Структурализм (философия математики)

Структурализм — это теория в философии математики , которая утверждает, что математические теории описывают структуры математических объектов . Математические объекты исчерпывающе определяются своим местом в таких структурах. Следовательно, структурализм утверждает, что математические объекты не обладают никакими внутренними свойствами , а определяются своими внешними отношениями в системе. Например, структурализм утверждает, что число 1 исчерпывающе определяется тем, что является преемником 0 в структуре теории натуральных чисел . Обобщая этот пример, любое натуральное число определяется своим соответствующим местом в этой теории. Другие примеры математических объектов могут включать линии и плоскости в геометрии или элементы и операции в абстрактной алгебре .

Структурализм является эпистемологически реалистичным взглядом, поскольку он утверждает, что математические утверждения имеют объективную истинностную ценность . Однако его центральное утверждение относится только к тому, какой тип сущности представляет собой математический объект, а не к тому, какой тип существования имеют математические объекты или структуры (другими словами, не к их онтологии ). Тип существования, который имеют математические объекты, будет зависеть от типа существования структур, в которые они встроены; различные подвиды структурализма выдвигают различные онтологические утверждения в этом отношении. [1]

Структурализм в философии математики особенно связан с именами Пола Бенасеррафа , Джеффри Хеллмана , Майкла Резника , Стюарта Шапиро и Джеймса Франклина .

Историческая мотивация

Историческая мотивация развития структурализма вытекает из фундаментальной проблемы онтологии . Со времен Средневековья философы спорили о том, содержит ли онтология математики абстрактные объекты . В философии математики абстрактный объект традиционно определяется как сущность, которая:

(1) существует независимо от разума;

(2) существует независимо от эмпирического мира; и

(3) имеет вечные, неизменные свойства.

Традиционный математический платонизм утверждает, что некоторый набор математических элементов — натуральные числа , действительные числа , функции , отношения , системы — являются такими абстрактными объектами. Напротив, математический номинализм отрицает существование любых таких абстрактных объектов в онтологии математики.

В конце 19-го и начале 20-го века ряд антиплатонических программ приобрел популярность. Они включали интуиционизм , формализм и предикативизм . Однако к середине 20-го века эти антиплатонические теории имели ряд своих собственных проблем. Это впоследствии привело к возрождению интереса к платонизму. Именно в этом историческом контексте развивались мотивы структурализма. В 1965 году Пол Бенацерраф опубликовал статью под названием «Чем не могли быть числа». [2] Бенацерраф пришел к выводу, основываясь на двух основных аргументах, что теоретико-множественный платонизм не может преуспеть как философская теория математики.

Во-первых, Бенацерраф утверждал, что платоновские подходы не проходят онтологический тест. [2] Он разработал аргумент против онтологии теоретико-множественного платонизма, который теперь исторически именуется проблемой идентификации Бенацеррафа . Бенацерраф отметил, что существуют элементарно эквивалентные теоретико-множественные способы соотнесения натуральных чисел с чистыми множествами . Однако, если кто-то попросит «истинные» утверждения тождества для соотнесения натуральных чисел с чистыми множествами, то различные теоретико-множественные методы дадут противоречивые утверждения тождества, когда эти элементарно эквивалентные множества связаны друг с другом. [2] Это порождает теоретико-множественную ложь. Следовательно, Бенацерраф сделал вывод, что эта теоретико-множественная ложь демонстрирует невозможность существования какого-либо платоновского метода сведения чисел к множествам, который раскрывает какие-либо абстрактные объекты.

Во-вторых, Бенацерраф утверждал, что платоновские подходы не проходят эпистемологический тест. Бенацерраф утверждал, что не существует эмпирического или рационального метода доступа к абстрактным объектам. Если математические объекты не являются пространственными или временными, то Бенацерраф делает вывод, что такие объекты не доступны через каузальную теорию познания . [3] Таким образом, для платоника возникает фундаментальная эпистемологическая проблема, заключающаяся в том, чтобы предложить правдоподобное описание того, как математик с ограниченным, эмпирическим умом способен точно получать доступ к независимым от ума, независимым от мира, вечным истинам. Именно из этих соображений, онтологического аргумента и эпистемологического аргумента, антиплатоновская критика Бенацеррафа мотивировала развитие структурализма в философии математики.

Разновидности

Стюарт Шапиро делит структурализм на три основные школы мысли. [4] Эти школы называются ante rem , in re и post rem .

