Подоснова

Набор подмножеств, которые генерируют топологию

В топологии подбаза (или подбаза , предбаза , предбазис ) для топологического пространства с топологией — это подколлекция , которая порождает в том смысле, что является наименьшей топологией, содержащей как открытые множества. Некоторые авторы используют несколько иное определение, и существуют другие полезные эквивалентные формулировки определения; они обсуждаются ниже. $X$ $\тау$ $Б$ $\тау$ $\тау ,$ $\тау$ $Б$

Определение

Пусть — топологическое пространство с топологией A, подбаза которой обычно определяется как подколлекция , удовлетворяющая одному из двух следующих эквивалентных условий: $X$ $\тау .$ $\тау$ $Б$ $\тау$

Подколлекция генерирует топологию Это означает, что это наименьшая топология, содержащая : любая топология , содержащая должна также содержать $Б$ $\тау .$ $\тау$ $Б$ $\tau ^{\prime }$ $X$ $Б$ $\тау .$
Совокупность открытых множеств, состоящая из всех конечных пересечений элементов из , образует основу для ^[1]. Это означает, что каждое собственное открытое множество из может быть записано как объединение конечных пересечений элементов из Явно, для данной точки в открытом множестве существует конечное число множеств из , таких, что пересечение этих множеств содержит и содержится в $Б$ $\тау .$ $\тау$ $Б.$ $x$ $U\subsetneq X,$ $S_{1},\ldots ,S_{n}$ $Б,$ $x$ $У.$

(Если мы используем соглашение о нулевом пересечении , то нет необходимости включать второе определение.) $X$

Для любого подмножества множества мощности существует единственная топология, имеющая в качестве подбазы. В частности, пересечение всех топологий по содержащему удовлетворяет этому условию. В общем случае, однако, для данной топологии не существует единственной подбазы. $S$ $\wp (X),$ $S$ $X$ $S$

Таким образом, мы можем начать с фиксированной топологии и найти подбазы для этой топологии, а также можем начать с произвольной подколлекции набора мощности и сформировать топологию, сгенерированную этой подколлекцией. Мы можем свободно использовать любое эквивалентное определение выше; действительно, во многих случаях одно из двух условий более полезно, чем другое. $\wp(X)$

Альтернативное определение

Реже дается несколько иное определение подбазы, которое требует, чтобы покрытие подбазы ^[2] В этом случае представляет собой объединение всех множеств, содержащихся в Это означает, что не может быть никакой путаницы относительно использования нулевых пересечений в определении. ${\mathcal {B}}$ $X.$ $X$ ${\mathcal {B}}.$

Однако это определение не всегда эквивалентно двум определениям выше. Существуют топологические пространства с подмножествами топологии такими, что является наименьшей топологией, содержащей , но не покрывающей . (Пример приведен в конце следующего раздела.) На практике это встречается редко. Например, предбаза пространства, которая имеет по крайней мере две точки и удовлетворяет аксиоме разделения T _1, должна быть покрытием этого пространства. Но, как показано ниже, для доказательства теоремы Александера о предбазе ^[3] нужно предположить, что покрывает ^[^{необходимо разъяснение}^] $(X,\тау)$ ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ $\тау$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {B}}$ $X$ ${\mathcal {B}}$ $X.$

Примеры

Топология, порожденная любым подмножеством (включая пустое множество ), равна тривиальной топологии ${\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}$ ${\mathcal {S}}:=\varnothing$ $\{\varnothing ,X\}.$

Если — топология на и является базой для, то топология , порожденная таким образом, является подбазой для. Если — любое подмножество, то топология, порожденная будет подмножеством. $\тау$ $X$ ${\mathcal {B}}$ $\тау$ ${\mathcal {B}}$ $\тау .$ ${\mathcal {B}}$ $\тау$ $\тау .$ ${\mathcal {S}}$ $\тау$ ${\mathcal {S}}$ $\тау .$

Обычная топология на действительных числах имеет подбазу, состоящую из всех полубесконечных открытых интервалов либо вида , либо , где и являются действительными числами. Вместе они порождают обычную топологию, поскольку пересечения для порождают обычную топологию. Вторая подбаза формируется путем взятия подсемейства , где и являются рациональными . Вторая подбаза также порождает обычную топологию, поскольку открытые интервалы с рациональными являются базисом для обычной евклидовой топологии. $\mathbb {R}$ $(-\infty ,а)$ $(б,\infty),$ $а$ $б$ $(a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )$ $a\leq b$ $а$ $б$ $(а,б)$ $а,$ $б$

