным семейством неизоморфных циклических групп степени простого числа, например, только теми, порядок которых равен простому числу Мерсенна, при условии, что их бесконечно много.) Фактически, абелева группа является подпрямо неразложимой тогда и только тогда, когда она изоморфна циклической p -группе или изоморфна группе Прюфера (бесконечной, но счетной p -группе, которая является прямым пределом своих конечных p -подгрупп). ^{[1] : 61}
• Векторное пространство является подпрямо неприводимым тогда и только тогда, когда оно имеет размерность один.

Теорема о подпрямом представлении универсальной алгебры утверждает, что каждая алгебра подпрямо представима своими подпрямо неразложимыми факторами . Эквивалентное определение «подпрямо неразложимой» — это любая алгебра A , которая не подпрямо представима своими факторами, не изоморфными A. (Это не совсем то же самое, что «своими собственными факторами», поскольку собственный фактор A может быть изоморфен A , например, фактор полурешетки ( Z , min ), полученный путем идентификации только двух элементов 3 и 4.)

Непосредственным следствием является то, что любое многообразие как класс, замкнутый относительно гомоморфизмов , подалгебр и прямых произведений , определяется своими подпрямо неразложимыми членами, поскольку каждая алгебра A в многообразии может быть построена как подалгебра подходящего прямого произведения подпрямо неразложимых частных A , все из которых принадлежат многообразию, поскольку A принадлежит ему. По этой причине часто изучают не само многообразие, а только его подпрямые неразложимые элементы.

Алгебра A является подпрямо неприводимой тогда и только тогда, когда она содержит два элемента, которые идентифицируются каждым собственным фактором, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда ее решетка Con  A конгруэнций имеет наименьший неединичный элемент. То есть любая подпрямо неприводимая алгебра должна содержать определенную пару элементов, свидетельствующих о ее неприводимости таким образом. При наличии такого свидетеля ( a , b ) подпрямо неприводимости мы говорим, что подпрямо неприводимая алгебра является ( a , b )-неприводимой.

Для любого класса C подобных алгебр лемма Йонссона (принадлежащая Бьярни Йонссону ) утверждает, что если многообразие HSP( C ), порожденное C , является конгруэнтно-дистрибутивным, то его подпрямые неприводимые элементы лежат в HSP _U ( C ), то есть они являются факторами подалгебр ультрапроизведений членов C . (Если C — конечное множество конечных алгебр, операция ультрапроизведения излишня.)

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы алгебра Гейтинга была подпрямо неприводимой, является наличие наибольшего элемента строго ниже 1. Пара-свидетель — это этот элемент и 1, и идентификация любой другой пары элементов a , b идентифицирует как a → b , так и b → a с 1, тем самым сводя все выше этих двух импликаций к 1. Следовательно, каждая конечная цепочка из двух или более элементов как алгебра Гейтинга подпрямо неприводима.

По лемме Йонссона подпрямо неразложимые алгебры конгруэнц-дистрибутивного многообразия, порождённого конечным множеством конечных алгебр, не больше, чем порождающие алгебры, поскольку факторы и подалгебры алгебры A никогда не больше, чем сама A. Например, подпрямые неразложимые в многообразии, порождённом конечной линейно упорядоченной алгеброй Гейтинга H, должны быть просто невырожденными факторами H , а именно всеми меньшими линейно упорядоченными невырожденными алгебрами Гейтинга. Условия не могут быть отброшены в общем случае: например, многообразие всех алгебр Гейтинга порождается множеством своих конечных подпрямо неразложимых алгебр, но существуют подпрямо неразложимые алгебры Гейтинга произвольной (бесконечной) мощности . Существует также единственная конечная алгебра, порождающая (неконгруэнтно-дистрибутивное) многообразие с произвольно большими подпрямыми неприводимыми элементами. ^[2]

• Пьер Антуан Грийе (2007). Абстрактная алгебра . Спрингер. ISBN 978-0-387-71567-4.