  • Структурализм ante rem [5] («до вещи»), или абстрактный структурализм [4] или абстракционизм [ 6] [7] (особенно связанный с Майклом Резником , [4] Стюартом Шапиро , [4] Эдвардом Н. Залтой , [8] и Эйстейном Линнебо ) [9] имеет онтологию, похожую на платонизм (см. также модальный неологизм ). Структуры считаются имеющими реальное, но абстрактное и нематериальное существование. Как таковой, он сталкивается со стандартной эпистемологической проблемой, как отметил Бенацерраф, объяснения взаимодействия между такими абстрактными структурами и математиками из плоти и крови. [3]
  • In re structurelies [5] («в вещи»), [5] или модальный структурализм [4] (особенно связанный с Джеффри Хеллманом ), [4] является эквивалентом аристотелевского реализма [10] (реализма в истинностной ценности, но антиреализма в отношении абстрактных объектов в онтологии). Структуры считаются существующими, поскольку некоторая конкретная система иллюстрирует их. Это влечет за собой обычные проблемы, связанные с тем, что некоторые совершенно законные структуры могут случайно не существовать, и что конечный физический мир может быть недостаточно «большим», чтобы вместить некоторые в противном случае законные структуры. Аристотелевский реализм Джеймса Франклина также является in re structurelies, утверждая, что структурные свойства, такие как симметрия, реализуются в физическом мире и воспринимаются. [11] В ответ на проблему нереализованных структур, которые слишком велики, чтобы вписаться в физический мир, Франклин отвечает, что другие науки также могут иметь дело с нереализованными универсалиями; например, наука о цвете может иметь дело с оттенком синего, который не встречается ни на одном реальном объекте. [12]
  • Пост -рем структурализм [13] («после вещи»), или элиминативный структурализм [4] (особенно связанный с Полом Бенацеррафом ), [4] является антиреалистическим по отношению к структурам в том смысле, что это параллельно номинализму . Подобно номинализму, пост-рем подход отрицает существование абстрактных математических объектов со свойствами, отличными от их места в реляционной структуре. Согласно этой точке зрения, математические системы существуют и имеют общие структурные черты. Если что-то верно для структуры, это будет верно для всех систем, иллюстрирующих эту структуру. Однако говорить о структурах, «удерживаемых в общем» между системами, просто инструментально: на самом деле они не имеют независимого существования.

Смотрите также

Прекурсоры

Ссылки

  1. ^ Браун, Джеймс (2008). Философия математики . Routledge. стр. 62. ISBN 978-0-415-96047-2.
  2. ^ abc Бенацерраф, Пол (1965). «Какими числами не могли быть». Philosophical Review . 74 (1): 47–73. doi :10.2307/2183530. JSTOR  2183530.
  3. ^ ab Benacerraf, Paul (1983). «Математическая истина». В Putnam, HW; Benacerraf, P. (ред.). Философия математики: избранные материалы (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 403–420. ISBN 978-0-521-29648-9.
  4. ^ abcdefgh Шапиро, Стюарт (май 1996 г.). «Математический структурализм». Philosophia Mathematica . 4 (2): 81–82. doi :10.1093/philmat/4.2.81.
  5. ^ abc Шапиро 1997, стр. 9
  6. ^ Теннант, Нил (2017), «Логицизм и неологизм», в Zalta, Edward N. (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (зима 2017 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 10 июля 2022 г..
  7. ^ Не путать с абстракционистским платонизмом .
  8. ^ Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (февраль 2011 г.). «Логически последовательный структурализм Ante Rem» (PDF) . Семинар по онтологической зависимости . Университет Бристоля.
  9. ^ Линнебо, Эйстейн (2018). Тонкие объекты: Абстракционистский отчет. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-255896-1.
  10. ^ да Силва, Хайро Хосе (2017). Математика и ее приложения: трансцендентально-идеалистическая перспектива. Springer. стр. 265. ISBN 978-3-319-63073-1.
  11. ^ Франклин 2014, стр. 48–59
  12. ^ Франклин, Джеймс (2015). «Неконкретизированные свойства и полуплатонический аристотелизм». Обзор метафизики . 69 (1): 25–45. JSTOR  24636591. Получено 29 июня 2021 г.
  13. ^ Нефдт, Райан М. (2018). «Инференциализм и структурализм: история двух теорий». Logique et Analyse . 244 : 489–512. doi :10.2143/LEA.244.0.3285352.

Библиография

  • Франклин, Джеймс (2014). Аристотелевская реалистическая философия математики: математика как наука о количестве и структуре. Palgrave Macmillan. ISBN 978-1-137-40072-7.
  • Резник, Майкл (1982). «Математика как наука о закономерностях: эпистемология». Noûs . 16 (1): 95–105. doi :10.2307/2215419. JSTOR  2215419.
  • Резник, Майкл (1997). Математика как наука о закономерностях. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-825014-2.
  • Шапиро, Стюарт (1997). Философия математики: структура и онтология. Oxford University Press. doi :10.1093/0195139305.001.0001. ISBN 978-0-19-513930-3.
  • Математический структурализм, Интернет-энциклопедия философии
  • Абстракционизм, Интернет-энциклопедия философии
  • Научно-исследовательский проект «Основы структурализма», Университет Бристоля, Великобритания
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Структурализм_(философия_математики)&oldid=1231278350"