Подбаза, состоящая из всех полубесконечных открытых интервалов только формы, где - действительное число, не порождает обычную топологию. Полученная топология не удовлетворяет аксиоме разделения T ₁ , поскольку если каждое открытое множество, содержащее также содержит $(-\infty ,а)$ $а$ $а<б$ $б$ $а.$

Начальная топология на , определяемая семейством функций , где каждая имеет топологию, является самой грубой топологией на , такой что каждая является непрерывной . Поскольку непрерывность может быть определена в терминах прообразов открытых множеств, это означает, что начальная топология на задается путем взятия всех диапазонов , где , по всем открытым подмножествам в качестве подбазиса. $X$ $f_{i}:X\to Y_{i},$ $Y_{i}$ $X$ $f_{i}$ $X$ $f_{i}^{-1}(U),$ $U$ $Y_{i},$

Два важных частных случая исходной топологии — это топология произведения , где семейство функций представляет собой набор проекций из произведения на каждый множитель, и топология подпространства , где семейство состоит всего из одной функции — отображения включения .

Компактно -открытая топология на пространстве непрерывных функций из в имеет в качестве предбазы множество функций , где компактно и является открытым подмножеством $X$ $Y$ $V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}$ $K\subseteq X$ $U$ $Y.$

Предположим, что является хаусдорфовым топологическим пространством с , содержащим два или более элементов (например, с евклидовой топологией ). Пусть будет любым непустым открытым подмножеством из (например, может быть непустым ограниченным открытым интервалом в ) и пусть обозначает топологию подпространства на , которая наследуется от (так что ). Тогда топология, порожденная на , равна объединению (см. сноску для объяснения), ^{[примечание 1]} где (так как является хаусдорфовым, равенство будет иметь место тогда и только тогда, когда ). Обратите внимание, что если является собственным подмножеством из , то является наименьшей топологией на , содержащей , но не покрывающей (то есть объединение является собственным подмножеством из ). $(X,\тау)$ $X$ $X=\mathbb {R}$ $Y\in \tau$ $(X,\тау)$ $Y$ $\mathbb {R}$ $\nu$ $Y$ $Y$ $(X,\тау)$ $\nu \subseteq \tau$ $\nu$ $X$ $\{X\}\чашка \nu$ $\{X\}\cup \nu \subseteq \tau$ $(X,\tau )$ $Y=X$ $Y$ $X,$ $\{X\}\cup \nu$ $X$ $\nu$ $\nu$ $X$ $\bigcup _{V\in \nu }V=Y$ $X$

Результаты с использованием подбаз

Один приятный факт о подбазах заключается в том, что непрерывность функции нужно проверять только на подбазе диапазона. То есть, если есть отображение между топологическими пространствами и если есть подбаза для то является непрерывной тогда и только тогда, когда открыта в для каждого Сеть (или последовательность ) сходится к точке тогда и только тогда, когда каждая подбазовая окрестность содержит все для достаточно большого $f:X\to Y$ ${\mathcal {B}}$ $Y,$ $f:X\to Y$ $f^{-1}(B)$ $X$ $B\in {\mathcal {B}}.$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $x$ $x$ $x_{i}$ $i\in I.$

Теорема Александера о подбазе

Теорема Александра о подбазе — важный результат, касающийся подбаз, принадлежащий Джеймсу Уодделлу Александру II . ^[3] Соответствующий результат для базовых (а не подбазовых) открытых покрытий доказать гораздо проще.

Теорема Александера о подбазе : ^[3]^[1] Пусть — топологическое пространство. Если имеет подбазу такую, что каждое покрытие элементами из имеет конечное подпокрытие, то — компактно .

(X,\tau )

X

{\mathcal {S}}

X

{\mathcal {S}}

X

Обратное утверждение к этой теореме также верно и доказывается с помощью (поскольку каждая топология является подбазой для самой себя). ${\mathcal {S}}=\tau$

Если компактно и является предбазой для любого покрытия элементов из имеет конечное подпокрытие.

X

{\mathcal {S}}

X,

X

{\mathcal {S}}

Доказательство

Предположим ради противоречия, что пространство не является компактным (также является бесконечным множеством), однако каждое подбазисное покрытие из имеет конечное подпокрытие. Пусть обозначает множество всех открытых покрытий из , которые не имеют никакого конечного подпокрытия частичного порядка по включению подмножества и используют лемму Цорна , чтобы найти элемент, который является максимальным элементом из Заметим, что: $X$ $X$ ${\mathcal {S}}$ $\mathbb {S}$ $X$ $X.$ $\mathbb {S}$ ${\mathcal {C}}\in \mathbb {S}$ $\mathbb {S} .$

Так как по определению является открытым покрытием и не существует конечного подмножества , которое покрывает (поэтому, в частности, является бесконечным). ${\mathcal {C}}\in \mathbb {S} ,$ $\mathbb {S} ,$ ${\mathcal {C}}$ $X$ ${\mathcal {C}}$ $X$ ${\mathcal {C}}$
Максимальность в означает, что если — открытое множество из , то имеет конечное подпокрытие, которое обязательно должно иметь вид для некоторого конечного подмножества из (это конечное подмножество зависит от выбора ). ${\mathcal {C}}$ $\mathbb {S}$ $V$ $X$ $V\not \in {\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}\cup \{V\}$ $\{V\}\cup {\mathcal {C}}_{V}$ ${\mathcal {C}}_{V}$ ${\mathcal {C}}$ $V$

Начнем с того, что покажем, что не является покрытием Предположим, что было покрытием из , в частности, следует, что является покрытием из по элементам из Гипотеза теоремы о подразумевает, что существует конечное подмножество , которое покрывает , которое одновременно было бы и конечным подпокрытием из по элементам из (так как ). Но это противоречит , что доказывает, что не покрывает ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ $X.$ ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ $X,$ ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ $X$ ${\mathcal {S}}.$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ $X,$ $X$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}\in \mathbb {S} ,$ ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ $X.$

Так как не покрывает , то существует некоторый , который не покрывается (то есть не содержится ни в одном элементе из ). Но так как покрывает , то также существует некоторый такой, что Так как является подбазисом , порождающим топологию , из определения топологии, порождаемой , должен существовать конечный набор подбазисных открытых множеств такой, что ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ $X,$ $x\in X$ ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ $x$ ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ ${\mathcal {C}}$ $X,$ $U\in {\mathcal {C}}$ $x\in U.$ ${\mathcal {S}}$ $X$ ${\mathcal {S}},$ $S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {S}}$ $x\in S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U.$

Теперь мы покажем от противного, что для каждого Если было таково, что то также поэтому факт, что тогда подразумевал бы, что покрывается чем , противоречит тому, как было выбрано (напомним, что было выбрано специально так, чтобы не покрываться чем ). $S_{i}\not \in {\mathcal {C}}$ $i=1,\ldots ,n.$ $i$ $S_{i}\in {\mathcal {C}},$ $S_{i}\in {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ $x\in S_{i}$ $x$ ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}},$ $x$ $x$ ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$

Как упоминалось ранее, максимальность в подразумевает, что для каждого существует конечное подмножество из такое, что образует конечное покрытие из Определим, что является конечным подмножеством из Заметим, что для каждого есть конечное покрытие из поэтому давайте заменим каждое на ${\mathcal {C}}$ $\mathbb {S}$ $i=1,\ldots ,n,$ ${\mathcal {C}}_{S_{i}}$ ${\mathcal {C}}$ $\left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{S_{i}}$ $X.$ ${\mathcal {C}}_{F}:={\mathcal {C}}_{S_{1}}\cup \cdots \cup {\mathcal {C}}_{S_{n}},$ ${\mathcal {C}}.$ $i=1,\ldots ,n,$ $\left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ $X$ ${\mathcal {C}}_{S_{i}}$ ${\mathcal {C}}_{F}.$

Пусть обозначает объединение всех множеств в (которое является открытым подмножеством ), а пусть обозначает дополнение к в Заметим, что для любого подмножества покрывает тогда и только тогда, когда В частности, для каждого тот факт, что покрывает , влечет за собой то, что Поскольку было произвольным, то имеем Вспоминая, что, таким образом, имеем что эквивалентно тому, что является покрытием Более того, является конечным покрытием с Таким образом, имеет конечное подпокрытие , что противоречит тому факту, что Следовательно, исходное предположение о том, что не является компактным, должно быть неверным, что доказывает, что является компактным. $\cup {\mathcal {C}}_{F}$ ${\mathcal {C}}_{F}$ $X$ $Z$ $\cup {\mathcal {C}}_{F}$ $X.$ $A\subseteq X,$ $\{A\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ $X$ $Z\subseteq A.$ $i=1,\ldots ,n,$ $\left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ $X$ $Z\subseteq S_{i}.$ $i$ $Z\subseteq S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}.$ $S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U,$ $Z\subseteq U,$ $\{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ $X.$ $\{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ $X$ $\{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}\subseteq {\mathcal {C}}.$ ${\mathcal {C}}$ $X,$ ${\mathcal {C}}\in \mathbb {S} .$ $X$ $X$ $\blacksquare$

Хотя это доказательство использует лемму Цорна , доказательство не нуждается в полной силе выбора. Вместо этого оно опирается на промежуточный принцип ультрафильтра . ^[3]

Используя эту теорему с предбазой для вышеприведенной, можно дать очень простое доказательство того, что ограниченные замкнутые интервалы в компактны. В более общем смысле, теорема Тихонова , утверждающая, что произведение непустых компактных пространств компактно, имеет короткое доказательство, если использовать теорему Александра о предбазе. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Доказательство

Топология произведения на имеет, по определению, подбазу, состоящую из цилиндрических множеств, которые являются обратными проекциями открытого множества в одном факторе. Учитывая подбазисное семейство произведения, которое не имеет конечного подпокрытия, мы можем разбить на подсемейства, которые состоят именно из тех цилиндрических множеств, которые соответствуют данному факторному пространству. По предположению, если то не имеет конечного подпокрытия. Будучи цилиндрическими множествами, это означает, что их проекции на не имеют конечного подпокрытия, и поскольку каждое из них компактно, мы можем найти точку , которая не покрывается проекциями на Но тогда не покрывается $\prod _{i}X_{i}$ $C$ $C=\cup _{i}C_{i}$ $C_{i}\neq \varnothing$ $C_{i}$ $X_{i}$ $X_{i}$ $x_{i}\in X_{i}$ $C_{i}$ $X_{i}.$ $\left(x_{i}\right)_{i}\in \prod _{i}X_{i}$ $C.$ $\blacksquare$

Обратите внимание, что на последнем шаге мы неявно использовали аксиому выбора (которая фактически эквивалентна лемме Цорна ), чтобы гарантировать существование $\left(x_{i}\right)_{i}.$

Смотрите также

База (топология) – набор открытых множеств, используемых для определения топологии.

Примечания

^ Так как является топологией на и является открытым подмножеством , легко проверить, что является топологией на . В частности, замкнуто относительно объединений и конечных пересечений, поскольку является. Но так как , не является топологией на является , очевидно, наименьшей топологией на , содержащей ). $\nu$ $Y$ $Y$ $(X,\tau ),$ $\{X\}\cup \nu$ $X$ $\nu$ $\tau$ $X\not \in \nu$ $\nu$ $X$ $\{X\}\cup \nu$ $X$ $\nu$

Цитаты

^ ab Rudin 1991, стр. 392 Приложение A2.
^ Манкрес 2000, стр. 82.
^ abcd Мугер, Майкл (2020). Топология для работающего математика .

Ссылки

Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

[4] Так как является топологией на и является открытым подмножеством , легко проверить, что является топологией на . В частности, замкнуто относительно объединений и конечных пересечений, поскольку является. Но так как , не является топологией на является , очевидно, наименьшей топологией на , содержащей ). $\nu$ $Y$ $Y$ $(X,\tau ),$ $\{X\}\cup \nu$ $X$ $\nu$ $\tau$ $X\not \in \nu$ $\nu$ $X$ $\{X\}\cup \nu$ $X$ $\nu$

[FOOTNOTERudin1991392_Appendix_A2-1] Rudin 1991, стр. 392 Приложение A2.

[FOOTNOTEMunkres200082-2] Манкрес 2000, стр. 82.

[Muger2020-3] Мугер, Майкл (2020). Топология для работающего математика .